直线与方程知识点与经典例题.pdf

1直线与方程知识点与经典例题直线与方程知识点与经典例题一、知识点一、知识点（1）直线的倾斜角）直线的倾斜角定义定义：x 轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180性质性质：直线的倾斜角=90时，斜率不存在，即直线与 y 轴平行或者重合.当=0时，斜率 k=0；当时，斜率，随着 的增大，斜率 k 也增大；当时，斜率，随着 的0900k 901800k 增大，斜率 k 也增大.（2）直线的斜率）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。tank当时，；当时，；当时，不存在。90,00k180,900k90k过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；21xx(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程）直线方程点斜式：点斜式：直线斜率 k，且过点)(11xxkyy11,yx注意：注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为bbkxy两点式：两点式：（）直线两点，112121yyxxyyxx1212,xxyy11,yx22,yx截矩式：截矩式：1xyab其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距截距分别为。lx(,0)ay(0,)blxy,a b一般式：一般式：（A，B 不全为不全为 0）0CByAx注意：注意：各式的适用范围 特殊的方程如：1 2平行于 x 轴的直线：（b 为常数）；平行于 y 轴的直线：（a 为常数）；by ax（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为 0 的常数）的直线系：0000CyBxA00,BA（C 为常数）000CyBxA（二）垂直直线系（二）垂直直线系垂直于已知直线（是不全为 0 的常数）的直线系：0000CyBxA00,BA（C 为常数）000CyAxB（三）过定点的直线系（三）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：，直线过定点；00 xxkyy00,yx（）过两条直线，的交点的直线系方程为0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl（为参数），其中直线不在直线系中。0222111CyBxACyBxA2l（6）两直线平行与垂直）两直线平行与垂直当，时，111:bxkyl222:bxkyl；212121,/bbkkll12121kkll2注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点）两条直线的交点 相交0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl交点坐标即方程组的一组解。00222111CyBxACyBxA方程组无解；方程组有无数解与重合21/ll1l2l（8）两点间距离公式：）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，1122(,),A x yB xy，（）则 222121|()()ABxxyy（9）点到直线距离公式：）点到直线距离公式：一点到直线的距离00,yxP0:1CByAxl2200BACByAxd（10）两平行直线距离公式）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。填空或选择可以用填空或选择可以用：0:11CByAxl0:22CByAxl2221BACCd二、经典例题二、经典例题【例例 1】(1)已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(2)已知三点 A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数 a 的值【例例 2】已知两点 A(-2,-3),B(3,0),过点 P(-1,2)的直线 与线段 AB 始终有公共点，求直线 的斜率的llk取值范围.【例例 3】（1）已知直线经过点 M（-3，0），N（-15，-6），经过点 R（-2，），S（0，），试判断1l2l3252与是否平行？1l2l（2）的倾斜角为 45，经过点 P（-2，-1），Q（3，-6），问与是否垂直？1l2l1l2l3【例例 4】已知直线 经过点，且 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5，求直线 的方程l(5,4)P ll【例例 5】经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 (1,2)A【例例 6】写出过两点 A(5,0)，B(0,-3)的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程【例例 7】已知直线 l 的方程为 3x+4y12=0，求与直线 l 平行且过点（1，3）的直线的方程【例例 8】已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证：交点不可a1l01 yax2l0ayx能在第一象限及轴上.x4【例例 9】若直线 l：ykx与直线 2x3y60 的交点位于第一象限，求直线 l 的斜率的取值范围.3【例例 10】直线 2xy4=0 上有一点 P，求它与两定点 A(4，1)，B(3，4)的距离之差的最大值.【例例 11】已知点到直线的距离为，求的值；2,3A 1yax2a【例例 12】求与直线及都平行且到它们的距离都相等的直线方程.1:2310lxy 2:4650lxy5经典例题经典例题【例例 1】(1)已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(2)已知三点 A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数 a 的值解：解：(1)直线 AB 的斜率0,所以它的倾斜角 是锐角;1121437k 直线 BC 的斜率0,所以它的倾斜角 是锐角.312103k(2)，.72533ABkaa7(9)793(2)5BCaak A、B、C 三点在一条直线上，即，ABBCkk57935aa解得或.2a 29a【例例 2】已知两点 A(-2,-3),B(3,0),过点 P(-1,2)的直线 与线段 AB 始终有公共点，求直线 的斜率的llk取值范围.解：解：如图所示,直线 PA 的斜率是,12(3)51(2)k 直线 PB 的斜率是.20213(1)2k 当直线 由 PA 变化到 y 轴平行位置 PC,它的倾斜角由锐角增至 90，斜率的变化范围是5,l(tan5)；当直线 由 PC 变化到 PB 位置，它的倾斜角由 90增至，斜率的变化范围是)l1(tan)2.1(,2 所以斜率的变化范围是.1(,5,)2【例例 3】（1）已知直线经过点 M（-3，0），N（-15，-6），经过点 R（-2，），S（0，），试判断1l2l3252与是否平行？1l2l（2）的倾斜角为 45，经过点 P（-2，-1），Q（3，-6），问与是否垂直？1l2l1l2l解：解：（1）=，./MNk0(6)13(15)2 531220(2)2RSk 1l2l（2），1tan451k 26(1)13(2)k 121k k 1l2l【例例 4】已知直线 经过点，且 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5，求直线 的方程l(5,4)P ll解：解：由已知得 与两坐标轴不垂直l直线 经过点，可设直线 的方程为，即.l(5,4)P l(4)(5)yk x 4(5)yk x则直线 在轴上的截距为，在轴上的截距为.lx45ky54k 根据题意得，即.5455421kk2(54)10|kk6当时，原方程可化为，解得；0k 2(54)10kk1228,55kk当时，原方程可化为，此方程无实数解.0k 2(54)10kk 故直线 的方程为，或.l24(5)5yx84(5)5yx即或.25100 xy85200 xy【例例 5】经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 (1,2)A解：当截距为时，设，过点，则得，即；0ykx(1,2)A2k 2yx当截距不为时，设或过点，01,xyaa1,xyaa(1,2)A则得，或，即，或3a 1a 30 xy10 xy 这样的直线有条：，或头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 32yx30 xy10 xy【例例 6】写出过两点 A(5,0)，B(0,-3)的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程解：解：两点式方程：；05)3(00)3(xy点斜式方程：，即；)0(05)3(0)3(xy)0(53)3(xy斜截式方程：，即；305)3(0 xy353xy截距式方程：；135yx一般式方程：01553yx【例例 7】已知直线 l 的方程为 3x+4y12=0，求与直线 l 平行且过点（1，3）的直线的方程解：解：直线 l:3x+4y12=0 的斜率为，34 所求直线与已知直线平行，所求直线的斜率为，34又由于所求直线过点（1，3），所以，所求直线的方程为：，即.33(1)4yx 3490 xy【例例 8】已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证：交点不可a1l01 yax2l0ayx能在第一象限及轴上.x解：解：解方程组得交点().10,0,axyxya 11,112aaaa若0，则1.当1 时，0，此时交点在第二象限内.又因为为任意实数时，都有112aaaa11aaa10，故0.因为1（否则两直线平行，无交点），所以，交点不可能在轴上新疆学案王新敞12a112aaax7【例例 9】若直线 l：ykx与直线 2x3y60 的交点位于第一象限，求直线 l 的斜率的取值范围.3解：解：如图，直线 2x+3y6=0 过点 A（3，0），B（0，2），直线 l：ykx必过点（0，）.33当直线 l 过 A 点时，两直线的交点在 x 轴；当直线 l 绕 C 点逆时针（由位置 AC 到位置 BC）旋转时，交点在第一象限.根据，得到直线 l 的斜率 k.303033ACk33倾斜角范围为.3,3【例例 10】直线 2xy4=0 上有一点 P，求它与两定点 A(4，1)，B(3，4)的距离之差的最大值.解：解：找 A 关于 l 的对称点 A，AB 与直线 l 的交点即为所求的 P 点.设,则(,)A a b，解得，所以线段.12144124022baab 01ab22|(41)(30)3 2A B【例例 11】已知点到直线的距离为，求的值；2,3A 1yax2a解：解：1,10,yaxaxy 2223 1222,11aadaa22222,aa2248422,aaa22820,3232.aaaa 或【例例 12】求与直线及都平行且到它们的距离都相等的直线方程.1:2310lxy 2:4650lxy解：解：直线的方程化为.设所求直线的方程为，1l4620 xy460 xyC则，即，解得.所以所求直线方程为.2222|2|5|4646CC|2|5|CC72C 74602xy