勾股定理的培优专题.doc
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1、勾股定理培优专题 一、本节基础知识 1、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.2、命题与原命题:勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反,我们把像这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。3、逆定理:一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理。4、勾股数:3、4、5这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数。巩固练习:1如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2,那么这个三角形是_三角形,我们把这个定理叫做勾股定理的_2在两
2、个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做_如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的_3分别以下列四组数为一个三角形的边长:(1)6、8,10,(2)5、12、13,(3)8、15、17,(4)4、5、6,其中能构成直角三角形的有_(填序号)4若ABC中,(ba)(ba)c2,则B_;5如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ABC是_三角形6若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数),则以a2、a、a2为边的三角形的面积为_7写出下列命题的逆命题,并判断逆命题的真假(1)两直线平行,同位角相
3、等(2)若ab,则a2b2二、经典例题、针对训练、延伸训练考点一 证明三角形是直角三角形例1、已知:如图,在ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=ADBD.求证:ABC是直角三角形. 针对训练:1、已知:在ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC的形状.2(如图) 在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=BC,求证:EFA=90.3、如图,已知:在ABC中,C=90,M是BC的中点,MDAB于D,求证:AD2=AC2+BD2. 考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算 例、如图,等腰ABC中,底边BC20,
4、D为AB上一点,CD16,BD12,求ABC的周长。 针对训练:1、.已知:如图,四边形ABCD,ADBC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求:四边形ABCD的面积. 3.已知:如图,DE=m,BC=n,EBC与DCB互余,求BD2+CD2.考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用例1.阅读下列解题过程:已知a、b、c为ABC的三边,且满足a2c2b2c2=a4b4,试判断ABC的形状.解:a2c2b2c2=a4b4,(A)c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2),(B)c2=a2+b2,(C)ABC是直角三角形.问:上述解题过程是从哪一步开始出现错误的?请写出该步的代号_;错误的
5、原因是_;本题的正确结论是_.例2. 学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验!(1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是 _mm;_mm;较长的一条边长_mm。 比较 (填写“”,“”,或“”);(2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是_mm; _mm;较长的一条边长_mm。 比较 (填写“”,“”,或“”);(3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是:;。对你猜想与的两个关系,任选其中一个结论利用勾股定理证明
6、。例3.如图,南北向MN为我国的领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海.上午9时50分,我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:A和C两艇的距离是13海里,A、B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?针对训练:1观察下列各式:324252;8262102;15282172;242102262,你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明,再根据规律写出接下来的式子2、如图所示,有一块塑料模板ABCD,长为
7、10,宽为4,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动:能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由.再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2?若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由. 3.喜欢爬山的同学都知道,很多名山上都有便于游人观光的索道,如图所示,山的高度AC为800 m,从山上A与山下B处各建一索道口,且BC=1 500 m,一游客从山下索道口坐缆车到山顶,知缆车每分钟走50 m,
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