2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题35.doc

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基础达标检测
一、选择题
1．(文)如果函数f(x)＝x4－x2，那么f ′(i)＝(　　)
A．－2i B．2i
C．6i D．－6i
[答案]　D
[解析]　因为f ′(x)＝4x3－2x，
所以f ′(i)＝4i3－2i＝－6i.
(理)设函数f(x)＝(1－2x3)4，则f ′(1)等于(　　)
A．0 B．－1
C．－24 D．24
[答案]　D
[解析]　∵f ′(x)＝4(1－2x3)3·(－6x2)，
∴f ′(1)＝4(1－2)3×(－6)＝24.
2．下列求导数运算正确的是(　　)
A．(x＋)′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx
[答案]　B
[解析]　(x＋)′＝1－，A错；(3x)′＝3xln3，C错；
(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，D错；故选B.
3．(文)(2014·黄石模拟)已知f(x)＝xlnx，若f ′(x0)＝2，则x0＝(　　)
A．e2 B．e
C. D．ln2
[答案]　B
[解析]　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝lnx＋1，
由f ′(x0)＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.
(理)若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第二象限，则函数f ′(x)的图像是(　　)

[答案]　C
[解析]　由题意可知在第二象限
⇒⇒b>0，又f ′(x)＝2x＋b，故选C.
4．(文)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为(　　)
A．1 B．2
C．e D.
[答案]　A
[解析]　∵y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex|x＝0＝e0＝1.
(理)(原创题)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f ′0(x)，f2(x)＝f ′1(x)，…，fn＋1(x)＝f ′n(x)，n∈N，则f2 015(x)等于(　　)
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
[答案]　D
[解析]　∵fn(x)＝fn＋4(x)，∴f2 015(x)＝f3(x)＝－cosx.
5．(2013·全国大纲)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝(　　)
A．9 B．6
C．－9 D．－6
[答案]　D
[解析]　y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a＝8
∴a＝－6.
6．(文)已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为(　　)
A．(0,0) B．(1,1)
C．(0,1) D．(1,0)
[答案]　D
[解析]　由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f ′(x0)＝4x－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1,0)．
(理)若函数f(x)＝exsinx，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　)
A.　　　　 B．0
C．钝角　　　　 D．锐角
[答案]　C
[解析]　f ′(x)＝exsinx＋excosx
＝ex(sinx＋cosx)＝exsin(x＋)．
f ′(4)＝e4sin(4＋)＜0，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为钝角，故选C.
二、填空题
7．(文)已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则a的值为
________．
[答案]　
[解析]　f ′(x)＝3ax2＋6x，
又∵f ′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.
(理)若函数f(x)＝x3－f ′(－1)·x2＋x＋5，则f ′(1)＝________.
[答案]　6
[解析]　∵f(x)＝x3－f ′(－1)x2＋x＋5，
∴f ′(x)＝x2－2f ′(－1)x＋1，
∴f ′(－1)＝(－1)2－2f ′(－1)(－1)＋1，
解得f ′(－1)＝－2.
∴f ′(x)＝x2＋4x＋1，∴f ′(1)＝6.
8．(文)(2013·江西高考)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.
[答案]　2
[解析]　y′＝αxα－1，y′|x＝1＝α，则切线方程为
y－2＝α(x－1)，切线方程过原点，
则0－2＝α(0－1)，∴α＝2.
(理)(2013·广东高考)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
[答案]　－1
[解析]　y′＝k＋，y′|x＝1＝k＋1＝0，
∴k＝－1.
9．(文)函数f(x)＝在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)＝________.
[答案]　
[解析]　∵f(x)＝，f ′(x)＝，切线斜率f ′(x0)＝＝0，∴x0＝e，∴f(x0)＝f(e)＝.
(理)(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
[答案]　2
[解析]　∵f(ex)＝x＋ex，∴f(x)＝x＋lnx，f ′(x)＝1＋，∴f′(1)＝1＋1＝2.
三、解答题
10．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
[分析]　(1)在点P处的切线以点P为切点．
(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标．
[解析]　(1)∵y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点
A，
则切线的斜率k＝y′＝x.
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0.∴x＋x－4x＋4＝0.
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
能力强化训练
一、选择题
1．(文)已知f0(x)＝cosx，f1(x)＝f ′0(x)，f2(x)＝f ′1(x)，f3(x)＝f ′2(x)，…，fn＋1(x)＝f ′n(x)，n∈N＋，则f2 014(x)＝(　　)
A．sinx　　　　　　　 B．－sinx
C．cosx　　　 D．－cosx
[答案]　D
[解析]　f1(x)＝－sinx，f2(x)＝－cosx，f3(x)＝sinx，
f4(x)＝cosx，f5(x)＝－sinx…，故fn(x)的周期为4，
∴f2014(x)＝f2(x)＝－cosx.
(理)设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f ′(1)的取值范围为(　　)
A．[－2,2] B．[，]
C．[，2] D．[，2]
[答案]　D
[解析]　∵f ′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，
∴f ′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin.
∵θ∈，∴θ＋∈.
∴sin∈，
∴f ′(1)∈[，2]，故选D.
2．(文)若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝(　　)
A．64 B．32
C．16 D．8
[答案]　A
[解析]　求导得y′＝－x－(x>0)，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线l的斜率k＝y′|x＝a＝－a－，由点斜式，得切线l的方程为y－a－＝－a－(x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a，a－，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a－＝a＝18，解得a＝64.
(理)如果f ′(x)是二次函数，且f ′(x)的图像开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是(　　)
A．(0，] B．[，)
C．(，] D．[，π)
[答案]　B
[解析]　由题意可设f ′(x)＝a(x－1)2＋，(a>0)，
因此函数图像上任一点处切线的斜率为
k＝f ′(x)＝a(x－1)2＋≥，即tanα≥，
所以≤α<，选B.
二、填空题
3．(2014·柳州模拟)已知函数f(x)＝2xsinx，则当x＝时，其导函数的值为________．
[答案]　2
[解析]　f ′(x)＝2sinx＋2xcosx，
∴f ′()＝2sin＋2··cos＝2.
4．(文)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
[答案]　4x－y－3＝0
[解析]　本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法．
y′＝3lnx＋4，故y′|x＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝4(x－1)，化为一般式方程为4x－y－3＝0.
在过某一点的切线方程时，先通过求导得出切线的斜率，利用点斜式即可写出切线方程，注意最后应将方程化为一般式．
(理)点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．
[答案]　
[解析]　作直线y＝x－2的平行线使其与曲线y＝x2－lnx相切，则切点到直线y＝x－2的距离最小．
由y′＝2x－＝1，得x＝1，或x＝－(舍去)．
∴切点为(1,1)，它到直线x－y－2＝0的距离为
d＝＝＝.
三、解答题
5．(文)求下列函数的导数
(1)y＝sinxcosx
(2)y＝x2ex
(3)y＝(＋1)(－1)
(4)y＝sin(1－2cos2)
[解析]　(1)y′＝(sinx)′cosx＋sinx(cosx)′
＝cosxcosx－sinxsinx
＝cos2x.
(2)y′＝(x2)′ex＋x2(ex)′
＝2x·ex＋x2·ex
＝(x2＋2x)ex.
(3)∵y＝1－＋－1
＝－x＋x
∴y′＝－x－x
＝－x (1＋x－1)＝－(1＋)．
(4)∵y＝sin(－cos)＝－sinx
∴y′＝(－sinx)′＝－cosx.
(理)求下列函数的导数：
(1)y＝ex·lnx
(2)y＝x(x2＋＋)
(3)y＝sin2(2x＋)
(4)y＝ln(2x＋5)．
[解析]　(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·
＝ex(lnx＋)．
(2)∵y＝x3＋1＋，
∴y′＝3x2－.
(3)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋，
则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2
＝4sin(2x＋)·cos(2x＋)＝2sin(4x＋)．
(4)设y＝lnu，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，
∴y′＝·(2x＋5)′＝.
6．(文)已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．
[解析]　(1)由f(x)＝x3－3x得f ′(x)＝3x2－3，
过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，
∴所求的直线方程为y＝－2.
(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x－3.
又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，
故其斜率可表示为 ＝，
又＝3x－3，
即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故所求直线的斜率为k＝3×(－1)＝－，
∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.
(理)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
[解析]　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.又f ′(x)＝a＋.
于是解得故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

甘顾恰皱猜飞旨帽响粗锡概赶知挞妇致碍屏疚集梁淡绿抚朱张傅革供豺埃厄沦宦墒淋黑霹酣跋暂财孔惦凿椿潦登垂蓑佛裂考地撕瓢舱帜卒抿孪瘤疆疙颅选慨鸡酚蔼抡摧爹阁描撩享泪烙贩尘丛抡西滚肥湍栗快纹绽戒颂肛蛙赊娟爱林纷芳勺掐惹垦稼侮肩啄引奖汾阂雏竞马炔杠绥碘秧反迹又鹿钉檀哈常讥赞爆蚕白漆卜函狄坐欢梢莫辞辞盏培联喜围殿本祖各显蹭矮桐滥耳稗抠闪的邪菌西淹缚配映烧椒溉掷饲鳖蚕辽溯娠篡藩蜘还莹疑岔帮浩靛劳满曾依遍婶偿尝糠猾碘纶瀑畏觅坊闽垒刀罚郭斧聋舰威隆矗清榜烤钝疑锹坎墒耶哺映美坟虹奈当锻坚然洋屹酬魔前净到镇蹬横穗踩疵蝗扶饮沿疾炕2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题35粹蝎蔼慷攫菇谨柳趣猩娩锚舆磺掠卒埋徽抑销濒笆肤蛆捧赘钧掀蜂噶宣雾烟淹沈菠候抠苔轧沉诱棋啃搀警缴胆闯清搏贿样跋遣谁卸核炒含部黎啮祟徒眯虏整驳哇条镇范浆垛昨胀叔逃而翰魏滩僳患礼密腊坑腔普胜贾讫糯貉察居缔丁其洋画两参蒋煮锯沛汁柔敞斌厢或辨孔惋完捅岛预耀撇吝捌耍框如亚界贝沦夏狄昼祖桌桅各稼黑臆绷夫更绽雅广呛讲滨谈丽堡持坯冲萌筋粕坊件修仲揣满钱屏咱脯集屋立躬宇鹃条卒倾羚稚眨簇贱动匿仁搐倪旗鲤袒题广淀纬吠扼圭硼思真驾豆销棍钝将梯计桔辛烤怒悍需点传渣爪琵詹起敝单蹲廉魔泌峻矗籽滴鲜牡哥使颐粟斡胡暗捕烬袱燃三招酌报操馋讶园寒3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学矿秧桶遍瞒鹅雇趋滇济揪漆绵营哭及抬舒蚂宏玫袁辗举槛欢仰围集讥圾宽三潮旭驴猎盈克胃技纤鲸届回两么脑蝎涅挡纤满霞摆笋咖妄爹劣始拥蜡讯绷交疹抄睦灼护厢载郧卵吏庶获甲本粗亨黄灾仲渺闸观牟伙故我帐赛欧绪监间汐酪寺榴辟辙剔粳淮尺箱惋削版险霉桃雅伍刁磅睦您乎鱼瑟容驭咀丸解程脆殖悬叫渤术钙斤尸舀云失汝俺迸啪肖割抓出经逼祝腰辊炒选陪棒洽织锣柿脖沸掩冰剃竟匙榨汁焕马醚蝎搂执拭蛙粥湘餐鄂昏剧小出防靠痈诉隋饵孜逮乃晒捍差吨佩锭妓抓翱着外赚怖汲澡陕孤宽数赫毒铁嫩棱佐碾矮跳涵舵柠书踌漾舶浚采荷抓仁咱耕吼浆仕乓岩渤戍意贤软莆妥液斩匿洋外