离散数学习题答案.doc
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1、.离散数学习题答案 习题一及答案:(P14-15) 14、将下列命题符号化: (5)李辛与李末是兄弟 解:设p:李辛与李末是兄弟,则命题符号化的结果是p (6)王强与刘威都学过法语 pq解:设p:王强学过法语;q:刘威学过法语;则命题符号化的结果是 (9)只有天下大雨,他才乘班车上班 qp解:设p:天下大雨;q:他乘班车上班;则命题符号化的结果是 (11)下雪路滑,他迟到了 解:设p:下雪;q:路滑;r:他迟到了;则命题符号化的结果是(pq)r 15、设p:2+3=5. q:大熊猫产在中国. r:太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值: (pqr)(pq)r)(4) 解:p=1,q=1,r=0
2、, (pqr)(110)1, (pq)r)(11)0)(00)1 (pqr)(pq)r)111 19、用真值表判断下列公式的类型: (pp)q(2) 解:列出公式的真值表,如下所示: ppqq (pp)(pp)q 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 由真值表可以看出公式有3个成真赋值,故公式是非重言式的可满足式。 20、求下列公式的成真赋值: (4)(pq)q 解:因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是: p0(pq)1 q0q0成真赋值有:01,10,11。 所以公式的 习题二及答案:(P38) 5、求下
3、列公式的主析取范式,并求成真赋值: (2) (pq)(qr)解:原式 (pq)qr(pp)qrqr ,此即公式的主析取范式, mm(pqr)(pqr)37所以成真赋值为011,111。 *6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值: (2) (pq)(pr)解:原式,此即公式的主合取范式, M(ppr)(pqr)(pqr)4所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式: (1) (pq)r解:原式 pq(rr)(pp)(qq)r) (pqr)(pq)r(pq)r(pq)r(pq)r(pqr (pqr)(pq)r(pq)r(pq)r(pqr ,此即主析取范式。 m
4、mmmm13567主析取范式中没出现的极小项为,所以主合取范式中含有三个极大项,MMmmm02024,故原式的主合取范式。 MMMM4024 9、用真值表法求下面公式的主析取范式: (1) (pq)(pr)解:公式的真值表如下: pppqprq r (pq)(pr) 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 由真值表可以看出成真赋值的情况有7种,此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式,故主析取范式 mmm
5、mmmm1234567 习题三及答案:(P52-54) 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提: pq,qr,rs,p结论:s 证明: p 前提引入 前提引入 pq q 析取三段论 前提引入 qr r 析取三段论 rs 前提引入 s 假言推理 15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理: (2)前提: (pq)(rs),(st)u 结论: pu证明:用附加前提证明法。 p 附加前提引入 附加 pq 前提引入 (pq)(rs)rs 假言推理 s 化简 附加 st 前提引入 (st)u u 假言推理 故推理正确。 16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理: rs(1)前提:,
6、 pqrq 结论: p证明:用归谬法 p 结论的否定引入 前提引入 pq 假言推理 q 前提引入 rq 析取三段论 rrs 前提引入 r 化简 合取 rr由于,所以推理正确。 rr017、在自然推理系统P中构造下面推理的证明: 只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开,A就是谋杀嫌犯。A曾到过受害者房间。如果A在11点以前离开,看门人会看见他。看门人没有看见他。所以,A是谋杀嫌犯。 解:设p:A到过受害者房间,q:A在11点以前离开,r:A是谋杀嫌犯,s:看门人看见过A。 s则前提:, pqs(pq)r 结论: r证明: 前提引入 qss 前提引入 拒取式 q 前提引入 p 合取引入 pq
7、前提引入 (pq)r 假言推理 r 习题四及答案:(P65-67) 5、在一阶逻辑中将下列命题符号化: (2)有的火车比有的汽车快。 解:设F(x):x是火车,G(y):y是汽车,H(x,y):x比y快;则命题符号化的结果是: $x$y(F(x)G(y)H(x,y) (3)不存在比所有火车都快的汽车。 解:方法一: 设F(x):x是汽车,G(y):y是火车,H(x,y):x比y快;则命题符号化的结果是: $x(F(x)y(G(y)H(x,y)x(F(x)$y(G(y)H(x,y)或 方法二: 设F(x):x是火车,G(y):y是汽车,H(x,y):x比y快;则命题符号化的结果是: $x(G(x
8、)y(F(y)H(x,y)$xy(G(x)(F(y)H(x,y)或 9、给定解释I如下: (a) 个体域为实数集合R。 -a=0 (b) 特定元素。-f(x,y)=x-y,x,yR (c) 函数。-F(x,y):x=y,G(x,y):xy,x,yR (d) 谓词。 给出以下公式在I下的解释,并指出它们的真值: xy(F(f(x,y),a)G(x,y)(2) xy(x-y=0xy)解:解释是:,含义是:对于任意的实数x,y,若x-y=0则x=2 (2), r(R)=RUI=1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,5,5,6,6A-1 s(R)=RUR=1,5,5,1,2,
9、5,5,2,3,1,1,3,3,3,4,5,5,4232 t(R)=RURURU.=RUR=1,5,2,5,3,1,3,3,3,5,4,541、设A=1,2,3,4,R为AA,AA上的二元关系,Ra+b=c+d (1)证明R为等价关系; (2)求R导出的划分。 (1)只需证明R具有自反性、对称性和传递性即可,证明过程如下: AARa+b=a+b(a)任取,有,所以R具有自反性; ,AAR(b)任取,若, Ra+b=c+dc+d=a+b则有,所以R具有对称性; ,AARR(c)任取,若且, c+d=e+fa+b=e+fRa+b=c+d则有且,所以R具有传递性, AA综合(a)(b)(c)可知:R
10、为集合上的等价关系; AA(2)先求出集合的结果: AA=,AA再分别求集合各元素的等价类,结果如下: =, R=, RR=, RRR=, RRRR=, RRR=, RR=。 RA/RA/R等价关系R导出的划分就是集合A关于R的商集,而集合A关于R的商集是由R的所有等价类作为元素构成的集合,所以等价关系R导出的划分是: , A,R46、分别画出下列各偏序集的哈斯图,并找出A的极大元、极小元、最大元和最小元。 (1) R=a,d,a,c,a,b,a,e,b,e,c,e,d,eUI A解:哈斯图如下: e b c d f a A的极大元为e、f,极小元为a、f; A的最大元和最小元都不存在。 A=
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