简单的线性规划问题(附答案).doc

简单的线性规划问题
[学习目标]　1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．

知识点一　线性规划中的基本概念

名　称
意　义
约束条件
关于变量x，y的一次不等式(组)
线性约束条件
关于x，y的一次不等式(组)
目标函数
欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于变量x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
由所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

知识点二　线性规划问题
1．目标函数的最值
线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，在y轴上的截距是，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．
当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；
当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．
2．解决简单线性规划问题的一般步骤
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，
(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．
(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．
(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．
(4)答：写出答案．
知识点三　简单线性规划问题的实际应用
1．线性规划的实际问题的类型
(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；
(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．
常见问题有：
①物资调动问题
例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？
②产品安排问题
例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？
③下料问题
例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？
2．解答线性规划实际应用题的步骤
(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．
(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．

题型一　求线性目标函数的最值
例1　已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为(　　)
A．12 B．11
C．3 D．－1
答案　B
解析　首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时，z取得最大值．由⇒此时z＝3x＋y＝11.

跟踪训练1　(1)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
(2)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为________．
答案　(1)D　(2)1
解析　(1)如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，

故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；
当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z＝3x＋y，即y＝－3x＋z过点(0,1)时z取最小值1.

题型二　非线性目标函数的最值问题
例2　设实数x，y满足约束条件求
(1)x2＋y2的最小值；
(2)的最大值．
解　如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，

(1)令u＝x2＋y2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点的距离的平方．
过原点向直线x＋2y－4＝0作垂线y＝2x，则垂足为的解，即，
又由得C，
所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝ ＝，
所以，x2＋y2的最小值为.
(2)令v＝，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点相连的直线l的斜率为v，即v＝.由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，v最大，
由(1)知C，
所以vmax＝，所以的最大值为.
跟踪训练2　已知x，y满足约束条件则(x＋3)2＋y2的最小值为________．

答案　10
解析　画出可行域(如图所示)．(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域内点(x，y)之间距离的平方．显然AC长度最小，
∴AC2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值为10.
题型三　线性规划的实际应用
例3　某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？
解　设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，于是有z＝300x＋400y，
在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线
300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，
最大值是z＝300×4＋400×4＝2 800，
即该公司可获得的最大利润是2 800元．
反思与感悟　线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．
跟踪训练3　预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？
解　设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z＝x＋y，
把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为

由解得
所以A点的坐标为.
由解得
所以B点的坐标为.
所以满足条件的可行域是以A，B，
O(0,0)为顶点的三角形区域(如图)．

由图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为B，
但注意到x∈N*，y∈N*，
故取
故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．

1．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)
A．－1 B．1 C. D．2
2．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是(　　)
A．80 B．85
C．90 D．95

3．已知实数x，y满足则z＝x2＋y2的最小值为________．

一、选择题
1．若点(x, y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域， 则2x－y的最小值为(　　)
A．－6 B．－2 C．0 D．2
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为(　　)
A．－4 B．0 C. D．4
3．实数x，y满足则z＝的取值范围是(　　)
A．[－1,0] B．(－∞，0]
C．[－1，＋∞) D．[－1,1)
4．若满足条件的整点(x，y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a的值为(　　)
A．－3 B．－2 C．－1 D．0

5．已知x，y满足目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为(　　)
A．－1,4 B．－1，－3
C．－2，－1 D．－1，－2

6．已知x，y满足约束条件使z＝x＋ay(a＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为(　　)
A．－3 B．3 C．－1 D．1

二、填空题
7．若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是________．
8．已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．
9．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为________．

10．满足|x|＋|y|≤2的点(x，y)中整点(横纵坐标都是整数)有________个．

11．设实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．
三、解答题
12．已知x，y满足约束条件目标函数z＝2x－y，求z的最大值和最小值．

13．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，求a的取值范围．

14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？

当堂检测答案
1．答案　B
解析　如图，

当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x＋y－3＝0上，则m＝1.
2．答案　C
解析　该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x，y∈N*，计算区域内与最近的点为(5,4)，故当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.

3．答案　
解析　

实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，
故zmin＝2＝.

课时精练答案
一、选择题
1．答案　A
解析　画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，

把z＝2x－y变形为y＝2x－z，
则直线经过点A时z取得最小值；
所以zmin＝2×(－2)－2＝－6，故选A.
2．答案　D
解析　作出可行域，如图所示．

联立解得
当目标函数z＝3x－y移到(2,2)时，z＝3x－y有最大值4.
3．答案　D
解析　作出可行域，如图所示，

的几何意义是点(x，y)与点(0,1)连线l的斜率，当直线l过B(1,0)时kl最小，最小为－1.又直线l不能与直线x－y＝0平行，∴kl＜1.综上，k∈[－1,1)．

4．答案　C
解析　

不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C.
5．答案　D
解析　由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，
∴解得
6．答案　D
解析　如图，作出可行域，作直线l：x＋ay＝0，要使目标函数z＝x＋ay(a＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x＋y＝5重合，故a＝1，选D.

二、填空题
7．答案　[2,6]
解析　如图，作出可行域，

作直线l：x＋2y＝0，
将l向右上方平移，过点A(2,0)时，有最小值2，过点B(2,2)时，有最大值6，故z的取值范围为[2,6]．

8．答案　[3,8]
解析　作出不等式组
表示的可行域，如图中阴影部分所示．

在可行域内平移直线2x－3y＝0，
当直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1)时，目标函数有最小值zmin＝2×3－3×1＝3；
当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，目标函数有最大值zmax＝2×1＋3×2＝8.
所以z∈[3,8]．
9．答案　4
解析　由线性约束条件
画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝·＝x＋y，将其化为y＝－x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(，2)时，z最大，将点(，2)代入z＝x＋y，得z的最大值为4.

10．答案　13
解析　|x|＋|y|≤2可化为

作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，

容易得到整点个数为13个．
11．答案　21
解析　作出可行域(如图)，即△ABC所围区域(包括边界)，其顶点为A(1,3)，B(7,9)，C(3,1)

方法一　∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方，
∴x＋2y－4＞0，
则目标函数等价于z＝x＋2y－4，
易得当直线z＝x＋2y－4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值zmax＝21.
方法二　z＝|x＋2y－4|＝·，
令P(x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0，
则z＝d，其中d为P(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离．
由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，
故d的最大值为＝.
故目标函数zmax＝·＝21.
三、解答题
12．解　z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，zmax＝2×5－2＝8.
当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，

zmin＝2×1－4.4＝－2.4.
13．解　先画出可行域，如图所示，y＝ax必须过图中阴影部分或其边界．

∵A(2,9)，∴9＝a2，∴a＝3.
∵a＞1，∴1＜a≤3.
14．解　由题意可画表格如下：

方木料(m3)
五合板(m2)
利润(元)
书桌(张)
0.1
2
80
书橱(个)
0.2
1
120

(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，
则⇒⇒0≤x≤300.
所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24 000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．
(2)设只生产书橱y个，可获得利润z元，
则⇒⇒0≤y≤450.
所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54 000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，
则⇒
z＝80x＋120y.
在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．

作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值．
由
解得，点M的坐标为(100,400)．
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元)．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．