张量及应用1.ppt
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1、张量分析及其应用第一章 张量代数第二章 张量分析第三章 张量应用11.1 指标记法1.1.1 求和约定、哑指标第一章 张量代数2显然,指标 i,j,k 与求和无关,可用任意字母代替。为简化表达式,引入Einstein求和约定:每逢某个指标在一项中重复一次,就表示对该指标求和,指标取遍正数1,2,n。这样重复的指标称为哑标。于是3是违约的,求和时要保留求和号n 表示空间的维数,以后无特别说明,我们总取n=3。例题4双重求和简写成展开式(9项)三重求和(27项)51.1.2 自由指标例如指标 i 在方程的各项中只出现一次,称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1,3,n,与哑标一样,无 特别说明
2、总取n=3。于是,上式表示3个方程的缩写:6i 为自由指标,j 为哑标表示7i 为自由指标,j 为哑标表示8i,j为自由指标,k 为哑标表示9个方程:9例外:出现双重指标但不求和时,在指标下方加划线 以示区别,或用文字说明(如i不求和)。规定:这里 i 相当于一个自由指标,而 i 只是在数值上等于 i,并不与 i 求和。10又如,方程用指标法表示,可写成i 不参与求和,只在数值上等于 i111.2 Kronecker 符号在卡氏直角坐标系下,Kronecker 符号定义为:其中 i,j 为自由指标,取遍1,2,3;因此,可确定一单位矩阵:12若是相互垂直的单位矢量,则,但而,故13注意:是一个
3、数值,即的作用:1)换指标;2)选择求和。例1:思路:把要被替换的指标 i 变成哑标,哑标能用任意字母,因此可用变换后的字母 k 表示14例2:例3:个数,项的和。求特别地,151.3 置换符号i,j,k,为1,2,3的偶排列i,j,k,为1,2,3的奇排列i,j,k,不是1,2,3的排列例如:16可见:也称为三维空间的排列符号。若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量则17常见的恒等式(i)(ii)(iii)(iv)18证明:令即得(i),将(i)作相应的指标替换,展开化简,将得其余三式。指标任意排列,经过行列调整总可用右边表示,两个置换符号分别反映行、列调换及指标重复时的正、负及零19二维置换符
4、号其中从三维退化得到有下列恒等式20关键公式:21二维关键公式:221.4 指标记法的运算1.4.1 代入设(1)(2)把(2)代入(1)mn or else3个方程,右边为9项之和231.4 指标记法的运算1.4.2 乘积设则不符合求和约定241.4 指标记法的运算1.4.3 因式分解考虑第一步用表示有换指标的作用所以即251.4 指标记法的运算1.4.4 缩并使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各向同性材料应力应变关系缩并哑标与求和无关,可用任意字母代替为平均应力应变之间的关系261.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换求和约定同样适用于微分方程。不可压
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