(完整)复合函数知识总结及例题.pdf
《(完整)复合函数知识总结及例题.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《(完整)复合函数知识总结及例题.pdf(13页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、1复合函数问题一、复合函数定义:一、复合函数定义:设 y=f(u)的定义域为 A,u=g(x)的值域为 B,若 A B,则 y 关于 x 函数的y=fg(x)叫做函数 f 与 g 的复合函数,u 叫中间量.二、复合函数定义域问题:二、复合函数定义域问题:(1)、已知、已知的定义域,求的定义域,求的定义域的定义域f x()f g x()思路:设函数的定义域为 D,即,所以的作用范围为 D,又 f 对作用,作用范f x()xDfg x()围不变,所以,解得,E 为的定义域。Dxg)(xEf g x()例例 1.设函数的定义域为(0,1),则函数的定义域为_。f u()fx(ln)解析:函数的定义域
2、为(0,1)即,所以的作用范围为(0,1)f u()u()01,f又 f 对 lnx 作用,作用范围不变,所以01lnx解得,故函数的定义域为(1,e)xe()1,fx(ln)例例 2.若函数,则函数的定义域为_。f xx()11f f x()解析:先求 f 的作用范围,由,知f xx()11x 1即 f 的作用范围为,又 f 对 f(x)作用所以,即中 xxR x|1f xRf x()()且1f f x()应满足即,解得xf x 11()xx 1111xx 12且故函数的定义域为f f x()xR xx|12且(2)、已知、已知的定义域,求的定义域,求的定义域的定义域f g x()f x()
3、思路:设的定义域为 D,即,由此得,所以 f 的作用范围为 E,又 f 对 x 作f g x()xDg xE()用,作用范围不变,所以为的定义域。xEE,f x()例例 3.已知的定义域为,则函数的定义域为_。fx()32x 12,f x()解析:的定义域为,即,由此得fx()3212,x 12,3215 x,所以 f 的作用范围为,又 f 对 x 作用,作用范围不变,所以15,x 15,2即函数的定义域为例例 4.已知,则函数的定义域为-f x()15,f xxx()lg22248f x()解析:先求 f 的作用范围,由,知f xxx()lg22248xx2280解得,f 的作用范围为,又
4、f 对 x 作用,作用范围不变,所以,x244()4,x ()4,即的定义域为f x()()4,(3)、已知、已知的定义域,求的定义域,求的定义域的定义域f g x()f h x()思路:设的定义域为 D,即,由此得,的作用范围为 E,又 f 对f g x()xDg xE()f作用,作用范围不变,所以,解得,F 为的定义域。h x()h xE()xFf h x()例例 5.若函数的定义域为,则的定义域为_。fx()211,fx(log)2解析:的定义域为,即,由此得fx()211,x 11,2122x,的作用范围为,又 f 对作用,所以,解得f122,log2xlog2122x,x 24,即的
5、定义域为fx(log)224,评注:函数定义域是自变量 x 的取值范围(用集合或区间表示)f 对谁作用,则谁的范围是 f 的作用范围,f 的作用对象可以变,但 f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨。三、复合函数单调性问题三、复合函数单调性问题(1 1)引理证明)引理证明已知函数已知函数.若若在区间在区间 )上是减函数,其值域为)上是减函数,其值域为(c(c,d)d),又函数,又函数)(xgfy)(xgu ba,(在区间在区间(c,d)(c,d)上是减函数,那么,原复合函数上是减函数,那么,原复合函数在区间在区间 )上是增函数)上是增函数.
6、)(ufy)(xgfy ba,(证明:在区间)内任取两个数,使ba,(21,xxbxxa21因为在区间)上是减函数,所以,记,即)(xgu ba,()()(21xgxg)(11xgu)(22xgu),(,21,21dcuuuu且3因为函数在区间(c,d)上是减函数,所以,即,)(ufy)()(21ufuf)()(21xgfxgf故函数在区间)上是增函数.)(xgfy ba,((2)复合函数单调性的判断复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:)(ufy 增 减)(xgu 增 减 增 减)(xgfy 增 减 减 增 以上规律还可总结为:“同
7、向得增,异向得减”或“同增异减”.(3)、复合函数)、复合函数的单调性判断步骤:的单调性判断步骤:)(xgfy 确定函数的定义域;将复合函数分解成两个简单函数:与与。)(ufy)(xgu 分别确定分解成的两个函数的单调性;若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数为增函数;若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函)(xgfy 数),则复合后的函数为减函数。)(xgfy(4)例题演练)例题演练例 1、求函数的单调区间,并用单调定义给予证明奎屯王新敞新疆)32(log221xxy解:定义域 130322xxxx或单调减区间是 设
8、则),3(2121),3(,xxxx且 )32(log121211xxy)32(log222212xxy=)32(121xx)32(222 xx)2)(1212xxxx 312 xx012 xx0212 xx4 又底数)32(121 xx)32(222 xx1210 即 012 yy12yy 在上是减函数奎屯王新敞新疆y),3(同理可证:在上是增函数奎屯王新敞新疆y)1,(例2、讨论函数的单调性.)123(log)(2xxxfa解由得函数的定义域为01232 xx.31,1|xxx或则当时,若,为增函数,为增函数.1a1x1232xxu)123(log)(2xxxfa若,为减函数.31x123
9、2xxu为减函数。)123(log)(2xxxfa当时,若,则为减函数,若,则10 a1x)123(log)(2xxxfa31x为增函数.)123(log)(2xxxfa例 3、.已知 y=(2-)在0,1上是 x 的减函数,求 a 的取值范围.alogxa解:a0 且 a1当 a1 时,函数 t=2-0 是减函数xa由 y=(2-)在0,1上 x 的减函数,知 y=t 是增函数,alogxaaloga1由 x0,1时,2-2-a0,得 a2,xa1a2当 0a0 是增函数奎屯王新敞新疆xa由 y=(2-)在0,1上 x 的减函数,知 y=t 是减函数,alogxaalog0a1奎屯王新敞新疆
10、由 x0,1时,2-2-10,0a1xa综上述,0a1 或 1a2奎屯王新敞新疆例例 4、已知函数(为负整数)的图象经过点,设2)3()2(2axaaxxfaRmm),0,2(.问是否存在实数使得在区间上是减函)()()(),()(xfxpgxFxffxg)0(pp)(xF)2(,(f数,且在区间上是减函数?并证明你的结论。)0),2(f解析由已知,得,0)2(mf02)3(2amaam5其中 即,.0,aRm009232 aa解得.37213721a为负整数,a.1a,1)2(34)2(2xxxxf即,.1)(2xxf242221)1()()(xxxxffxg.1)12()()()(24xp
11、pxxfxpgxF假设存在实数,使得满足条件,设,)0(pp)(xF21xx.12)()()()(2221222121pxxpxxxFxF,当时,为减函数,3)2(f)3,(,21xx)(xF,0)()(21xFxF.012)(,022212221pxxpxx,3,321xx182221 xx,11612)(2221ppxxp.0116p当时,增函数,)0,3(,21xx)(xF.0)()(21xFxF,02221 xx11612)(2221ppxxp.0116p由、可知,故存在161p.161p一指数函数与对数函数 同底的指数函数与对数函数互为反函数;xyalogayx(二)主要方法:1解决
12、与对数函数有关的问题,要特别重视定义域;2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1,要注意对底数的讨论;3比较几个数的大小的常用方法有:以和 为桥梁;利用函数的单调性;作差01(三)例题分析:例 1(1)若,则,从小到大依次为 ;21abalogbbalogbalogab (2)若,且,都是正数,则,从小到大依次为 ;235xyzxyz2x3y5z (3)设,且(,),则与的大小关系是 ()0 x 1xxab0a 0b ab ()()()()A1baB1abC1baD1ab解:(1)由得,故21ababaalogbbalogba1 logab 6(2)令,则,235xyzt1
13、t lglg2tx lglg3ty lglg5tz ,;2lg3lglg(lg9lg8)230lg2lg3lg2 lg3tttxy23xy 同理可得:,(3)取,知选()250 xz25xz325yxz1x B例 2已知函数,2()1xxf xax(1)a 求证:(1)函数在上为增函数;(2)方程没有负数根()f x(1,)()0f x 证明:(1)设,121xx 则1212121222()()11xxxxf xf xaaxx,121212121212223()11(1)(1)xxxxxxxxaaaaxxxx,121xx 110 x 210 x 120 xx;12123()0(1)(1)xxx
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整 复合 函数 知识 总结 例题
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【天****】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【天****】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。