初中数学中点模型的构造及应用.doc
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1、中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型: 任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段 出现两个或三个中点考虑三角形中线定理 已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线 已知等边、等腰三角形底边中点,可以考虑与顶角连接用“三线合一” 有些题目不直接给出中点,我们可以挖掘其中隐含中点,比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型 三角形中线的交点称为重心,它把中线分的线段比为2:1二、中点模型辅助线构造方法分类(一)倍长中线法(构造全等三角形,八字全等)当已知条件中出现中线时,常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。如图,在
2、ABC中,D为BC中点,延长AD到E使AD=DE,连接BE,则有:ADCEDB。作用:转移线段和角。(二)倍长类中线法(与中点有关线段,构造全等三角形,八字全等)当已知条件中出现类中线时,常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。如图,在ABC中,D为BC中点,延长ED到F使ED=DF,连接CF,则有:BEDCFD。作用:转移线段和角。(三)直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时,常构造直角三角形斜边中线,然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。如下图,在RtABC中,D为AB中点,则有: (四)等腰三角形三线合一 当出现等腰三角形时,常隐含有底边中点,将其与顶角连接,
3、可构成三线合一。在ABCD中:(1)AC=BC=;(2)CD平分;(3)AD=BD=,(4) “知二得二”:比如由(2)(3)可得出(1)(4).也就是说,以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出剩下两条。(五)中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时,常考虑构造中位线;或出现一个中点,要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。如图,在ABC中,D,E分别是AB、AC边中点,则有,。三、练习(一)倍长中线法1.(2014秋津南区校级期中)已知:在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BEAC,延长BE交AC于F,求证:AFEF2. (2017湘潭)如图,在ABC
4、D中,DECE,连接AE并延长交BC的延长线于点F(1)求证:ADEFCE;(2)若AB2BC,F36求B的度数3.(2017江西萍乡,15)如图,在ABC中,CD是AB边上的中线,E是CD的中点,过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F,连接BF(1)求证:CFAD;(2)若CACB,试判断四边形CDBF的形状,并说明理由4.(2014鄂尔多斯)如图1,在ABCD中,点E是BC边的中点,连接AE并延长,交DC的延长线于点F且AEC2ABE连接BF、AC(1)求证:四边形ABFC的是矩形;(2)在图1中,若点M是BF上一点,沿AM折叠ABM,使点B恰好落在线段DF上的点B处(如图2),AB13
5、,AC12,求MF的长5.(2017贵阳,24)(1)阅读理解:如图,在四边形ABCD中,ABDC,E是BC的中点,若AE是BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F,易证AEBFEC,得到ABFC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断AB、AD、DC之间的等量关系为_;(2)问题探究:如图,在四边形ABCD中,ABDC,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点,若AE是BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论(3)问题解决:如图,ABCF,AE与BC交于点E,BE:EC2:3,点D在线段
6、AE上,且EDFBAE,试判断AB、DF、CF之间的数量关系,并证明你的结论(二)倍长类中线法1.(2016秋江都区期中)已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,且BAECDE 求证:ABCD2.(2017重庆,24)在ABM中,ABM45,AMBM,垂足为M,点C是BM延长线上一点,连接AC(1)如图1,若,BC5,求AC的长;(2)如图2,点D是线段AM上一点,MDMC,点E是ABC外一点,ECAC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点,求证:BDFCEF3.(2017山西,17)已知:如图,在ABCD中,延长AB至点E,延长CD至点F,使得BEDF连接EF,与对角线AC交
7、于点O求证:OEOF(三)直角三角形斜边中线法1.(2016乌鲁木齐,9)如上图,在RtABC中,点E在AB上,把这个直角三角形沿CE折叠后,使点B恰好落到斜边AC的中点O处,若BC3,则折痕CE的长为( )A. B. C. D.62. (2015乌鲁木齐,9)如图,将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中,两条直角边分别与坐标轴重合,P为斜边的中点现将此三角板绕点O顺时针旋转120后点P的对应点的坐标是( )A B. C. D. 3.(2017新疆,22)如图,AC为O的直径,B为O上一点,ACB30,延长CB至点D,使得CBBD,过点D作DEAC,垂足E在CA的延长线上,连接BE(1
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