高中数学平面向量知识点总结及常见题型.pdf
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1、1平面向量平面向量一一.向量的基本概念与基本运算向量的基本概念与基本运算1 1头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量的概念:向量的概念:向量:向量:既有大小又有方向的量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量一般用来表示,或用有向线段的起点与终cba,点的大写字母表示,如:头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头几何表示法,;坐标表示法奎屯王新敞新疆 AB AB a
2、),(yxyjxia向量的大小即向量的模(长度),记作|头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头即向量的大小,记作奎屯王新敞新疆 AB a向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小零向量:零向量:长度为 0 的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头零向量00a00奎屯王新敞新疆 由于的方向是任意的,且规定平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)a00的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件(注意与(注意
3、与 0 0 的区别)的区别)单位向量:单位向量:模为 1 个单位长度的向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量为单位向量1奎屯王新敞新疆0a0a平行向量(共线向量):平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头任意一组平行向量都可以移到同一直线上头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头方向相同或相反的向量,称为平行向量奎屯王新
4、敞新疆记作奎屯王新敞新疆由于向量可以进行任意的平移ab(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量奎屯王新敞新疆相等向量:相等向量:长度相等且方向相同的向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头相等向量经过平移后总可以重合,记为头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头大小相等,方向相同头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头ba),(),(221
5、1yxyx2121yyxx2 2头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量加法向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头设,则+=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头,ABa BCb abABBC AC(1);(2)向量加法满足交换律与结合律;aaa00向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:(1)用平行四边形法则时,两个已知
6、向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头(2)三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向
7、量相加:2,但这时必须“首尾相连”ABBCCDPQQRAR 3 3头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量的减法向量的减法 相反向量:相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量aa记作,零向量的相反向量仍是零向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头a关于相反向量有:(i)=;(ii)+()=()+=;)(aaaaaa0(iii)若、是互为相反向量,则=,=,+=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头
8、头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头ababbaab0向量减法:向量减法:向量加上的相反向量叫做与的差,abab记作:头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头求两个向量差的运算,叫做向量的减法头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头)(baba作图法:作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头babaab4 4头
9、 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头实数与向量的积:实数与向量的积:实数 与向量的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下:aa();aa()当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方0aa0aa向相反;当时,方向是任意的头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头00a数乘向量满足交换律、结合律与分配律头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头5 5头 头头 头 头 头 头
10、 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头两个向量共线定理:两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头baba6 6头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头平面向量的基本定理:平面向量的基本定理:如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且21,eea只有一对实数使:,其中不共线的向量叫做表示这一平面内21,2211eea
11、21,ee所有向量的一组基底头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头7 7头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 特别注意特别注意:(1)向量的加法与减法是互逆运算头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头
12、头(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头3二二.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示1 1头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头平面向量的坐标表示:平面向
13、量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量作为基底头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头由平面,i j 向量的基本定理知,该平面内的任一向量可表示成,由于与数对(x,y)是aaxiyja一一对应的,因此把(x,y)叫做向量的坐标,记作=(x,y),其中 x 叫作在 x 轴上的aaa坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量头 头头
14、头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头2 2头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头平面向量的坐标运算:平面向量的坐标运算:(1)若,则1122,ax ybxy1212,abxxyy(2)若,则 2211,yxByxA2121,ABxx yy(3)若=(x,y)
15、,则=(x,y)aa(4)若,则1122,ax ybxy1221/0abx yx y(5)若,则1122,ax ybxy1212a bxxyy若,则ab02121yyxx3 3奎屯王新敞新疆向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质及其各运算的坐标表示和性质 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1奎屯王新敞新疆平行四边形法则2奎屯王新敞新疆三角形法则1212(,)a bxx yy abba)()(cbacbaABBCAC 向量的减法三角形法则1212(,)a bxx yy)(babaABB
16、A OBOAAB 4向量的乘法是一个向量,a满足:0 时,与同aa向;0 时,与异aa向;=0 时,=奎屯王新敞新疆a0),(yxaaa)()(aaa)(baba)(abab向量的数量积是一个数ba或时,0a0b=0ba且时,0a0bbababa,cos|1 212a bx xy yabba)()()(bababacbcacba)(,22|aa22|yxa|baba三平面向量的数量积三平面向量的数量积1 1头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头两个向量的数量积:两个向量的数量积:已知两个非零向量与,它们的夹角为,则=c
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