22.1一元二次方程的概念辅导资料(含答案).pdf
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1、-1-22.122.1 一元二次方程一元二次方程本章内容“一元二次方程”是课程标准“数与代数”的重要内容,也是方程中重点内容,是学习二次函数等内容的基础,本节是本章的起始内容,主要学习下列三个内容:建立一元二次方程此内容是本节课的难点之一,在后续的内容中将继续学习,为此设计较易的拓展应用的例 4 及其变式题,课时作业的第 6、7 题。一元二次方程的概念此内容是本节课的重点,是学习一元二次方程的基础,为此设计拓展应用的例 1、例3,当堂检测的第 1、2、4 题,课时作业的第 15 题。2.一元二次方程的解的含义利用方程解的含义,可求方程中的待定系数,也可由此把二次三项式变形求值,为此设计拓展应用
2、的例 2,当堂检测的第 3 题,选做题和备选题目的问题。点击一:点击一:一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的定义:只含有一个未知数,未知数的最高次数是 2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程针针对对练练习习 1:下列方程是一元二次方程的有_。(1)x2+x15=0(2)x23xy+7=0(3)x+12x=4(4)m32m+3=0(5)22x25=0(6)ax2bx=4答答案案:(5)针针对对练练习习 2:已知(m+3)x23mx1=0 是一元二方程,则 m 的取值范围是 。答案:答案:一元二次方程二次项的系数不等于零。故 m3点击二:点击二:一元二次方程的一般形式一元二次方
3、程的一般形式元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c0(a0),其中 ax2是二次项,bx 是一次项,c 是-2-常数项,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此,对于一个方程从形式上,应先将这个方程进行整理,看是否符合ax2+bx+c0(a0)的一般形式.其中,尤其注意 a0 的条件,有了 a0 的条件,就能说明ax2+bx+c0 是一元二次方程.若不能确定 a0,并且 b0,则需分类讨论:当 a0 时,它是一元二次方程;当 a0 时,它是一元一次方程.针针对对练练习习 3:把方程(13x)(x+3)=2x2+1 化为一元二次方程
4、的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.答案:原方程化为一般形式是:5x2+8x2=0(若写成5x28x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是 5x2,二次项系数是 5,一次项是 8x,一次项系数是 8,常数项是2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).点击三:点击三:一元二次方程的根的定义的意义一元二次方程的根的定义的意义一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用,即若有实数 m 是一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的根,则 m 必然满足该方程,将 m 代入该方程,便有am2+bm+c0(a0);定义也可以当作判定定理
5、使用,即若有数 m 能使am2+bm+c0(a0)成立,则 m 一定是 ax2+bx+c0 的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题,能收到事半功倍的效果.针针对对练练习习 3:若 m 是方程 x2+x10 的一个根,试求代数式 m3+2m2+2009 的值.答案:m3+2m2+2009m3+m2+m2+2009m(m2+m)+m2+2009m+m2+20091+20092010.类型之一:一元二次方程的定义类型之一:一元二次方程的定义 例例 1.关于 x 的方程是一元二次方程,m 应满足什么条件?2322mxxxmx【解析】先把这个方程变为一般形式,只要二次项的系数不为 0 即可
6、.【解答】由 mx23x=x2mx+2 得到(m1)x2+(m3)x2=0,所以 m10,即m1.所以关于 x 的方程是一元二次方程,m 应满足 m1.2322mxxxmx【点评】要特别注意二次项系数 a0 这一条件,当 a=0 时,上面的方程就不是一元二次方程了.当 b=0 或 c=0 时,上面的方程在 a0 的条件下,仍是一元二次方程,只不过是不完全的一元二次方程.类型之二:类型之二:考查一元二次方程一般形式考查一元二次方程一般形式-3-一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a、b、c 是已知数,a0),其中 a 叫做二次项系数,b 叫做一次项系数 c 叫做常数项只有将方程化为一
7、般形式之后,才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项这里特别要注意各项系数的符号。例例 2 一元二次方程(x+1)2x=3(x22)化成一般形式是 .【解析】一元二次方程一般形式是 ax2+bx+c=0(a0),对照一般形式可先去括号,再移项,合并同类项,得 2x2x7=0。【解答】2x2x7=0 类型之三:类型之三:考查一元二次方程的解考查一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。例例 3 已知关于 x 的一元二次方程(m2)x2+3x+(m24)=0 有一个解是 0,求 m 的值。【解析】;因为 0 是方程的解,所以 m24=0,m=2。又因为方程是关于
8、 x 的一元二次方程,所以二次项系数 m20、m2,所以 m 的值是2。【解答】m=2【点拨】本题逆用一元二次方程解的定义易得出 m 的值,但不能忽视一元二次方程成立的条件 m20,因此在解题时要重视解题思路的逆向分析。类型之四:综合应用类型之四:综合应用例例 4.已知一元二次方程有一个根为 1,那么这个方程可以是(只需写出一个方程)【解析】这是一道结论开放题,答案不唯一,解这类题的一般思路有两种:一种思路是根据根的定义,写一个含有 1 的等式,例如,再把 1 换成 x:0312152;也可根据等式性质,由 x=1,可得 x+2=1+2,两边再平方得03252 xx即可。9)2(2x【解答】答
9、案不唯一。例如:等。9)2(2x 1.下列方程中的一元二次方程是()A.3(x+1)2=2(x1)B.+2=021xx1C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=(x+1)(x1)-4-【解析】A 注意一元二次方程中二次项系数不能为 0,并且最高为二次.2.把方程5x2+6x+3=0 的二次项系数化为 1,方程可变为()A.x2+x+=0 B.x26x3=0 C.x2x=0 D.x2x+=0565356535653【解析】C 注意方程两边除以5,另两项的符号同时发生变化.3.已知关于 x 的方程(m3)x=5 是一元二次方程,求 m 的值.72mx【解析】利用一元二次方程的定义,要注意二次项系
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