毕业论文--杆有抽油系统的数学建模及诊断数学建模.doc
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1、全第九届“华为杯”全国研究生数学建模竞赛学 校山东-青岛科技大学参赛队号队员姓名第九届“华为杯”全国研究生数学建模竞赛 题 目 有杆抽油系统的数学建模及诊断摘 要:本文主要研究有杆抽油系统的数学建模及诊断问题。针对问题一,本文从有杆抽油系统四连杆结构的几何关系和运动特点出发,首先建立了游梁的摆动方程,进而求得了悬点E运动的数学模型(式(19),并根据题给数据对模型进行了求解并得到了运动规律曲线(如图3),最后与有荷载的附件1的悬点位移数据进行了比较(见表1)。针对问题二,首先利用分离变量法将Gibbs波动方程拆分为位移函数和荷载函数,并对其进行傅里叶级数展开,得出了悬点处随时间变化的位移和荷载
2、函数,求得了泵随时间变化的位移和荷载函数,进而计算出两口油井的泵功图数据(表3、表4),绘制出了两油井的悬点示功图和泵功图(图5、图6)。针对问题三,本文选择对第2问(泵内气体判断)进行研究。首先对泵内气体影响情况进行了分析,然后给出了有效冲程的计算方法,在此基础上提出了泵内是否充气的判别算法,并根据所给数据求解判断出口井1泵内有气,口井7泵内无气。针对问题四,第一问中,首先分析了Gibbs波动方程建立的过程,认为Gibbs模型忽略了重力的影响,在Gibbs模型的基础上加入了重力因素加以改进,得到了相应的位移和荷载函数(式71、式72)。第二问中,通过抽油杆柱的摩擦功率得到了阻尼系数的求解公式
3、,并给出了迭代求解阻尼系数的算法和迭代流程图(图9)。本问题的研究对提高抽油机泵效和产油量有重要的意义。关键词:Gibbss模型,阻尼系数,傅里叶系数,有效冲程1问题重述目前,开采原油广泛使用的是有杆抽油系统(垂直井,如图1)。电机旋转运动转化为抽油杆上下往返周期运动,带动设置在杆下端的泵的两个阀的相继开闭,从而将地下上千米深处蕴藏的原油抽到地面上来。通过悬点示功图可以初步诊断该井的工作状况,如产量、气体影响、阀门漏液、沙堵等等。要精确诊断油井的工作状况,最好采用泵功图。然而,泵在地下深处,使用仪器测试其示功数据实现困难大、成本高。因此,通过数学建模,把悬点示功图转化为杆上任意点的示功图(统称
4、为地下示功图)并最终确定泵功图,以准确诊断该井的工作状况,是一个很有价值的实际问题。请解决以下问题:问题一:光杆悬点运动规律电机旋转运动通过四连杆机构转变为抽油杆的垂直运动。假设驴头外轮廓线为部分圆弧、电机匀速运动,悬点下只挂光杆(光杆下不接其它杆,不抽油,通常用来调试设备)。请按附录4给出四连杆各段尺寸,利用附件1的参数,求出悬点E的一个冲程的运动规律:位移函数、速度函数、加速度函数。并与有荷载的附件1的悬点位移数据进行比较。问题二:泵功图计算请使用Gibbs模型,给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程,包括:原始数据的处理、边界条件、初始条件、求解算法;附件1是只有一级杆的某油井参数和
5、悬点示功数据,附件2是有三级杆的另一油井参数和悬点示功数据,利用它们分别计算出这两口油井的泵功图数据;并分别绘制出两油井的悬点示功图和泵功图(每口井绘一张图,同一井的悬点示功图与泵功图绘在同一张图上,请标明坐标数据)。问题三:泵功图的应用(下面2小问选作一问。鼓励全做)1)建立2个不同的由泵功图估计油井产量的模型,其中至少一个要利用“有效冲程”;并利用附件1和附件2的数据分别估算两口油井一天(24小时)的产液量。(单位:吨,这里所指的液体是指从井里抽出来的混合液体)2)如图5(C)形式的泵功图表示泵内有气体,导致泵没充满。请建立模型或算法,以由计算机自动判别某泵功图数据是否属于泵内有气体的情况
6、。并对附件1、附件2对应的泵功图进行计算机诊断是否属于泵内充气这种情况。问题四:深入研究的问题(下面2小问选作一问。鼓励全做)1)请对Gibbs模型进行原理分析,发现它的不足。在合理的假设下,重新建立抽油系统模型或对现有模型进行改进;并给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程,包括:原始数据的处理、边界条件、初始条件、求解算法;利用附件1、附件2的数据重新进行计算;对计算结果与问题二的计算结果进行比较,分析你的模型的优缺点。2)Gibbs模型在数学上可简化为 “波动方程”: 其中a为已知常数,c称为阻尼系数,鉴于大多数的阻尼系数公式12是作了诸多假设后推出的,并不能完整地反应实际情况。如果能
7、从方程本身和某些数据出发用数学方法估计参数c,贡献是很大的。对此,请你进行研究,详细给出计算c的理论推导过程并尽可能求出c。如果需要题目之外的数据,请用字母表示之并给出计算c的推导过程。2模型假设1深井泵质量合格工作正常。2不考虑活塞在上下冲程中抽油杆柱所受到的摩擦力、惯性力、振动荷载和冲击荷载等的影响。3力在抽油杆中的传递是瞬时的,阀的起落也是瞬时的。4抽油设备在工作过程中不受沙、蜡、水和温度等因素的影响。5.油层供液能力充足。3通用符号说明序号符号符号说明1为游梁初始摆角2为曲柄转动角速度3为到坐标横轴的距离4为钢杆弹性模量5为抽油杆柱在截面处的截面积6为到坐标纵轴的距离。7为任意时刻悬点
8、位移8为对时间的导数9为对时间的导数10为游梁摆动的角速度11为任意时刻游梁摆动的角加速度4问题一 :光杆悬点运动规律4.1问题分析题目要求根据附录4给出的四连杆各段尺寸,利用附录1的参数,求出悬点E的一个冲程的运动规律:位移函数、速度函数、加速度函数。并与有荷载的附件1的悬点位移数据进行比较。有杆抽油系统的悬点运动的位移、速度和加速度,是抽油机结构设计及力学分析的重要运动参数。考虑到有杆抽油系统以游梁支点和曲柄轴中心的连接线做固定杆,以曲柄、连杆和游梁后臂为三个活动杆。我们可从有杆抽油系统四连杆机构的几何关系和运动特点出发,建立游梁的摆动方程,通过建立的游梁的摆动方程得出游梁摆角的变化规律,
9、进而求解悬点E的一个冲程的运动规律(位移函数、速度函数、加速度函数)建立相应的数学模型,然后联系到实际情况对模型进行简化、求解,最后利用所求结果与有荷载的附件1的悬点位移数据进行比较。4.2 有杆抽油系统四连杆运动函数计算4.2.1游梁摆动方程的建立有杆抽油系统四连杆几何结构如图1所示。假设曲柄沿顺时针方向做角速度为的匀速周期运动。时刻,曲柄滑块位于上顶点(),平行于水平面,对应坐标原点(称为的下死点),的位移为0;运动到下顶点()时,的位移到达最大(称为的上死点);接着运动到上顶点()时,又回到位移为0的位置,完成一个周期(即一个冲程)1,2。图1 有杆抽油系统四连杆几何结构图其中:,,,,
10、为到坐标横轴的距离,为到坐标纵轴的距离。在中,根据余弦定理可得3,4: (1)得 (2) 由几何关系可得: (3) (4)可知式中。 综上得游梁的摆动方程为: (5)4.2.2 悬点位移函数游梁摆动时,因前、后臂转动的角度相等,对于任意时刻,游梁的角位移为3,4式中为游梁初始摆角,即时刻游梁与纵坐标方向的夹角,故这里。悬点的运动情况可以看做图中点的运动情况,故任意时刻悬点位移为 (6)其中: 4.2.3 悬点速度函数将式(2)两边同时对时间求导数,可得游梁摆动的角速度为3,4 (7)其中:和为和对时间的导数。由式(3)和式(4)得 (8) (9)将式(8)和式(9)带入式(7)得 (10)整理
11、的得 (11)由几何关系不难得到 (12)其中: 将式(12)带入式(11)中,得游梁摆动的角速度为 (13)游梁摆动时,因前、后臂的角速度相等,故任意时刻悬点的速度为 (14)4.2.4 悬点加速度函数将式(13)两边同对时间求导,整理得任意时刻游梁摆动的角加速度为 (15)游梁摆动时,因前、后臂的角速度相等,故任意时刻悬点的速度为 (16)对于一定型号的抽油机,其尺寸是已知的,给定曲柄旋转的角速度或转速,应用以上公式便可计算各运动参数3。4.3 有杆抽油系统四连杆运动模型实际抽油机的值是不可忽略的,特别式冲程长度较大时,忽略后会引起很大误差,为此,本题中,这里我们把点绕游梁支点的弧线运动近
12、似的看做直线运动,则可把抽油机的运动简化为如下图所示的曲柄滑块运动。图2 抽油机简化运动结构图时,游梁与连杆的连接点在处,为距曲柄轴心最远的位置,相应于悬点的下死点;时,在处,为距曲柄轴心最近的位置,相应于悬点的上死点。在这种简化情况下我们对应的有3.4 (17) (18)将式(17)和式(18)代回4.3中的相关公式,可以得到有杆抽油系统四连杆运动模型如下:其中:几何关系如图1,,,,;为到坐标横轴的距离;为到坐标纵轴的距离;为悬点位移函数;为悬点速度函数;为悬点加速度函数。4.4 数据比较根据附录4所给连杆的各段尺寸和附件1的参数,在一个周期内,利用上述模型求得悬点处位移、速度和加速度的变
13、化曲线为:图3 悬点的理论位移、速度及加速度曲线在一个周期内,利用公式(19)求得悬点处的理论位移(具体数据见附录1)。其与题给附件1的悬点位移比较如下:表1 悬点理论位移与实际位移数据悬点的理论位移(m)悬点的实际位移(m)11.77041.778021.76731.735031.69541.645041.58001.55005问题二:泵功图计算5.1 问题分析题目要求使用Gibbs模型,给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程,在此基础上计算出这两口油井的泵功图数据,并分别绘制出两油井的悬点示功图和泵功图。求泵功图的两个主要的前提就是要知道泵随时间变化的位移和荷载的函数,根据有杆抽油机的
14、几何构造及工作原理,结合Gibbs模型可以得到地面悬点随时间变化的位移和荷载函数,进而通过转换得到地下泵处随时间变化的位移和荷载的函数。可以考虑利用分离变量法将Gibbs波动方程拆分为两个函数(位移函数和荷载函数),并对位移函数和荷载函数进行傅里叶级数展开,利用题目中给出的地面悬点处随时间变换的位移和荷载的离散数据,求解出悬点处随时间变化的位移和荷载函数,进而得到泵处随时间变化的位移和荷载的函数,从而在此基础上计算两口油井的泵功图数据,并绘制出两油井的悬点示功图和泵功图。5.2 Gibbs模型一级杆情况下泵功图的计算抽油杆的力学模型是一根具有粘滞阻尼的作纵向震动的细长圆杆。经推导,它的运动可用
15、下列微分方程来描述5: (20)其中:为抽油杆离地面悬点深处在时刻的位移;为应力波在抽油杆中的传播速度;为阻尼系数。5.2.1波动方程求解要求解上述波动方程,前提就是利用波动方程的边界条件、初始条件以及连续性条件(用于多级组合杆的抽油系统)6,7。1边界条件诊断模型的边界条件是由抽油机几何运动特征决定的,可知:地面悬点边界条件: (21)泵边界条件: (22) 2初始条件假设抽油机运行之前,抽油杆柱自由悬挂于已经充满原有的油管中,悬点从下死点开始运动: (23) (24)其中:为实测光杆悬点位移函数,;为光杆悬点荷载函数,;为抽油杆柱在流体中的重量,。3连续性条件连续性条件主要针对油杆是不同直
16、径的组合杆和不同材料的混合杆时使用,在交界处油杆受力和油杆位移的连续性条件是: (25) (26)4悬点位移和荷载方程的求解本文采用分离变量傅里叶变换法求解波动方程。将悬点动荷载函数及光杆位移函数展开成傅氏级数: (27) (28)根据附件1和2中给出的悬点处采集的离散的位移和荷载的数据,用下面的方法计算4个傅氏系数,然后将傅氏系数带入到上面的悬点位移和荷载函数中。即得到悬点处位移和荷载的函数,进而得到悬点处的示功图。下面以为例来说明求解过程:实际中采集的数据是离散的,需要将和离散化,设在悬点处进行等时采样,采样点的个数为,本文取144。然后令,为周期,可得到: (29)考虑到是离散变量: (
17、30)用下面符号表示:, (31)采用梯形法则进行数值积分:(32)合并同类项得到: (33)由函数的周期性可得:,因此: (34)同理可求得其他三个傅氏系数: (35) (36) (37)其中:为曲柄转角;为曲柄角速度;为运动周期;为傅氏级数所取项数,本文取10;为从0到各点序号;为周期内等分的份数,即离散化的采样点数,本文取;和为从附件中给出的数据中选取的采样点对应的数据。将4个傅氏级数带入到式(27)和(28)中,即可得出悬点位移和荷载的函数,并可以通过画出悬点位移和荷载的曲线。5.2.2粘滞阻尼系数求解根据吉布斯关于粘滞阻尼系数的假设,本文推出用摩擦功来确立粘滞阻尼系数公式的方法7:
18、(38)其中:为油管内径,单位:,为抽油杆的平均直径,单位:;为各级抽油杆的截面积,单位:;为 各级抽油杆的长度:;为为抽油杆的平均截面积,单位:;为液体粘度,在本题中即为地面原油粘度,单位:;为抽油杆的总长度,单位:;为是抽油杆材料的弹性模量,单位:;为是抽油杆材料密度,单位:。5.2.3 特殊函数和系数求解前面的求解过程给出了根据悬点测得的位移和荷载的数据推出悬点位移和荷载的函数,并可以通过画出它们的曲线;然后又给出了井下的粘滞阻尼系数的求解方法及过程,下面进行求解泵的位移和荷载的函数,进而得出泵的示功图。首先以式(27)和式(28)为边界条件,用分离变量法求解方程(20)便可得出抽油杆任
19、意深度截面的位移随时间的变化。求解步骤如下5,7,8:首先令分别为仅含和的函数,将其带入波动方程并整理可得: (39)上式每一侧仅含有一个独立变量,因而它等于一个常数,令其为,带入(39)并将其分离成两个常微分方程: (40)方程组(40)中(1)式的周期解为,带入方程组第一个等式可得方程(40)的特解: (41)式子中和为实数,其值为: (42) (43) 当时,方程组(40)变为: (44)其解为: (45) 方程组(40)中第二个等式解为谐波方程: (46)综合以上各式,可求出方程(40)的解为: (47)再进过变换可得到一级杆的的情况下,抽油杆某一点的位移函数,即Gibbs方程的解析解
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