《初等函数的周期性》.ppt

初等函数的性质初等函数的性质-周期性周期性1精选课件ppt四、函数的周期性四、函数的周期性 定定义义12：设设f(u)是是定定义义在在数数集集D上上的的函函数数，如如果果存存在在不不为为0的的常常数数T，对对任任何何xD都都有有xTD，且且f(x+T)=f(x)总总能能成成立立，则则称称f(x)为为周期函数。周期函数。若若T为为f(u)的的一一个个周周期期，则则nT(n是是非非零零整整数数）也是也是f(u)的一个周期。的一个周期。2精选课件ppt例讲例讲例例1 证明证明y=sinnx(n是自然数）是周期函数。是自然数）是周期函数。思路：找到一个周期思路：找到一个周期T，然后加以验证。然后加以验证。例例2 用反证法证明函数用反证法证明函数y=xcosx不是周期函数。不是周期函数。证证明明思思路路：假假定定它它是是周周期期函函数数，令令一一个个正正周周期期为为T，则由定义，通过若干次取特殊值，推出矛盾。则由定义，通过若干次取特殊值，推出矛盾。类题：证明下列函数不是周期函数：类题：证明下列函数不是周期函数：1.f(x)=xsinx2.f(x)=sinx2；f(x)=cosx2。3.f(x)=cosx;f(x)=sinx。3精选课件ppt最小正周期有关问题最小正周期有关问题最小正周期最小正周期如果函数如果函数f(x)具有最小正周期具有最小正周期T0，则则f(x)的任一的任一正周期正周期T一定是一定是T0的正整数倍。的正整数倍。例例2 设函数设函数f(x)=sinnx的最小正周期为的最小正周期为T。试证：当试证：当n为奇数时为奇数时T=2；当当n为偶数时为偶数时T=。思路思路1 1：求出全部周期；：求出全部周期；思路思路2 2：先说：先说T T是周期，再用反证法说明是周期，再用反证法说明比比T T小的正数均不为其周期。小的正数均不为其周期。4精选课件ppt复合函数的周期性复合函数的周期性1定定理理7 设设u=g(x)是是定定义义在在集集合合D上上的的周周期期函函数数，其其最最小小正正周周期期为为T。如如果果f(u)是是定定义义在在集集合合E上上的的函函数数，且且当当xD时时，g(x)E，则则复复合合函函数数fg(x)是是集集合合D上以上以T为周期的周期函数。为周期的周期函数。注意：注意：fg(x)和和g(x)的最小正周期未必相同。的最小正周期未必相同。fg(x)的最小正周期不大于的最小正周期不大于g(x)的最小正周期。的最小正周期。例如例如y=cos2x。但如果但如果f(u)在在E上严格单调，则上严格单调，则fg(x)也有最小正周也有最小正周期期T。注意：复合函数的内外注意：复合函数的内外5精选课件ppt复合函数的周期性复合函数的周期性2 2 定定理理 设设y=f(x)是是定定义义在在集集合合D上上的的周周期期函函数数，其最小正周期为其最小正周期为T。则有则有（1）函函数数kf(x)+c(k,c为为常常数数且且k0)仍仍然然是是D上上的周期函数，且最小正周期仍为的周期函数，且最小正周期仍为T。（2）函函 数数 k/f(x)(k为为 非非 0常常 数数)是是 在在 集集 合合x|f(x)0,xD上上的的周周期期函函数数，最最小小正正周周期期仍为仍为T。(3)f(ax+b)是是(a0,ax+bD)是以是以T/|a|为最小正为最小正周期的周期函数。周期的周期函数。6精选课件ppt函数运算后的周期性函数运算后的周期性定定理理8：函函数数f1(x),f2(x)都都是是定定义义在在集集合合D上上的的周周期函数，且周期分别为期函数，且周期分别为T1,T2，若若T1/T2为为有有理理数数，则则它它们们的的和和与与积积f1(x)+f2(x)；f1(x)f2(x)也是也是D上的周期函数，上的周期函数，T1与与T2的公倍数是它们的和与积的一个周期。的公倍数是它们的和与积的一个周期。f1(x)-f2(x)；f1(x)/f2(x)也有类似的结论。也有类似的结论。利利用用数数学学归归纳纳法法，可可把把该该定定理理推推广广到到任任意意有有限限个函数的情形。个函数的情形。例例 讨论函数讨论函数y=cosx+sinxtg2x/3的周期性。的周期性。7精选课件ppt周期函数运算后的周期性周期函数运算后的周期性定定理理8的的加加强强：如如果果把把f1(x)与与f2(x)限限定定为为集集合合D上上的的连连续续周周期期函函数数，T1和和T2分分别别是是它它们们的的最最小小正正周周期期，则则f1(x)+f2(x)；f1(x)f2(x)是是周周期期函函数数的的充要条件是充要条件是T1/T2为有理数。为有理数。据此可以判断据此可以判断sinx+sinx是非周期函数。是非周期函数。上述必要性证明，用初等方法可证如下命题：上述必要性证明，用初等方法可证如下命题：对对于于正正、余余弦弦（切切）函函数数f1(a1x)=sina1x或或cosa1x，f2(a2x)=sina2x或或cosa2x，则则f1(a1x)与与f2(a2x)之之和和、差差、积积是是周周期期函函数数的的充充要要条条件件是是a1/a2为为有有理数。理数。8精选课件ppt一些特殊的函数方程的周期性一些特殊的函数方程的周期性（1）如如果果下下列列条条件件之之一一满满足足，则则函函数数y=f(x)是是以以2(0)为为它它的的一一个个周周期期的的周周期期函函 数数：f(x+)=-f(x)；f(x+)=1/f(x)；f(x+)=(-1)/f(x)（2）如如果果下下列列条条件件之之一一满满足足，则则函函数数y=f(x)是是以以4(0)为为它它的的一一个个周周期期的的周周期期函函数数：f(x+)=(1-f(x)/(1+f(x)；f(x+)=(1+f(x)/(1-f(x)注注 上述周期函数的充分条件的论证，可通上述周期函数的充分条件的论证，可通过计算直接推得过计算直接推得.9精选课件ppt函数图像的对称性与周期性的联系函数图像的对称性与周期性的联系1、两点中心对称、两点中心对称若若函函数数y=f(x)(xR)的的图图像像关关于于两两点点A(a,c)和和B(b,c)(ab)都都中中心心对对称称，则则函函数数y=f(x)是是以以2|a-b|为为它它的的一一个周期的周期函数个周期的周期函数.2、点与轴对称、点与轴对称若若函函数数y=f(x)(xR)的的图图像像关关于于点点A(a,c)对对称称且且关关于于直直线线x=b(ab)轴轴对对称称，则则函函数数y=f(x)是是以以4|a-b|为为它它的的一一个周期的周期函数个周期的周期函数.3、两轴对称、两轴对称若若函函数数y=f(x)(xR)的的图图像像关关于于两两直直线线x=a与与x=b(ab)都都对对称称，则则函函数数y=f(x)是是以以2|a-b|为为它它的的一一个个周周期期的的周周期函数期函数.10精选课件ppt判断一些函数不是周期函数的几个结论判断一些函数不是周期函数的几个结论1.若函数若函数f(x)不是常数函数，且不是常数函数，且limf(x)=A(x,A为某常数为某常数)，则，则f(x)不是周期不是周期函数。函数。如如f(x)=x(sin1/x+tg1/x)，f(x)=sinx/x；2.在有限区间上函数在有限区间上函数f(x)有界，且存在数列有界，且存在数列xn，使得使得limf(xn)=(n+，则则f(x)不是周不是周期函数。期函数。如如f(x)=xsinx.11精选课件ppt关于关于最小正周期最小正周期在什么条件下，周期函数必有最小正周期呢在什么条件下，周期函数必有最小正周期呢？如果如果f(x)是定义在数集是定义在数集A上的非常数的周期函上的非常数的周期函数，且在某点数，且在某点x0连续，则连续，则f(x)有最小正周期。有最小正周期。注意：连续性只是最小正周期存在的充分条注意：连续性只是最小正周期存在的充分条件，而非必要条件。件，而非必要条件。举例说明：具有最小正周期的处处不连续的举例说明：具有最小正周期的处处不连续的函数。函数。12精选课件ppt*例、判断下述命题是否成立：例、判断下述命题是否成立：“已知已知T1、T2分别是分别是f(x)、g(x)的最小正周期，的最小正周期，则则T1、T2的最小公倍数是的最小公倍数是f(x)+g(x)的最小正的最小正周期周期”。13精选课件ppt