2018年上海市徐汇区高三二模数学卷(含答案).pdf

1/92017 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 2018.4一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 1-6 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5 分）分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1已知全集，集合，则 .RU 0322xxxAACU2在的二项展开式中，常数项是 .61xx3函数的定义域为_()lg(32)xxf x 4已知抛物线的准线方程是，则 .2xay14y a 5若一个球的体积为，则该球的表面积为_3236已知实数满足 则目标函数的最小值为_xy，001xyxy，zxy7函数的最小正周期是_2sincos1()11xxf x8若一圆锥的底面半径为，体积是，则该圆锥的侧面积等于 .3129将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是，记第二颗骰子出现m的点数是，向量，向量，则向量的概率是 .n2,2amn 1,1b ab10已知直线.当在实数范围内变化时，与的12:0,:20lmxylxmymm1l2l交点恒在一个定圆上，则定圆方程是 .P11若函数的最大值和最小值分别为、，则函数222(1)sin()1xxf xxMm图像的一个对称中心是 ()sin1g xMm xMm x12已知向量满足、，若对任意的,a b 8|15a 4|15b，都有成立，则的最小值为 .(,)(,)|1,0 x yx yxaybxy|1xya b 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分）每题有且只有一个正确选项。考生分，每题分）每题有且只有一个正确选项。考生 2/9NMD1C1B1A1DCBA应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13在四边形中，且0，则四边形是-（）ABCDABDC ACBD ABCD（A）菱形 （B）矩形 （C）直角梯形 （D）等腰梯形14.若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且，nannS112aSnnlim ()，则复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于-（）n*Niaz1i （A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限15在中，“”是“”的-（）ABCcossincossinAABB090C（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件16如图，圆分别与轴正半轴，轴正半轴相切于点，Cxy,A B过劣弧上一点作圆的切线，分别交轴正半轴，轴正ABTCxy半轴于点，若点是切线上一点，则周长的,M N(2,1)QMON最小值为-()（A）10 （B）8 （C）（D）124 5三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤要的步骤.17(本题满分本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分)如图在长方体中，1111DCBAABCD 2AB 4AD，点为的中点，点为的中点121AC MABNBC（1）求长方体的体积；1111DCBAABCD（2）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表MA1NB1示）18(本题满分本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分)3/9如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速 20 公里 小时，送快件AABBC/到处，已知（公里），是等腰三角C10BD 0045,30DCBCDBABD形，0120ABD（1）试问，快递小哥能否在 50 分钟内将快件送到处？C（2）快递小哥出发 15 分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平ADDC均时速 60 公里 小时，问，汽车能否先到达处？/C19(本题满分本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分)已知函数，其定义域为，2()31f xxtx0,312,15 (1)当时，求函数的反函数；2t()yf x (2)如果函数在其定义域内有反函数，求实数 的取值范围()yf xt20(本题满分本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分分)如图，是椭圆长轴的两个端,A B22:12xCy点，是椭圆上与均不重合的相异两点，,M N,A B设直线的斜率分别是.,AM BN AN123,k k k(1)求的值；23kk(2)若直线过点，求证：MN2,02；1316k k(3)设直线与轴的交点为(为常数且)，试探究直线与直线的交MNx(,0)tt0t AMBN点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由QABCD 4/921(本题满分本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分分)已知数列的前项和满足，且，数列满足 nannA*11()12nnAAnNnn11a nb，其前 9 项和为 36*2120()nnnbbbnN32b(1)求数列和的通项公式；na nb(2)当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一nnanbnnbna项的位置上，可以得到一个新的数列：，求该数列的前1122334455,a b b a a b b a a b 项和；nnS(3)设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，1nnncab2k k,()l m klm 使得成等差数列？若存在，求出(用表示)；若不存在，请说明理由,klmc c c,l mk2017 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科参考答案及评分标准 2018.4一 填空题：（本大题共有填空题：（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 1-6 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5 分分 220 3 4 56 3,1(0,)11617 8 9 10 11 12 162220 xyxy114，815二选择题：（本大题共有二选择题：（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分）分，每题分）13A14D15B16A三三解答题：（本大题共解答题：（本大题共 5 5 题，满分题，满分 7474 分）分）17(本题满分本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分)【解】（1）连、是直角三角形，AC1ACABC22242 5AC 是长方体，又，1111DCBAABCD BCCC1CDCC1CBCDC平面，CC1ABCDACCC1又在中，1ACCRtAxBMNCyD1A1B1C1Dz 5/9ENMD1C1B1A1DCBA，-6 分121AC 2 5AC 11CC 1 1 118ABCD ABC DV（2）解法一：如图建立空间直角坐标系则、，所以、14,0,1A4,1,0M14,2,1B2,2,0N10,1,1AM，10 分12,0,1B N 则向量与1AM1B N 所成角满足111110cos10AM B NAMB N 异面直线与所成的角等于14 分MA1NB110arccos10解法二：取的中点，连、ADEEA1EM，四边形为平行四边形，11/BAABENNEBA11，等于异面直线与所成NBEA11/MEA1MA1NB1的角或其补角-9 分，得，1AM 2AE 11AA12AM，15AE 5EM，125510cos10225EAM 110arccos10EAM异面直线与所成的角等于-14 分MA1NB110arccos1018(本题满分本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分)【解】（1）（公里），10AB 中，由，得（公里）-2 分BCD00sin45sin30BDBC5 2BC 于是，由知，105 26051.215020快递小哥不能在 50 分钟内将快件送到处-6 分C（2）在中，由，ABD222110102 10 103002AD 6/9得（公里），-8 分10 3AD 在中，由，BCD0105CBD005 2sin105sin30CD得（公里），-10 分5 13CD 由（分钟）10 35 1360 1520 15 345.9851.2160知，汽车能先到达处-14 分C19(本题满分本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分)【解】(1)；-6 分38,8,138,73,136xxyxx(2)若，即，则在定义域上单调递增，所以具有反函数；-8 分01302t0t yf x 若，即，则在定义域上单调递减，所以具有反函数；-10 分023152t10t yf x 当，即时，由于区间关于对称轴的对称区间是0333122t28t 0,332t，于是当或，即或时，33,3tt312332tt33153122tt2,4t6,8t函数在定义域上满足 1-1 对应关系，具有反函数 yf x综上，-14 分(,02,4)(6,810,)t 20(本题满分本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分分)【解】(1)设，由于，00(,)N xy(2,0),(2,0)AB所以，2000232000222yyykkxxx因为在椭圆上，于是，即，00(,)N xyC220012xy220022xy 所以.-4 分202320122ykkx 7/9(2)设直线，由2:2MN xmy1122(,),(,)M x yN xy222222xmyxy得，223(2)202mymy于是，-6 分12122223,222myyyymm 1212132121212223 2922yyy yk kxxm y ym yy10 分分222222233221239633 229322222222mmmmmmmmm (3)由于直线与轴的交点为，于是，MNx(,0)t:MN xmyt联立直线与椭圆的方程，可得:MN xmyt22:12xCy，222(2)220mymtyt于是.-12 分212122222,22mttyyyymm 因为直线，直线，11:(2)2yAMyxx22:(2)2yBN yxx两式相除，可知1212122112212122(2)2222(2)xymytymy ytyxyyxxmytmy yty 222122122211222(2)()(2)(2)(2)222(2)(2)(2)(2)2tmtmtym ttmymmtm ttmymtym，2121(2)(2)222(2)(2)2m tmytttm tmyt于是，所以，即直线与直线的交点落在定直线上16 分2xt 2xtAMBNQ2xt 8/921(本题满分本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分分)【解】答案：(1)因为，于是数列是首项为 1，公差为的等*11()12nnAAnNnnnAn12差数列，所以，即，1122nAnn*(1)()2nn nAnN当时，又因为，所以.-2 分2n 1nnnaAAn11a*()nan nN又因为，于是数列是等差数列，*2120()nnnbbbnN nb设的前项和为，由于，则，由于，nbnnB95936Bb54b 32b 所以-4 分1(*)nbnnN(2)数列的前 n 项和，数列的前项和-5 分 na(1)2nn nA nbn(1)2nnnB当时，；-6 分2(*)nk kN22(1)(1)22nkkkk kkkSSABk当时，43(*)nkkN；-7 分2432122(21)(23)(1)463nkkkSSABkkkkkk当时，41(*)nkkN；-8 分241212(21)(21)42nkkkSSABkkkkkk所以，其中-10 分2221,243,4341,414nnnknSnknnk*kN(3)由(1)可知，.121ncn若对于任意给定的正整数，存在正整数，使得成等差数2k k,()l m klm,klmc c c列，则，即，-11 分2lkmccc211212121lkm于是，121421212121(21)(21)klmlklk 9/9所以222(1)(21 4)(21)421421klklklkkmklkl，即，-13 分2(21)1421kkkl 2(21)1421kmkkl则对任意的，能整除，且.2,k kkN421kl2(21)k 4210kl 由于当时，中存在多个质数，2k 21k 所以只能取 1 或或-14 分421kl21k 221k 若，则，于是4211kl 21lk2452mkk，符合；-15 分2473(43)(1)0mlkkkk klm 若，则，矛盾，舍去；-16 分42121klk kl若，则，于是，矛盾-17 分2421(21)klk 2mk0m 综上，当时，存在正整数，满足，且使得2k 221,452lkmkkklm 成等差数列-,klmc c c-18 分