【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科).doc

2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 已知复数z满足z•（1﹣2i）=i（i是虚数），则复数z在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2． 已知集合A={x|﹣2＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，则A∪B=（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，3） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，3）
3． 命题p：∀a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解，则￢p为（　　）
A．∃a＜0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解
B．∃a＜0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解
C．∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解
D．∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解
4． 在直角坐标系中，若角α的终边经过点，则sin（π+α）=（　　）
A． B． C． D．
5． 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（　　）
A．174斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤
6． 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x的值为（　　）

A．3或﹣2 B．2或﹣2 C．3或﹣1 D．﹣2或﹣1或3
7． 小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00﹣6：00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为（　　）
A． B． C． D．
8． 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（　　）

A． B． C． D．
9． 已知函数，实数a，b满足不等式f（2a+b）+f（4﹣3b）＞0，则下列不等式恒成立的是（　　）
A．b﹣a＜2 B．a+2b＞2 C．b﹣a＞2 D．a+2b＜2
10． 已知双曲线C：﹣=1的左，右焦点分别为F1，F2，A，B是双曲线C上的两点，且=3，cos∠AF2B=，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
11． 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），f（）=，f（）=0，且f（x）在（0，π）上单调．下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．函数f（x）在上单调递增
D．函数y=f（x）的图象关于点对称
12． 已知点I在△ABC内部，AI平分∠BAC，，对满足上述条件的所有△ABC，下列说法正确的是（　　）

A．△ABC的三边长一定成等差数列
B．△ABC的三边长一定成等比数列
C．△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等差数列
D．△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等比数列

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13． 已知两个单位向量，的夹角为，则=　 　．
14． 在（2x+1）2（x﹣2）3的展开式中，x2的系数等于　 　．
15． 已知半径为3cm的球内有一个内接四棱锥S﹣ABCD，四棱锥S﹣ABCD的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，它的底面边长等于　 　cm．
16． 为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5km，且与C村相距的地方．已知B村在A村的正东方向，相距3km，C村在B村的正北方向，相距，则垃圾处理站M与B村相距　 　km．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12.00分）已知等比数列{an}的前n项和Sn满足4S5=3S4+S6，且a3=9．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=（2n﹣1）•an，求数列{bn}的前n项的和Tn．
18．（12.00分）为了解A市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u0；（精确到个位）
（Ⅱ）研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布X～N（μ，σ2）（u=u0，σ约为19.3）．①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）②已知A市理科考生约有1000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？
（说明：表示x＞x1的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即X～N（0，1），从而利用标准正态分布表ϕ（x0），求x＞x1时的概率P（x＞x1），这里x0=．相应于x0的值ϕ（x0）是指总体取值小于x0的概率，即ϕ（x0）=P（x＜x0）．参考数据：ϕ（0.7045）=0.54，ϕ（0.6772）=0.46，ϕ（0.21）=0.5832）．
19．（12.00分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，O为AD中点，，AD=AB=2CD=2．
（Ⅰ）求证：平面POB⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

20．（12.00分）已知点A（1，0）和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2+y2=4．
（Ⅰ）求动点B的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点P（2，0），Q（2，﹣1），经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值．
21．（12.00分）已知函数f（x）=（x﹣1）ex﹣ax2（e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）判断函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）+ex≥x3+x，求a的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10.00分）已知过点P（0，﹣1）的直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0（a＞0）．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|3x+m|．
（Ⅰ）若不等式f（x）﹣m≤9的解集为[﹣1，3]，求实数m的值；
（Ⅱ）若m＞0，函数g（x）=f（x）﹣2|x﹣1|的图象与x轴围成的三角形的面积大于60，求m的取值范围．

2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 已知复数z满足z•（1﹣2i）=i（i是虚数），则复数z在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
【解答】解：由z•（1﹣2i）=i，得z=，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（），在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

2． 已知集合A={x|﹣2＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，则A∪B=（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，3） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，3）
【分析】利用并集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，
∴A∪B={x|x＜3}={﹣∞，3）．
故选：D．
【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

3． 命题p：∀a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解，则￢p为（　　）
A．∃a＜0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解
B．∃a＜0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解
C．∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解
D．∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题p：∀a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解，
则￢p为∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．

4． 在直角坐标系中，若角α的终边经过点，则sin（π+α）=（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin（π+α）的值．
【解答】解：∵角α终边经过点，即点P（，），
∴x=，y=，r=|OP|=1，
则sin（π+α）=﹣sinα==﹣y=﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

5． 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（　　）
A．174斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤
【分析】由题意可知，数列为等差数列，公差为d=17，n=8，S8=996，以第8个儿子为首项，即可求出答案．
【解答】解：由题意可知，数列为等差数列，
公差为d=17，n=8，S8=996，以第8个儿子为首项，
∴8a1+×17=996，
解得a1=184，
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．

6． 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x的值为（　　）

A．3或﹣2 B．2或﹣2 C．3或﹣1 D．﹣2或﹣1或3
【分析】根据已知中的程序框图，分类讨论满足y=1的x值，综合可得答案．
【解答】解：当x＞2时，由y==1得：x2﹣2x=3，解得：x=3，或x=﹣1（舍）
当x≤2时，由y=﹣2x﹣3=1，解得：x=﹣2，
综上可得若输出的结果为1，则输入x的值为3或﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，分类讨论思想，对数的运算性质，难度中档．

7． 小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00﹣6：00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设快递员送达的时刻为x，小李到家的时刻为y，根据题意列出有序实数对（x，y）满足的区域，
以及小李去快递柜收取商品对应的平面区域，计算面积比即可得出答案．
【解答】解：假设快递员送达的时刻为x，小李到家的时刻为y，
则有序实数对（x，y）满足的区域为
{（x，y）|}，
小李需要去快递柜收取商品，即序实数对（x，y）满足的区域为
{（x，y）|}，
如图所示；
∴小李需要去快递柜收取商品的概率为
P===．
故选：D．

【点评】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

8． 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（　　）

A． B． C． D．
【分析】首先求出截面的图形，进一步利用三视图求出结果．
【解答】解：正方体被经过E、F、G点的平面所截，
其中左边的正方形的左上顶点A被切去，故少一个角，右下面留一个斜棱，
故左视图为C．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用．

9． 已知函数，实数a，b满足不等式f（2a+b）+f（4﹣3b）＞0，则下列不等式恒成立的是（　　）
A．b﹣a＜2 B．a+2b＞2 C．b﹣a＞2 D．a+2b＜2
【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数且在R上为减函数，则原不等式变形可得f（2a+b）＞f（3b﹣4），结合函数的单调性可得2a+b＜3b﹣4，变形即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，其定义域为R，f（﹣x）===﹣﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数；
f（x）=﹣=﹣（1﹣）=﹣1，则函数f（x）在R为减函数，
f（2a+b）+f（4﹣3b）＞0⇒f（2a+b）＞﹣f（4﹣3b）
⇒f（2a+b）＞f（3b﹣4）⇒2a+b＜3b﹣4⇒b﹣a＞2，
故选：C．
【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是求出函数的奇偶性与单调性．

10． 已知双曲线C：﹣=1的左，右焦点分别为F1，F2，A，B是双曲线C上的两点，且=3，cos∠AF2B=，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设|F1A|=3x，|F1B|=x，在△ABF2中，由余弦定理列方程可得△ABF2是直角三角形，从而得出a，b，c的关系，即可得该双曲线的离心率．
【解答】解：设|F1A|=3x，|F1B|=x，则|AB|=4x，|BF2|=2a+x，|AF2|=2a+3x，
在△ABF2中，由余弦定理得：
（4x）2=（2a+x）2+（2a+3x）2﹣2（2a+x）（2a+3x）×，
解得x=a，∴AF2=5a，AB=4a，BF2=3a，
∴△ABF2是直角三角形，
在Rt△F1BF2中，a2+（3a）2=（2c）2，代入得10a2=4c2，即e2=．
则该双曲线的离心率为e=．
故选：B．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查离心率的计算能力．属于中档题．

11． 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），f（）=，f（）=0，且f（x）在（0，π）上单调．下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．函数f（x）在上单调递增
D．函数y=f（x）的图象关于点对称
【分析】根据题意，设置满足条件的ω，φ的值，依次对各选项讨论即可．
【解答】解：由题意，f（x）在（0，π）上单调．那周期，即，则ω≤1．
对于A：当ω=时，可得f（x）=2sin（x+φ），由，，
令，可得φ=．即f（）=2sin（×+），∴A不对．
由f（）=0，即2sin（φ）=0，可令φ=π，则φ=……①
由f（）=，即2sin（ω+φ）=，可得：ω+φ=或ω+φ=，k∈Z；
令ω+φ=……②，①②解得：ω=2，不满足题意：
令ω+φ=……③，①③解得：ω=，满足题意：
∴f（x）=2sin（x+）
对于B：f（）=2sin（﹣×+）=2sin=，∴B不对．
对于C：令x+，解得：，
∴函数f（x）在上单调递增，∴C对．
对于D：当x=，可得f（）=2sin（）=﹣2sin=﹣1，
∴函数y=f（x）的图象不是关于点对称，∴D不对．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定一个满足条件的解析式是解决本题的关键．

12． 已知点I在△ABC内部，AI平分∠BAC，，对满足上述条件的所有△ABC，下列说法正确的是（　　）

A．△ABC的三边长一定成等差数列
B．△ABC的三边长一定成等比数列
C．△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等差数列
D．△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等比数列
【分析】设∠BAI=∠CAI=α，则∠IBC=∠ACI=α，设∠ABI=β，∠BCI=γ，AI=BI=m，CI=n，在△ABC中，运用正弦定理，在△ACI和△BCI中，由正弦函数和余弦函数的定义，可得a，b，运用三角函数的和差公式、二倍角公式，化简整理，结合等比数列中项性质，即可得到结论．
【解答】解：设∠BAI=∠CAI=α，则∠IBC=∠ACI=α，
设∠ABI=β，∠BCI=γ，AI=BI=m，CI=n，
在△ABC中，可得==，
可得sin（α+γ）=，
在△ACI中，可得b=2mcosα，
在△BCI中，可得a=mcosγ+ncosα，
又msinγ=nsinα，
即n=，
则a=mcosγ+cosα•=m•
=m•=m••，
可得a2=c•2mcosα=cb，
即有△ABC的三边长一定成等比数列，
故选：B．

【点评】本题考查三角形的三边长成等比数列的判断，考查三角形的正弦定理和三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于难题．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13． 已知两个单位向量，的夹角为，则=　　．
【分析】直接利用向量的数量积的运算法则求解即可．
【解答】解：两个单位向量，的夹角为，
则=2=2﹣﹣1=，
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．

14． 在（2x+1）2（x﹣2）3的展开式中，x2的系数等于　10　．
【分析】化简（2x+1）2（x﹣2）3=（4x2+4x+1）（x3﹣6x2+12x﹣8），展开后可得含x2项的系数．
【解答】解：∵（2x+1）2（x﹣2）3=（4x2+4x+1）（x3﹣6x2+12x﹣8），
∴x2的系数等于4×（﹣8）+4×12﹣6=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二项式展开式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题．

15． 已知半径为3cm的球内有一个内接四棱锥S﹣ABCD，四棱锥S﹣ABCD的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，它的底面边长等于　4　cm．
【分析】由题意画出图形，设四棱锥的底面边长为2a，高为h（0＜h＜6），可得2a2+h2=6h，写出棱锥体积，把a用h表示，再由导数求解得答案．
【解答】解：如图，
设四棱锥的底面边长为2a，高为h（0＜h＜6），
则底面正方形外接圆的半径为，
∴侧棱长SA=，
由射影定理可得：2a2+h2=6h，
则四棱锥S﹣ABCD的体积V==（0＜h＜6），
则V′=﹣2h2+8h，可得当h=4时，V有最大值，此时2a2=24﹣16=8，a=2，
则底面边长等于4．
故答案为：4．

【点评】本题考查球内接多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了导数在求最值问题中的应用，是中档题．

16． 为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5km，且与C村相距的地方．已知B村在A村的正东方向，相距3km，C村在B村的正北方向，相距，则垃圾处理站M与B村相距　2或7　km．
【分析】建立坐标系，求出两圆的方程和公共弦方程，解出M点坐标得出|MB|．
【解答】解：以A为原点，以AB为x轴建立平面坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（3，3），
以A为圆心，以5为半径作圆A，以C为圆心，以为半径作圆C，
则圆A的方程为：x2+y2=25，圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣3）2=31，即x2+y2﹣6x﹣6y+5=0，
∴两圆的公共弦方程为：x+y=5，
设M（x，y），则，
解得M（5，0）或M（﹣，）．
∴MB=2或MB==7．
故答案为：2或7．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12.00分）已知等比数列{an}的前n项和Sn满足4S5=3S4+S6，且a3=9．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=（2n﹣1）•an，求数列{bn}的前n项的和Tn．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出数列的公比，然后求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q．
由4S5=3S4+S6，得S6﹣S5=3S5﹣3S4，即a6=3a5，
∴q=3，∴．
（Ⅱ），
∴，
，
∴，
∴．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法错位相减法的应用，考查计算能力．

18．（12.00分）为了解A市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u0；（精确到个位）
（Ⅱ）研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布X～N（μ，σ2）（u=u0，σ约为19.3）．①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）②已知A市理科考生约有1000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？
（说明：表示x＞x1的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即X～N（0，1），从而利用标准正态分布表ϕ（x0），求x＞x1时的概率P（x＞x1），这里x0=．相应于x0的值ϕ（x0）是指总体取值小于x0的概率，即ϕ（x0）=P（x＜x0）．参考数据：ϕ（0.7045）=0.54，ϕ（0.6772）=0.46，ϕ（0.21）=0.5832）．
【分析】（I）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算平均成绩；
（II）①根据所给公式列方程求出x1；②根据成绩计算概率，得出大体名次．
【解答】解：（I）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：
u0=65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03=103.2≈103．
（II）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为x1，
根据题意，，即．
由ϕ（0.7054）=0.54得，，
所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分．
，
所以，理科数学成绩为107分，大约排在10000×0.4168=4168名．
【点评】本题考查了正态分布的性质与应用，属于中档题．

19．（12.00分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，O为AD中点，，AD=AB=2CD=2．
（Ⅰ）求证：平面POB⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

【分析】（Ⅰ）通过Rt△ADC≌Rt△BAO，推出∠DAC=∠ABO，证明AC⊥BO，PO⊥AD．推出PO⊥平面ABCD．
得到AC⊥PO．AC⊥平面POB，即可证明平面POB⊥平面PAC．
（Ⅱ）以O为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PAC的一个法向量，平面PDC的一个法向量，利用向量的数量积求解即可．
【解答】（Ⅰ）证明：由条件可知，Rt△ADC≌Rt△BAO，∴∠DAC=∠ABO，
∴∠DAC+∠AOB=∠ABO+∠AOB=90°，
∴AC⊥BO．∵PA=PD，且O为AD中点，∴PO⊥AD．
∵，∴PO⊥平面ABCD．
又∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PO．
又∵BO∩PO=O，∴AC⊥平面POB．
∵AC⊂平面PAC，
∴平面POB⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：以O为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，0，2），A（1，0，0），D（﹣1，0，0），C（﹣1，1，0），，，，，
设为平面PAC的一个法向量，
由得，解得．
令x=2，则．
同理可得，平面PDC的一个法向量，
∴二面角A﹣PC﹣D的平面角θ的余弦值．

【点评】本题考查向量的数量积的应用，二面角的求法，考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用．

20．（12.00分）已知点A（1，0）和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2+y2=4．
（Ⅰ）求动点B的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点P（2，0），Q（2，﹣1），经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值．
【分析】（Ⅰ）设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取A′（﹣1，0）．圆C内切于圆O，设切点为D，则O，C，D三点共线，依椭圆得定义可知，动点B的轨迹为椭圆，由此能求出动点B的轨迹方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y+1=k（x﹣2）．由得（4k2+3）x2﹣（16k2+8k）x+16k2+16k﹣8=0．由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能证明直线PM与直线PN的斜率之和为定值3．
【解答】解：（Ⅰ）如图，设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取A′（﹣1，0）．
依题意，圆C内切于圆O，设切点为D，则O，C，D三点共线，
∵O为AA′的中点，C为AB中点，∴A′B=2OC．
∴|BA′|+|BA|=2OC+2AC=2OC+2CD=2OD=4＞|AA′|=2
依椭圆得定义可知，动点B的轨迹为椭圆，
其中：|BA′|+|BA|=2a=4，|AA′|=2c=2，
∴a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，
∴动点B的轨迹方程为．
（Ⅱ）证明：当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=2，
此时直线l与椭圆相切，与题意不符．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k（x﹣2）．
由得（4k2+3）x2﹣（16k2+8k）x+16k2+16k﹣8=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，
∴
=
=．
∴直线PM与直线PN的斜率之和为定值3．

【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查两直线的斜率之和为定值的证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

21．（12.00分）已知函数f（x）=（x﹣1）ex﹣ax2（e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）判断函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）+ex≥x3+x，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数即可；
（Ⅱ）问题转化为对∀x＞0恒成立，设，设h（x）=ex﹣x﹣1，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=xex﹣2ax=x（ex﹣2a），
当a≤0时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）有1个极值点；
当时，f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递增，
在（ln2a，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）有2个极值点；
当时，f（x）在R上单调递增，
此时f（x）没有极值点；
当时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
在（0，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增，
∴f（x）有2个极值点；
∴当a≤0时，f（x）有1个极值点；
当a＞0且时，f（x）有2个极值点；
当时，f（x）没有极值点．
（Ⅱ）由f（x）+ex≥x3+x得xex﹣x3﹣ax2﹣x≥0．
当x＞0时，ex﹣x2﹣ax﹣1≥0，
即对∀x＞0恒成立．
设，则．
设h（x）=ex﹣x﹣1，则h′（x）=ex﹣1．
∵x＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（0）=0，即ex＞x+1，
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（1）=e﹣2，∴a≤e﹣2．
当x=0时，不等式恒成立，a∈R；
当x＜0时，ex﹣x2﹣ax﹣1≤0．
设h（x）=ex﹣x2﹣ax﹣1，则h′（x）=ex﹣2x﹣a．
设φ（x）=ex﹣2x﹣a，则φ′（x）=ex﹣2＜0，
∴h′（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
∴h′（x）≥h′（0）=1﹣a．
若a≤1，则h′（x）≥0，
∴h（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∴h（x）＜h（0）=0．
若a＞1，∵h′（0）=1﹣a＜0，
∴∃x0＜0，使得x∈（x0，0）时，h′（x）＜0，
即h（x）在（x0，0）上单调递减，
∴h（x）＞h（0）=0，舍去，
∴a≤1．
综上可得，a的取值范围是（﹣∞，e﹣2]．
【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10.00分）已知过点P（0，﹣1）的直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0（a＞0）．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，把方程组转换为一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．
【解答】解（Ⅰ）曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0（a＞0）．
∴2aρsinθ﹣ρ2cos2θ=0．
即x2=2ay（a＞0）．
（Ⅱ）将代入x2=2ay，
得，
得．
∵a＞0，
∴解①得．
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
∴|MN|2=|PM|•|PN|，
即，
∴，
即，
解得a=0或．
∵，
∴．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|3x+m|．
（Ⅰ）若不等式f（x）﹣m≤9的解集为[﹣1，3]，求实数m的值；
（Ⅱ）若m＞0，函数g（x）=f（x）﹣2|x﹣1|的图象与x轴围成的三角形的面积大于60，求m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）去掉不等式的绝对值并根据条件限制m的范围，根据题意得出m的值；
（Ⅱ）由m＞0去掉绝对值，将函数g（x）写成分段函数的形式，根据大致图象求出三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，解不等式即可．
【解答】（Ⅰ）由题意得
解①得m≥﹣9．②可化为﹣9﹣m≤3x+m≤9+m，．
∵不等式f（x）≤9的解集为[﹣1，3]，
∴，解得m=﹣3，满足m≥﹣9．
∴m=﹣3；
（Ⅱ）依题意得，g（x）=|3x+m|﹣2|x﹣1|．
又∵m＞0，∴，
g（x）的图象与x轴围成的△ABC的三个顶点的坐标为A（﹣m﹣2，0），
，，
∴，
解得m＞12．
【点评】本题考查解绝对值不等式的方法，以及三角形的面积公式，属于中档题．

第28页（共28页）