8-7-游戏与策略.教师版.doc
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1、_游戏与策略教学目标1. 通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律2. 在操作过程中,体会数学规律的并且设计最优的策略和方案3. 熟练掌握通过简单操作、染色、数论等综合知识解决策略问题知识点拨实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力,激发学生探索数学规律的兴趣,并通过寻找最佳策略过程,培养学生的创造性思维能力,这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。例题精讲模块一、探索与操作【例 1】 将113这13个自然数分别写在13张卡片上,再将这13张卡片按一定的顺序从左至右排好然后进行如下操作:将从左数第一张和第二张依次放到最后,将第三张取出而这张卡片上的数是1;再将下面的两张依次放到
2、最后并取出下一张,取出的卡片上面的数是2;继续将下面的两张依次放到最后并取出下一张,取出的卡片上面的数是3如此进行下去,直到取出最后一张是13为止则13张卡片最初从左到右的顺序为 【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【关键词】北京奥校杯【解析】 这13张卡片依次是原来的第3,第6,第9,第12,第2,第7,第11,第4,第10,第5,第1,第8,第13张,所以原来的顺序为11,5,1,8,10,2,6,12,3,9,7,4,13【答案】11,5,1,8,10,2,6,12,3,9,7,4,13【例 2】 在纸上写着一列自然数1,2,98,99一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去,
3、然后把这三个数的和写在数列的最后面例如第一次操作后得到4,5,98,99,6;而第二次操作后得到7,8,98,99,6,15这样不断进行下去,最后将只剩下一个数,则最后剩下的数是 【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯【解析】 第一轮:分33次划19,后面写上6,15,24,294共33个数第二轮:分11次划去这33个数,后面写上45,126,207,855,共11个数之后的操作一次减少2个数,故还需操作5次设这11个数为:,则接下去的数是:,因此最后一数为:【答案】【巩固】 在1,9,8,9后面写一串这样的数字:先计算原来这4个数的后两个之和8917,取个位数字7写在
4、1,9,8,9的后面成为1,9,8,9,7;再计算这5个数的后两个之和9716;取个位数字6写在1,9,8,9,7的后面成为1,9,8,9,7,6;再计算这6个数的后两个之和7613,取个位数字3写在1,9,8,9,7,6的后面成为1,9,8,9,7,6,3. 继续这样求和,这样添写,成为数串1,9,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4那么这个数串的前398个数字的和是_. 【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯,决赛【解析】 前16个数字是1,9,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,8,9可见除去前2个数字1、9后,每12个数字一组重复出现.因此前398
5、个数字的和是19(897639213471)1060331990【答案】1990【例 3】 圆周上放有枚棋子,如图所示,点的那枚棋子紧邻点的棋子小洪首先拿走点处的1枚棋子,然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子,这样连续转了10周,9次越过当将要第10次越过处棋子取走其他棋子时,小洪发现圆周上余下20多枚棋子若是14的倍数,请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子?【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设圆周上余枚棋子,从第9次越过处拿走2枚棋子到第10次将要越过处棋子时,小洪拿了枚棋子,所以在第9次将要越过处棋子时,圆周上有枚棋子依次类推,在第8次将要越过处棋子时,圆周上有枚棋子,
6、在第1次将要越过处棋子时,圆周上有枚棋子,在第1次将要越过处棋子之间,小洪拿走了枚棋子,所以是14的倍数,是2和7的公倍数,所以必须是奇数;又,所以必须是7的倍数当,25,27,29时,不是7的倍数,当时,是7的倍数所以,圆周上还有23枚棋子【答案】23【例 4】 有足够多的盒子依次编号0,1,2,只有0号是黑盒,其余的都是白盒开始时把10个球放入白盒中,允许进行这样的操作:如果号白盒中恰有个球,可将这个球取出,并给0号、1号、,号盒中各放1个如果经过有限次这样的操作后,最终把10个球全放入黑盒中,那么4号盒中原有 个球【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【关键词】两岸四地,华杯赛【
7、解析】 使用倒推法最终各盒中依次有球(10,0,0,0,),前一次必然分的是1号盒中的球,否则1号盒中最终至少有1个球所以,倒数第一次分前盒中依次有球(9,1,0,0,)依次倒推,为:(10,0,0,0,)(9,1,0,0,)(8,0,2,0,0,)(7,1,2,0,0,)(6,0,1,3,0,)(5,1,1,3,0,)(4,0,0,2,4,)(3,1,0,2,4,)(2,0,2,2,4,)(1,1,2,2,4,)(0,0,1,1,3,5),0号盒中此时为0个球,不能再倒推所以,4号盒中原有3个球【答案】3【例 5】 一个数列有如下规则:当数是奇数时,下一个数是;当数是偶数时,下一个数是如果这
8、列数的第一个数是奇数,第四个数是,则这列数的第一个数是 【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【解析】 本题可以进行倒推的前一个数只能是偶数,的前一个数可以是偶数或奇数,的前一个是可以是偶数或奇数,而的前一个只能是偶数由于这列数的第一个是奇数,所以只有43满足故这列数的第一个数是43也可以顺着进行分析假设第一个数是,由于是奇数,所以第二个数是,是个偶数,那么第三个数是,第四个数是11,11只能由偶数22得来,所以,得到,即这列数的第一个数是43【答案】【巩固】 在信息时代信息安全十分重要,往往需要对信息进行加密,若按照“乘3加1取个位”的方式逐位加密,明码“16”加密之后的密码为“49
9、”,若某个四位明码按照上述加密方式,经过两次加密得到的密码是“2445”,则明码是 【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯,初赛,六年级【解析】 09这10个数字乘以3所得的数的个位数字互不相同是本题可以进行判断的基础采用倒推法,可以得到经过一次加密之后的密码是“7118”,再进行倒推,可以得到原来的明码是2009.【答案】2009【例 6】 设有25个标号筹码,其中每个筹码都标有从1到49中的一个不同的奇数,两个人轮流选取筹码当一个人选取了标号为的筹码时,另一个人必须选取标号为的最大奇因数的筹码如果第一个被选取的筹码的编号为5,那么当游戏结束时还剩 个筹码【考点】游戏
10、与策略 【难度】3星 【题型】解答【关键词】武汉,明星奥数挑战赛【解析】 解若 547471313434377232319195当一个人拿到19时,下一个人就要拿5了,故游戏结束,拿了7个剩(个)【答案】【例 7】 一个盒子里有400枚棋子,其中黑色和白色的棋子各200枚,我们对这些棋子做如下操作:每次拿出2枚棋子,如果颜色相同,就补1枚黑色棋子回去;如果颜色不同,就补1枚白色的棋子回去这样的操作,实际上就是每次都少了1枚棋子,那么,经过399次操作后,最后剩下的棋子是 颜色(填黑或者白)【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【关键词】北大附中,资优博雅杯【解析】 由于起初白子200枚
11、是偶数,若同色,补黑子1枚,白子仍为偶数;若异色,补白子1枚,白子仍为偶数因此最后1枚不可能是白子,故应是黑子【答案】黑【巩固】 30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、的次序串成一圈一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳,每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【关键词】走美杯,试题【解析】 这些珠子按8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、的次序串成一圈,那么每10粒珠子一个周期,我们可以推断出这30粒珠子数到第9和10、19和20、29和30、39和40、49和50粒的时候,会是黑珠子刚才是从第10粒珠子开始跳
12、,中间隔6粒,跳到第17粒,接下来是第24粒、31粒、38粒、45粒、52粒、59粒,一直跳到59粒的时候会是黑珠子,所以至少要跳7次【答案】7次【巩固】 在黑板上写上、,按下列规定进行“操怍”:每次擦去其中的任意两个数和,然后写上它们的差(大数减小数),直到黑板上剩下一个数为止问黑板上剩下的数是奇数还是偶数?为什么?【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据等差数列求和公式,可知开始时黑板上所有数的和为是一个偶数,而每一次“操作”,将、两个数变成了,它们的和减少了,即减少了一个偶数那么从整体上看,总和减少了一个偶数,其奇偶性不变,还是一个偶数所以每次操作后黑板上剩下的数的和
13、都是偶数,那么最后黑板上剩下一个数时,这个数是个偶数【答案】偶数【例 8】 桌上有一堆石子共1001粒。第一步从中扔去一粒石子,并把余下的石子分成两堆。以后的每一步,都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒,再把某一堆分作两堆。问:能否在若干步之后,桌上的每一堆中都刚好有3粒石子?【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 不可能事实上,如果可能的话,那么假定最后在桌上剩下了堆石子,每堆3粒,则在此之前一共进行了次操作(开始时只有一堆石子,每操作一次,多分出一堆,操作次后分成堆)而每操作一次,都扔去一粒石子,所以一共扔去粒石子因此,得到,但1002不是4的倍数,说明不是整数,导致矛盾所
14、以不可能【答案】不可能【巩固】 有3堆小石子,每次允许进行如下操作:从每堆中取走同样数目的小石子,或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆开始时,第一堆有1989块石子,第二堆有989块石子,第三堆有89块石子问,能否做到:某2堆石子全部取光?3堆中的所有石子都被取走?【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 要使得某两堆石子全部取光,只需使得其中有两堆的石子数目一样多,那么如果我们把最少的一堆先取光,只要剩下的两堆中有一堆数目是偶数,再平分一下就可以实现了而题中数字正好能满足要求所以,全部取光两堆是可以的对于第二个问题,要取走全部3堆,则必须3堆石子的总数是3
15、的倍数才有可能,但1989、989、89之和并非3的倍数,所以是不可能的可以取光其中的两堆石子如进行如下的操作:第1堆 第二堆第三堆1989989891900 9000 (第一步:三堆各取走89块)1900450 450 (第二步:第二堆900是偶数,将其一半移入第三堆)1450 00 (第三步:三堆各取走450块)不能将三堆全部取光 因为每一次取走石子是从三堆中同时取走相同数目的石子,那么每次取走的石子数都是3的倍数,则不论怎么取,取走的石子总数是3的倍数,而,3067被3除余1,不是3的整数倍,所以不能将三堆石子全部取光【答案】可以;不能【例 9】 今有101枚硬币,其中有100枚同样的真
16、币和1枚伪币,伪币和真币的重量不同现需弄清楚伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平,那么怎样利用这架天平称两次,来达到目的?【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】101枚硬币,如果进行称重的话应该保证天平两边的硬币数相等因此应该首先拿掉一个,把剩下的100枚硬币在天平两边各放50个如果这时天平两边重量相等的话,就说明剩下的那个是伪币只要任意拿出一个真币和这个伪币再称一次就可以知道真币和伪币那种比较重了如果天平两边重量不相等的话,就是说伪币还在这100个硬币中可以拿出其中比较轻的50个这时同样还是把他们分成两个25枚,分到天平两边称重如果两边重量相等,说明这
17、50个硬币都是真的伪币在比较重的那50个中,因此伪币就应该比真币重如果两边重量不相等,说明伪币就在这50个比较轻的硬币中,显然伪币就应该比真币轻同样道理,也可以把比较重的那50个硬币分成两个25进行称重,同样也可以得出结论【巩固】 9个金币中,有一个比真金币轻的假金币,你能用天平称两次就找出来吗(天平无砝码)?【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一次在左右两托盘各放置3个:(一)如果不平衡,那么较轻的一侧的3个中有一个是假的从中任取两个分别放在两托盘内:如果不平衡,较低的一侧的那个是假的;如果平衡,剩下的一个是假的;(二)如果平衡,剩下的三个中必有一个为假的从中任取两个分
18、别放在两托盘内:如果不平衡,较低的一侧的那个是假的;如果平衡,剩下的那个是假的这类称量找假币的问题,一定要会分类,并尽量是每一类对应天平称量时的不同状态(轻,重,平),所以分成3堆是很常见的分法【答案】能【巩固】 你有四个装药丸的罐子,每个药丸都有一定的重量,被污染的药丸是没被污染的重量1.只称量一次,如何判断哪个罐子的药被污染了?【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略.【答案】第一瓶拿一个药丸,第二瓶拿两个药丸,第三瓶拿三个,第四瓶拿四个,称一下比标准的10个药丸重多少,重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染【例 10】 有大,中,小3个瓶子,最多分别可以装入水1000克,7
19、00克和300克.现在大瓶中装满水,希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线,问最少要倒几次水?【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 通过对三个数字的分析,我们发现700-300-300=100,是计算步数最少的得到100的方法而由于我们每计算一步就相当于倒一次水,所以倒水最少的方案应该是:1大瓶往中瓶中倒满水2中瓶往小瓶中倒满水,这时中瓶中还剩下400克水3小瓶中水倒回大瓶4中瓶再往小瓶中倒满水,这时中瓶中只剩下100克水,标记5小瓶中水倒回大瓶6中瓶中100克水倒入小瓶,标记所以最少要倒6次水本题关键是,小瓶中的水每次都要倒掉,不然无法再往小瓶中
20、倒水的【答案】次【例 11】 对一个自然数作如下操作:如果是偶数则除以2;如果是奇数则加1. 如此进行直到为1操作停止. 求经过9次操作变为1的数有多少个?【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛,决赛【解析】 可以先尝试一下,得出下面的图:其中经1次操作变为1的1个,即2,经2次操作变为1的1个,即4,经3次操作变为1的2个,即3,8,经6次操作变为1的有8个,即11,24,10,28,13,30,64,31.于是,经1、2、次操作变为1的数的个数依次为1,1,2,3,5,8, 这一串数中有个特点:自第三个开始,每一个等于前两个的和,即211,321,532,853,如
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