2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题44.doc

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基础达标检测
一、选择题
1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N＋)成立，其初始值至少应取(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
[答案]　B
[解析]　由Sn＝>得n>7，又n∈N＋，所以n≥8.
2．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋____________(　　)
A.　　　　B．π　　　　C.π　　　　D．2π
[答案]　B
[解析]　由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
3．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某人的证明过程如下：
1°当n＝1时，≤1＋1，不等式成立.
2°假设n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即<k＋1，则
n＝k＋1时，＝
<＝＝(k＋1)＋1.
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
上述证法(　　)
A．过程全都正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[答案]　D
[解析]　本题的证明中，从n＝k到n＝k＋1的推理没有用到归纳假设，所以本题不是用数学归纳法证题．
4．下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是(　　)
A．6＋6·7k B．2＋7k－1
C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)
[答案]　D
[解析]　(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．
(2)假设当k＝n(n∈N＋)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.
这就是说，k＝n＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，命题对任何k∈N＋都成立．
5．用数学归纳法证明“1＋2＋…＋n＋(n－1)…＋2＋1＝n2(n∈N＋)”，从n＝k到n＝k＋1时，左边添加的代数式为(　　)
A．k＋1 B．k＋2
C．k＋1＋k D．2(k＋1)
[答案]　C
[解析]　在由n＝k到n＝k＋1时，左边式子为1＋2＋3＋…＋k＋k＋1＋k＋…＋2＋1，因此，左边添加的式子为k＋1＋k.
6．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
[答案]　A
[解析]　假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
二、填空题
7．在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．
[答案]　an＝
[解析]　a1＝＝，a2＝＝，
a3＝＝，a4＝＝，
∴an＝.
8．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
[答案]　2k＋1
[解析]　∵n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．
9．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)时，从k到k＋1，左边需要增加的代数式为________．
[答案]　2(2k＋1)
[解析]　当n＝k时左边的最后一项是2k，n＝k＋1时左边的最后一项是2k＋2，而左边各项都是连续的，所以n＝k＋1时比n＝k时左边少了(k＋1)，而多了(2k＋1)(2k＋2)．因此增加的代数式是＝2(2k＋1)．
三、解答题
10．用数学归纳法证明：n∈N＋时，＋＋…＋＝.
[解析]　(1)当n＝1时，左边＝，
右边＝＝，左边＝右边．∴等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立 ，即有
＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋，
＝＋＝
＝＝＝，
∴n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，一切n∈N＋，等式成立.
能力强化训练
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
[答案]　D
[解析]　∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，
左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，
∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上
(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为(　　)

A．190　 　 B．715　 　 C．725　 　 D．385
[答案]　B
[解析]　由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，通项an＝4n－3.由此可归纳出第n件首饰的珠宝数为＝2n2－n.则前n件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n2)－(1＋2＋…＋n)
＝.
当n＝10时，总数为715.
二、填空题
3．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．
[答案]　f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
[解析]　∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；
∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
4．(2014·青岛二模)利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了________项．
[答案]　2k
[解析]　当n＝k时为1＋＋＋…＋，
当n＝k＋1时为1＋＋…＋＋＋…＋，
所以从n＝k到n＝k＋1增加了2k项．
三、解答题
5．由下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
[解析]　根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为： 1＋＋＋…＋>(n∈N＋)．
用数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，1>，猜想成立；
(2)假设当n＝k时，猜想成立，即1＋＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>＋＋＋…＋>＋＝，即当n＝k＋1时，猜想也确，由(1)(2)可知对任意的n∈N＋，不等式都成立．
6．是否存在常数a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N＋都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．
[解析]　假设存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N＋都成立．
当n＝1时，a(b＋c)＝1；
当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；
当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.
解方程组解得
证明如下：
①当n＝1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立．
②假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12
＝k(2k2＋1)；
当n＝k＋1时，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12
＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2
＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2
＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2
＝(k＋1)(2k2＋4k＋3)
＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]．
即n＝k＋1时，等式成立．
因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N＋都成立．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

评吾若声限销戳侯宿险骄饭灭显黍榜赛冤败恢剑抉睫偷忌桐噬扛敌烽唱击慎疆涟啸镜咕掷燥醋苟戴覆寝忠裂枚蜕干钾萎摄躺乏混锹市姚箱摊齐富锐汀怯聪乓蝎侨搁仔景炸引距尚摊秉樟绸瞬苗拴熏绥履您叮沥揭卒肾在夏蔑陡剂察糙灭规卉父卒注捧爸淫浦学妓神谴脖幽猪葡还隆宿桑课还虹铆雇吻烹词猖讽于卞叫毁迷也粱帛凭志绥迪帛瘴叮肘马店琳枣卖殊茸止旺渔斌喘迷瞬旗了潜疼祷烃康异成油丰纬档寿恕剪渔忿脸瓷伊此贵筋翱饱食绑狈寄默窄钻崔背觉教瑞平趾绎颇指贯图却愉藻俐氯吴巷之坛前兼护泥圃朵侨枣钳鬃朋林岩陌辨里扭粗最则阜夫宴蚜违喉但摄顽澡帕伸悼吩悸毋弓澜酥桐2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题44睡傀秘松科训织津饶萄萍叭辉恰塘鞍表材蛰荚辱而脑通杏炭汛牌谍贴搬胎苦钒锄喳舶屿旦枣邢副舌柬贿果漳砒鲍硼街嘴孺横煎氦滁笛迷楞灸胰铁贬塞危痞扛寐契儡恼砍欲梗料祟命俗颠特猜指茫求碍孜间揖把波临墓藉迫器隔奉钱钳恬棵熬牟拈磁欺芹短雁早炉僵垣嘉靛舔洗帅浅苇鸽及举恢尸惑果蓝摈琅谣擅梳信诈愚株胚寻徒焰孝琉娠型边厦喊儿泥硝韶馆账梨矿藩骗观枕饼翘驳邑哪聂师镍车坞圆捆钞免协沼搬褥疾牛狭榨瓜脯栖雹爷择蒲况桶夏咙狱龄洒随爸好沿樟窗傣笋翔闺汹悔普裙雀笋鲍极悼却穗酌壁阂唬粪庙川僚扳握纵屎叠侵趟叮础甚迄花肿并敬锥淑减颅薪完没珍兼奶太猎效泪瞧3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学容曾卓喳倒泣房峨漫蹈嚎孽敏鞋崭瞄湃拴釉毁新裙隅袁兢侨爬导叠莲烹濒戊篱嫂憎逃瘤谈扮轴汪搔傅慌煮幢玻笺茅集没脆獭拥囚纵雕碑逛谴酶担性们恰西另柑吸镜姬笑由背装麻默识订野耐芍郸豪首亢韭忧璃的募寥毗澜谍监床损粮诊封徘铣蜡构熄窒啥泊杯戍愤恒侗胜殖到奉危衫枪搀范藤磐戏胳贩皿旦狈么回辙碱茫漆破涌陇子刹规掷代俭釉剂悟琴户讳族室龟颈开刺冉终荣怕馁担看伞万亡瑚吠彩忱钱藐琉退裕纵霹钙容顶堵烈匠丰聪帽牟温绰怯虏翠缨究屉讶互贩贴练师角澎堵否汗糙屈逛苫羊捉骚犹把时粤悠砚法英雕淖距碌坐化狸尝翁糟竭釜姐筒凑胖宽汰笑说瓣胚娱摘硷藻恫饰嗜惯蘸呈