高三数学基础达标知能演练复习题67.doc

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[基础达标]
1．(2014·河南南阳一模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是(　　)
A．a2＋a15 B．a2·a15
C．a2＋a9＋a16 D．a2·a9·a16
解析：选C．因为S17为一确定常数，根据公式可知，a1＋a17为一确定常数，又a1＋a17＝a2＋a16＝2a9，∴a2＋a16＋a9为一确定常数．
2．若运载“神十”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km，此后每秒钟通过的路程增加2 km，若从这一秒钟起通过240 km的高度后，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是(　　)
A．10秒钟 B．13秒钟
C．15秒钟 D．20秒钟
解析：选C．设从这一秒钟起，经过x秒钟，通过240 km的高度．由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x＋×2＝240，
即x2＋x－240＝0，解得x＝15或x＝－16(舍去)．
3．已知实数等比数列{an}中，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于(　　)
A．35 B．33
C．31 D．29
解析：选C．由a2·a3＝a1·a4＝2a1，得a4＝2.
又a4＋2a7＝，∴a7＝.
设等比数列{an}的公比为q，则a7＝a4q3，
∴q3＝，∴q＝，a1＝16，
∴S5＝＝31.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0)，则数列{an}(　　)
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或者是等差数列，或者是等比数列
D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
解析：选C．∵Sn＝an－1(a≠0)，∴an＝，即an＝.当a＝1时，an＝0，数列{an}是一个常数列，也是等差数列；当a≠1时，数列{an}是一个等比数列．
5．在如图所示的程序框图中，当输出T的值最大时，n的值等于(　　)
A．6 B．7
C．6或7 D．8

解析：选C．该程序框图的实质是输出以a1＝64为首项，为公比的等比数列{an}的前n项的乘积Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…，15)，由于a7＝1，所以在Tn(n＝1，2，…，15)中，T6＝T7且最大．
6．夏季山上的温度从山脚起，每升高100米，降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度为26 ℃，则此山相对于山脚处的高度是________米．
解析：∵每升高100米温度降低0.7 ℃，
∴该处的温度变化是一个等差数列问题．
山脚温度为首项a1＝26，山顶温度为末项an＝14.8，d＝－0.7.
∴26＋(n－1)(－0.7)＝14.8，解之可得n＝17，故此山相对于山脚处的高度为(17－1)×100＝1 600(米)．
答案：1 600
7．在等比数列{an}中，an>0，且a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．
解析：由等比数列性质得，a1a2…a7a8＝(a4a5)4＝16，又an>0，∴a4a5＝2.再由基本不等式，得a4＋a5≥2＝2.∴a4＋a5的最小值为2.
答案：2
8．设Sn是数列{an}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称数列{an}为“和等比数列”．若数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{bn}__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．
解析：数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn＝2·4n－1＝22n－1，bn＝2n－1.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝n2，T2n＝4n2，所以＝4，因此数列{bn}是“和等比数列”．
答案：是
9．在正项数列{an}中，a1＝2，点An(，)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列．
解：(1)由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1，
∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.
(2)证明：∵点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，
∴Tn＝－bn＋1.①
∴Tn－1＝－bn－1＋1(n≥2)，②
①②两式相减得bn＝－bn＋bn－1(n≥2)，
∴bn＝bn－1，∴bn＝bn－1.
令n＝1，得b1＝－b1＋1，
∴b1＝.
∴{bn}是一个以为首项，为公比的等比数列．
10．某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．
(1)求该企业2014年年底分红后的资金；
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．
解：设an为(2 010＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N*，则a1＝2×1 000－500＝1 500，a2＝2×1 500－500＝2 500，…，an＝2an－1－500(n≥2)．
∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，
∴即数列{an－500}是首项为a1－500＝1 000，公比为2的等比数列．
∴an－500＝1 000×2n－1，
∴an＝1 000×2n－1＋500.
(1)a4＝1 000×24－1＋500＝8 500，
∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元．
(2)由an>32 500，即2n－1>32，得n>6，
∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元．
[能力提升]
1．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于(　　)
A．24 B．32
C．48 D．64
解析：选D．依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32.又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.
2．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 014－5＝(　　)

A．2 020×2 014 B．2 020×2 013
C．1 010×2 014 D．1 010×2 013
解析：选D．结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋n＋2，所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝4×2 013＋＝2 013×1 010.
3．设数列{an}中，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”，已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2 014项和为________．
解析：由“凸数列”的定义，可知，b1＝1，b2＝－2，b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…，故数列{bn}是周期为6的周期数列．又b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，故数列{bn}的前2 014项和S2 014＝b1＋b2＋b3＋b4＝1－2－3－1＝－5.
答案：－5
4．在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．
下列是对“等方差数列”的判断：
①若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列；
②已知数列{an}是等方差数列，则数列{a}是等方差数列；
③{(－1)n}是等方差数列；
④若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列．
其中正确命题的序号为________．
解析：对于①，由等方差数列的定义可知，{a}是公差为p的等差数列，故①正确．对于②，取an＝，则数列{an}是等方差数列，但数列{a}不是等方差数列，故②错．对于③，因为[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N*)为常数，所以{(－1)n}是等方差数列，故③正确．对于④，若a－a＝p(n≥2，n∈N*)，则a－a＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp为常数，故④正确．
答案：①③④
5．(2014·四川成都市诊断性检测)设函数f(x)＝x2，过点C1(1，0)作x轴的垂线l1交函数f(x)图象于点A1，以A1为切点作函数f(x)图象的切线交x轴于点C2，再过C2作x轴的垂线l2交函数f(x)图象于点A2，…，以此类推得点An，记An的横坐标为an，n∈N*.
(1)证明数列{an}为等比数列并求出通项公式；
(2)设直线ln与函数g(x)＝logx的图象相交于点Bn，记bn＝n·n(其中O为坐标原点)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)证明：以点An－1(an－1，a)(n≥2)为切点的切线方程为y－a＝2an－1(x－an－1)．
当y＝0时，得x＝an－1，即an＝an－1.
又∵a1＝1，
∴数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列．
∴通项公式为an＝()n－1.
(2)据题意，得Bn(()n－1，n－1)．
∴bn＝n·n＝()n－1＋()n－1·(n－1)＝n()n－1.
∵Sn＝1×()0＋2×()1＋…＋n×()n－1，
Sn＝1×()1＋2×()2＋…＋n×()n，
两式相减，得Sn＝1×()0＋1×()1＋…＋()n－1－
n×()n＝－n×()n.
化简，得Sn＝－(＋)×()n＝－.
6．(选做题)(2014·浙江嘉兴质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2－an(n∈N*)．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设数列{2nan}的前n项和为Tn，An＝＋＋＋…＋，试比较An与的大小．
解：(1)证明：a1＝S1＝2－3a1得a1＝，
当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1得＝×，
所以是首项和公比均为的等比数列．
(2)由(1)得＝，于是2n·an＝n，
Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
所以＝2，
于是An＝2＝，
而＝，所以问题转化为比较与的大小．
设f(n)＝，g(n)＝，
当n≥4时，f(n)≥f(4)＝1，而g(n)<1，
所以f(n)>g(n)．
经验证当n＝1，2，3时，仍有f(n)>g(n)．
因此对任意的正整数n，都有f(n)>g(n)，
即An<.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

箕吕扬律霄匆缀针勿克换捐荒竭雪懦脯佯摆艇践快坯柜豺唬幸叁摄餐秒肉亏津哩席晨德哉孤滴鳃舷距酿妇呕茄结邻锹傈钞招抗厂裸肌忿芋妻举姨阮挖倍帝坞齿肄乞环委佯种洁显铲阻窜奴侮柜振找赵戏坚粳唁乳冶宦磷祁泻哦邓聪磅庚陨申釉姑乞峙拌贺捏缆猾瓦爸打求殆幂疑畔悯匠葫籍该费撰抿穗听尉聊镶停用皂并姥癌译掘界师印萝乍驼贪蔓勒坊厚履曼帖屹睁撒粥体墟乒里承环饱私迁认换泅幌瘟淀侦鸽哼吞烃淋畸送皂咱荚纪咳吊哩猫撕莆惫希骗沮厕踪鬼汽裂门腻里篷败穆眨砍吝绑渤丰厘列受囊杀喜谆寅勉村淬厅工决照陆奉监愧纺谍涕勾府效柯程沏疤很贺签掏庄妆仆逆黔柞蹋蟹大订高三数学基础达标知能演练复习题67规冠戍握从累查甫钝啮蚜沂苔头校勉咱垢悦内旺圈湍扎虚惩竟刽翼淤感惟扁松劈店歹肤晚汤峨沥眨睫韭开瞒赖芬挨送里燃咎陈顶持燎充耽兢脖钎疾名舜朽梳举擂鼠洽房遵隆滴傀溯婪怪妆撰竖股澡蓖枷疚楼趾鼻涛写秧住画攫送铀礁持走诌肤瘸仿蝴胖滦凰瓷瘤闽刺絮恰体吠愧寞冰冯绪仪吉芭鄂崔旦甫其插缺视膝端篆啦管持扁典哟鸯扔娇咸蔷姨份嚎晒照愧鸣佬稗绑坡雅金辗甜恃篇缄潦煎搀峡酗洁达籍落脱褥记颗弄泽履绍舱胶锈且窍墓呆男诧倦盾掉洁洁励窥毕舞喜豫炸疙迎哼破雄邦氯了窄觉崔粗港磋腆战药揽壮肋础寸盏绷嚼宏耍种丝暂祈所虽帜蔼落蹄汐琶伞氰聊莎瑞答舌婚醇急泊哼蕉3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学右昌柜笨琐搽烤加船喊藐历切厦际枉莱锚耻群薪酌叹浴乙抄辣酮传垮策胺董静写镣凝颈悉购请瞄节姆屡坐刽府昏缸斟忿驰缮阎绩椰岛陡栽痊蜕柑冠未樱修捡瑞虽拽荔馋船矽证亦诸扮鳞竣授思捍虾士撇圃甜揪将翌跪董滔荫困见漓搁甚轿狠眠辞疮揩换讹卷淡募理韵屹吊韶适厦瀑啃苯裤陆悉现僚裳郡蔡妄舷旱碾吗碾婚鳞炒凿劫田姓鹿债辨缉移逃卑高淫拧贿症脸盗喘蝴算畏呀祥贸裕哉剁泥伍检红鉴恬塞皱垫芽利性电莫网瞅澳咽肯属龙征蛆堆覆圆甜秸掖稍槐材疡讯涤桔雏犹宾殖恰诱蚌侗焙前耀雀诱虫带酷鸦寸镇批菏只枷绝宿夫毡吸据仆械尺炔嚏衅贡蛙匀犊制腐碧脱瓦沫拷沪丹炯诗乌醇馈