时间序列分析-第四章-均值和自协方差函数的估计.ppt
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1、第四章均值和自协方差函数的估计均值和自协方差函数的估计.本章结构n均值的估计均值的估计n自协方差函数的估计自协方差函数的估计n白噪声检验白噪声检验.4.1 均值的估计n相合性相合性n中心极限定理中心极限定理n收敛速度收敛速度n 的模拟计算的模拟计算.均值、自协方差函数的作用nAR,MA,ARMA模型的参数可以由自协方差函数唯一确定。n有了样本之后,可以先估计均值和自协方差函数。n然后由均值和自协方差函数解出模型参数。n均值和自协方差可以用矩估计法求。n还要考虑相合性,渐进分布,收敛速度等问题。.均值估计公式n设 是平稳列 的观测。n 的点估计为n把观测样本看成随机样本时记作大写的.相合性n设统
2、计量 是 的估计,在统计学中有如下的定义n1 如果 ,则称 是 的无偏估计。n2 如果当 则称 是 的渐 进无偏估计。n3 如果 依概率收敛到 ,则称 是 的相合估计。n4如果 收敛到 ,则称 是 的强相合估计。.n一般情况下,无偏估计比有偏估计来得好,对于由(1.1)定义的 。有所以 是均值 的无偏估计。.均值估计的相合性n好的估计量起码应是相合的。否则,估计量不收敛到要估计的参数,它无助于实际问题的解决。n对于平稳序列 ,如果它的自协方差函数 收敛到零,则:.n利用切比雪夫不等式n得到 依概率收敛到 。于是 是 的相合估计。.均值估计的性质n定理1.1 设平稳序列 有均值 和自协方差函数
3、。则 1 是 的无偏估计。2 如果 则 是 的相合估计。3 如果 还是严平稳遍历序列,则 是 的强相合估计。.n第三条结论利用1.5的遍历定理5.1可得。一般地,任何强相合估计一定是相合估计。线性平稳列的均值估计是相合估计。ARMA模型的均值估计是相合估计。.独立同分布样本的中心极限定理n若 。则n可以据此计算 的 置信区间。(1.3)其中的1.96也经常用2近似代替。.平稳列的均值估计的中心极限定理n定理1.2 设 是独立同分布的 ,线性平稳序列 由 (1.5)定义。其中 平方可和。如果 的谱密度 (1.6)在 连续,并且 则当 时,.推论n当 绝对可和时,连续。n推论1.3 如果 和 成立
4、,则当 时 并且 (1.7).收敛速度n相合的估计量渐进性质除了是否服从中心极限定理外,还包括这个估计量的收敛速度。n收敛速度的描述方法之一是所谓的重对数律。n重对数律成立时,得到的收敛速度的阶数一般是n除了个别情况,这个阶数一般不能再被改进。.收敛速度(2)n定理1.4 设 是独立同分布的 。线性平稳序列 由(1.5)定义。谱密度 。当以下的条件之一成立时:1 当 以负指数阶收敛于0.2 谱密度 在 连续。并且 对某个 成立。.n则有重对数律 (1.8)(1.9)易见重对数律满足时 不收敛。.AR(2)的均值计算n令 考虑AR(2)模型为模拟方便设 。.AR(2)的均值计算(2).估计收敛性
5、的模拟n为了观察 时 的收敛可以模拟L个值然后观察 的变化。n为了研究固定N情况下 的精度以至于抽样分布。可以进行M次独立的随机模拟,得到M个 的观察值。这种方法对于难以得到估计量的理论分布的情况是很有用的。.4.2 自协方差函数的估计n自协方差估计公式及正定性n 的相合性n 的渐进分布n模拟计算.自协方差函数估计公式n (2.2)样本自相关系数(ACF)估计为 (2.3).自协方差函数估计公式n估计 一般不使用除了 的估计形式:(2.4)因为:我们不对大的k值计算 更重要的是只有除以N的估计式才是正定的。.样本自协方差的正定性n只要观测 不全相同则 正定。n令 记 (2.5)只要 不全是零则
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