2019年高考数学真题分类汇编专题18:数列(综合题).pdf
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1、 120192019 年高考数学真题分类汇编年高考数学真题分类汇编专题专题 1818:数列(综合题):数列(综合题)1.(2019江苏)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”.(1)已知等比数列an满足:,求证:数列an*nN245324,440a aa aaa为“M数列”;(2)已知数列bn满足:,其中Sn为数列bn的前n项和 111221,nnnbSbb求数列bn的通项公式;设m为正整数,若存在“M数列”cn,对任意正整数k,当*nNkm时,都有成立,求m的最大值1kkkcbc【答案】(1)解:设等比数列an的公比为q ,所以a10,q0.由 ,得 ,解得 a2a4=a5a3-
2、4a2+4a1=0a21q4=a1q4a1q2-4a1q+4a1=0a1=1q=2因此数列 为“M数列”.an(2)解:因为 ,所以 1Sn=2bn-2bn+1由 得 ,则 .b1=1,S1=b111=21-2b2b2=2由 ,得 ,1Sn=2bn-2bn+1Sn=bnbn+12(bn+1-bn)当 时,由 ,得 ,n鈮?mbrimbri2bn=Sn-Sn-1bn=bnbn+12(bn+1-bn)-bn-1bn2(bn-bn-1)整理得 bn+1+bn-1=2bn所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列.因此,数列bn的通项公式为bn=n .由知,bk=k ,.k鈭?mbrimbriN*2
3、因为数列cn为“M数列”,设公比为q ,所以c1=1,q0.因为ckbkck+1 ,所以 ,其中k=1,2,3,m.当k=1 时,有q1;当k=2,3,m时,有 设f(x)=,则 lnxx(x 1)令 ,得x=e.列表如下:x(1,e)e(e,+)+0 f(x)极大值因为 ,所以 ln22=ln860,因为ckbkck+1 ,所以 ,其中k=1,2,3,m ,再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性,从而求出函数的极值,进而求出函数的最值,从而求出 m的最大值。2.(2019上海)已知等差数列的公差,数列满足,na0,d nb sinnnba集合*|,nSx xb nN(1)若,求集
4、合 S;120,3ad(2)若,求 d 使得集合 S 恰好有两个元素;12a(3)若集合 S 恰好有三个元素:,T 是不超过 7 的正整数,求 T 的所n Tnbb有可能的值【答案】(1)解:等差数列 的公差 ,数列 满足 anbn,集合 bn=sin(an)当 ,集合 S=-32,0,32(2)解:,数列 满足 ,集合 恰a1=蟺2bnbn=sin(an)好有两个元素,如图:4根据三角函数线,等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时,集合 anyS恰好有两个元素,此时 ,d=蟺 终边落在 上,要使得集合 恰好有两个元素,可以使 ,的终a1OASa2a3边关于 轴对称,如图 ,yOBOC此时 ,
5、d=2蟺3综上,或者 d=2蟺3d=蟺(3)解:当 时,集合 ,符合题意T=3bn+3=bnS=b1,b2,b3当 时,或者 T=4bn+4=bnsin(an+4d)=sinan,an+4d=2k蟺-an等差数列 的公差 ,故 ,又 and=k蟺2k=1,2当 时满足条件,此时 k=1S=-1,0,1当 时,或者 T=5bn+5=bnsin(an+5d)=sinan,因为 ,故 an+5d=2k蟺-ank=1,2当 时,满足题意k=1当 时,T=6bn+6=bnsin(an+6d)=sinan所以 或者 ,故 an+6d=2k蟺-ank=1,2,3当 时,满足题意k=1S=32,1,32 5当
6、 时,所以 ,或者 T=7bn+7=bnsin(an+7d)=sinan,故 an+7d=2k蟺-ank=1,2,3当 时,因为 对应着 3 个正弦值,故必有一个正弦值对应着 3 个点,k=1必然有 ,不符合条件m-n=7m 7当 时,因为 对应着 3 个正弦值,故必有一个正弦值对应着 3 个点,K=2必然有 ,不是整数,不符合条件m-n当 时,因为 对应着 3 个正弦值,故必有一个正弦值对应着 3 个点,K=3必然有 或者 ,或者 ,此时,4蟺m-n均不是整数,不符合题意综上,T=3,4,5,6【考点】元素与集合关系的判断,集合的确定性、互异性、无序性,等差数列,等差数列的通项公式 【解析】
7、【分析】(1)等差数列 的公差 ,数列 满足 anbn,集合 ,利用元素和集合间的关系求出结合等差bn=sin(an)数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式,从而求出当 anbn时的集合 S.(2)当等差数列首项 时,利用数列 满足 ,用等差数列a1=蟺2bnbn=sin(an)的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式,再利用数列的anbnbn通项公式结合元素和集合间的关系,利用三角函数线求出使得集合 恰好有两S个元素的 d 的值。(3)利用元素和集合间的关系结合已知条件集合 恰好有三个元素,用分类S 6讨论的方法结合已知条件,用等差数列的通项公式和正弦值的求解an方法求出数
8、列的通项公式,再利用 是不超过 7 的正整数,从而求出满足bn要求的 的所有可能的值 3.(2019浙江)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,a3=4.a4=S3,数列bn满足:对每个 nN*,Sn+bn,Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列(1)求数列an,bn的通项公式;(2)记 Cn=,nN*,证明:C1+C2+Cn2,nN*.2nnabn【答案】(1)设数列 的公差为d ,由题意得 an ,a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d解得 a1=0,d=2从而 由 成等比数列得Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn (Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn)解得 bn
9、=1d(S2n+1-SnSn+2)所以 (2)我们用数学归纳法证明当n=1 时,c1=02,不等式成立;假设 时不等式成立,即 那么,当 时,n=k+1 7 2 k+2k+1+k=2 k+2(k+1-k)=2 k+1即当 时不等式也成立n=k+1根据(1)和(2),不等式 对任意 成立n鈭?mbrimbriN*【考点】等差数列的通项公式,等比数列的通项公式,数学归纳法 【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式,解方程,结合等比中项,即可求出相应的表达式;(2)采用数学归纳法,现在 n=1 时式子成立,假设 n=k 时式子成立,再证n=k+1 时式子也成立即可.4.(2019天津)设是等差数
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