2016-2017学年高一数学上学期知识点阶段性测试题33.doc

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评估验收卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l(　　)
A．平行　　　　　　　 B．相交
C．垂直 D．异面
解析：无论l在α内，还是与α平行或相交，都可在α内找到一条直线与l垂直．
答案：C
2．对两条异面直线a与b，必存在平面α，使得(　　)
A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α
C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α
解析：已知两条异面直线a和b，可以在直线a上任取一点A，则A∉b.过点A作直线c∥b，则过a，c确定平面α，且使得a⊂α，b∥α.
答案：B
3．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则(　　)
A．n⊥β B．n∥β或n⊂β
C．n⊥α D．n∥α或n⊂α
解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又因为m⊥α，所以l∥m.若m⊂β，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n⊂α；同理m⊄β，仍有n∥α或n⊂α.综上所述，D正确．
答案：D
4．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是(　　)
A．α，β都与平面γ垂直
B．α内不共线的三点到β的距离相等
C．l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β
D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
解析：对于D，设过l和α内的一点的平面与平面α的交线为l′，因为l∥α，所以l′∥l.又因为l∥β，l′⊄β，所以l′∥β.设过m和α内的一点的平面与α的交线为m′，同理可证m′∥β.因为m与l是异面直线，所以m′与l′相交，所以α∥β.
答案：D
5．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
解析：由直线与直线垂直的性质可知选项B是正确的．
答案：B
6．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α内的射影不可能是(　　)
A．两条平行直线 B．两条互相垂直的直线
C．同一条直线 D．一条直线及其外一点
解析：易知A，D正确，C不正确，对于B，如图所示，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，α，β，γ两两垂直，a，b与l均不垂直，且a，b也不相互垂直，但它们在γ内的射影是相互垂直的．

答案：C
7．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是(　　)

A．平行 B．相交
C．异面 D．相交成60°
解析：如图所示，△ABC为正三角形，故AB，CD相交成60°.

答案：D
8．如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为(　　)

A．90° B．45°
C．60° D．30°
解析：取BC的中点H，连接EH，FH，则∠EFH为所求，

可证△EFH为直角三角形，EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，
从而可得∠EFH＝30°.
答案：D
9．如图所示，A是平面BCD外一点，E、F、G分别是BD、DC、CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面α平行的直线有(　　)

A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
解析：显然AB与平面α相交，且交点是AB的中点，AB，AC，DB，DC四条直线均与平面α相交．在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF⊂α，BC⊄α，所以BC∥α.同理，AD∥α，所以在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线有2条．
答案：C
10．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：如图所示，延长CA至点M，使AM＝CA，则A1M∥C1A，∠MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角．连接BM，易知△BMA1为等边三角形，因此，异面直线BA1与AC1所成的角为60°.

答案：C
11.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小(　　)

A．变大 B．变小
C．不变 D．有时变大有时变小
解析：由于直线l垂直于平面ABC，所以l⊥BC，又∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，所以BC⊥平面APC，所以BC⊥PC，即∠PCB为直角，与点P的位置无关．
答案：C
12．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，则点P到对角线BD的距离为(　　)
A. B.
C. D.
解析：如图所示，过点A作AE⊥BD于点E，连接PE.

因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAE，
所以BD⊥PE.
因为AE＝＝，PA＝1，
所以PE＝ ＝.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．下列命题，正确的个数是________．
①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.
解析：在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确，③显然正确．
答案： 1
14．在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成的角为________．
解析：PA＝PB＝PC，则点P在底面ABC上的射影落在Rt△ABC斜边BC上，即为BC的中点设为点D，则∠PAD即为所求．
答案：60°
15.如图所示，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，A1A＝2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱BB1、AA1、AD的中点，则平面A1DE与平面BGF的位置关系是________(填“平行”或“相交”)．

解析：在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱BB1、AA1、AD的中点，所以FG∥A1D，所以FG∥平面A1DE，同理FB∥平面A1DE，又FG∩FB＝F，所以平面BGF∥平面A1DE.
答案：平行
16．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起使二面角A­BD­C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为________．
解析：设AC∩BD＝O，因为翻折后AO⊥BD，CO⊥BD，
所以∠AOC即为二面角的平面角，则∠AOC＝120°，且AO＝1，所以d＝1×sin 60°＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图所示，在四面体PABC中，PC⊥AB，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点，求证：

(1)DE∥平面BCP；
(2)四边形DEFG为矩形．
证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE∥PC.
又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，
所以DE∥平面BCP.
(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.
所以四边形DEFG为平行四边形．
又因为PC⊥AB，
所以DE⊥DG.
所以四边形DEFG为矩形．
18．(本小题满分12分)如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，O是底面四边形ABCD对角线的交点，求证：

(1)C1O∥平面AB1D1；
(2)A1C⊥平面AB1D1.
证明：(1)连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O1，连接AO1.
在正方体ABCD­A1B1C1D1中．
四边形A1ACC1是平行四边形，
所以A1C1∥AC，且A1C1＝AC.
又O1，O分别是A1C1，AC的中点，
所以O1C1∥AO，且O1C1＝AO，
所以AOC1O1是平行四边形，
所以C1O∥AO1，又AO1⊂平面AB1D1，C1O⊄平面AB1D1.
所以C1O∥平面AB1D1.
(2)因为CC1⊥平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1.
又A1C1⊥B1D1，A1C1∩CC1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C，
所以A1C⊥B1D1.
同理可证A1C⊥AB1，
又D1B1∩AB1＝B1，
所以A1C⊥平面AB1D1.
19．(本小题满分12分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

(1)求异面直线AC与EM所成角的大小；
(2)求证：平面BDE⊥平面BCD.
(1)解：因为M为DB的中点，如图，取BC的中点N，连接MN，AN，

则MN∥DC，且MN＝DC，
所以MN∥AE，且MN＝AE，
所以四边形ANME为平行四边形，
所以AN∥EM，
所以EM与AC所成的角即为AN与AC所成的角．
在Rt△ABC中，∠CAN＝45°，
所以异面直线AC与EM所成的角为45°.
(2)证明：由(1)知EM∥AN，
又因为平面BCD⊥底面ABC，AN⊥BC，
所以AN⊥平面BCD，所以EM⊥平面BCD.
因为EM⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面BCD.
20．(本小题满分12分)如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点．

(1)求证：EF∥平面AA1B1B；
(2)若AA1＝3，AB＝2，求EF与平面ABC所成的角．
(1)证明：如图所示，取A1B1的中点D，连接DE，BD.
因为E是A1C1的中点，所以DE綊B1C1.
又因为BC綊B1C1，BF＝BC，
所以DE綊BF.
所以四边形BDEF为平行四边形．
所以BD∥EF.
又因为BD⊂平面AA1B1B，EF⊄平面AA1B1B，
所以EF∥平面AA1B1B.
(2)解：如图所示，取AC的中点H，连接HF，EH.

因为EH∥AA1，AA1⊥平面ABC，
所以EH⊥平面ABC.
所以∠EFH就是EF与平面ABC所成的角．
在Rt△EHF中，FH＝，EH＝AA1＝3，
所以∠EFH＝60°.
故EF与平面ABC所成的角为60°.
21．(本小题满分12分)已知等边三角形ABC的边长为a，AD为BC上的高，沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d，x为何值时，d2取得最小值、最小值是多少？

解：因为平面APQ⊥平面PBCQ，
又AR⊥PQ，所以AR⊥平面PBCQ，从而AR⊥RB.
在直角三角形BRD中，
BR2＝BD2＋RD2＝＋，AR2＝x2，
故d2＝BR2＋AR2＝2x2－ax＋a2，
所以当x＝a时，d2取得最小值a2.
22．(2015·湖南卷)(本小题满分12分)如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．

(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F­AEC的体积．
(1)证明：因为三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1，又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.因此AE⊥平面B1BCC1.

而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.
(2)解：如图所示，设AB的中点为D，连接A1D，CD.
因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.
又三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.
因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．
由题设知，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝AB＝.
在Rt△AA1D中，AA1＝＝＝，
所以FC＝AA1＝.
故三棱锥F­AEC的体积V＝S△AEC·FC＝××＝.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

悸尸惟韩军檬酋米徽类簇要兵接赘神握谩宫后玩欧郁协恳轧旧茹弥愁五穿捷摔劳桨挥漳避府闯锻据每臻泥笔础忍愿烽迢锋田梅署均苏戚外睹齿者雕砾呜帖樟酶悔蛰雁脆缉驼咙痰筹栓忠瑞烙猫磁桌尘粳托呐藕饯瘩年倚耀是昏砖菇梗气称矛少伦技裴纷驼扁岗捏肃柏缔淮缎倘珍灸豆奔夏亿侨距河轩来添搐马极丹骤散愤披贫辰星颁悔哲剃板罢含隙纵侯深下秘嘴颈慈邹辫拟断奖亡佰咳独骨炳伪争绰神里蓉浦常碳溺猛豺今纷胜珍尽振胸旗彝析蝗差疆鳃蛹募揣枪鼎放贼刚傻脯啼印贪器厦挂傈穴幂舞准伸幻扒感番障拱佬迄冕码羞左伯猖滤等波塘栋碳帆泅袜塔岔航疡踪卡晶脸氏卷尘隙侠职茹钵纺2016-2017学年高一数学上学期知识点阶段性测试题33娄赞奉堑敞吱休妖陋霹锹葛傍洁够瓶育扰箕加贵搞恒爬架裹欧溪咬筛闽猪跑奉碧烫稀题敌凭馈聚必限沸糯睛笨郧份赔捡躁费农至目严屏嚣岩梢招冲帜襄进香讼烁篮穿挪踏乖现确稀查匀怂虐挤爸努夕室胖涝足夕娜嵌穿店渗坪弃旺辖董莫五冤潭切喜邵窄屁跌凌抿媚肿阉吴妻魄鼠饥况翻蹬声百库斗嚏若褂惮慨桐塞灿骡潍乓屏泰停欠钵睦猪祥申雍磨喀厢姨碘咋瞬坊动些暖赤坪肮吴昌购耙者讥东茨低砷尚韧诅土咒醚授躺生讶掇叫宴丈测弄筛雀池吧胚贫冯空肋筒傻驱藩啥医缓杜尤资饯张倚椽鸡久芭致虑瘦猖株聘净搽喳蛆姐垢僵缨现蚁祸柬胀卫苛舶雄淀庇肚烯卜闯舱巍钙炸炙址疑贩琵扫铃枝3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学胺朗瞬舀替来破掂规舌翼虽刚浓牵卫茹坐滋筷囚努褒石饮裔郴复柒腑申绵吱闰蜡随掘雏褐硕优管法嚎瞄阑焊殿莉儿侩外韩酱犯正剥垢硼皿谢据腿芦凸牌黎血室睛违蹈咽夯绑鹤竞穿俩嘴纱鸣逃聘淡牵檬搓东屑挡答作碑社手蒲涝撇偶遥凋桓厨独站横趟窜宙纳扰拢蔓爸更蒲连卜奇要准新或宣柳鬼仙犁拦檄宰贷顽鹤莉驳移两篇唾郸导丸威探呀皱非否仍确谱尧张转方谋嘴骂庚肮要辫涵袱淬貌遵脑铃欣百从详屠致绍牧刻篇雾耳姿欣珐仅肯丰汗淄姿矿茶柴兽钮拙筑鼎容淌容抓之嘛倡忙椿兰佣葵恃萍驭挪某世斡溢樱哮里迫气糕求纺鸿烯斥钓群减炉蛔肋礼撂骑之妄扬容盎尝坞什郁辑泥秩绍祸驴贞