2.1-2对偶定义性质1.ppt
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1、线性规划的对偶与对偶单纯形法 对偶的定义 对偶问题的性质 对偶的对偶就是原始问题 对偶定理 互补松弛关系 对偶可行基对偶单纯形法 对偶的经济解释DUAL对偶原理对偶问题概念:对偶问题概念:任何一个线性规划问题都有一个与之相对应任何一个线性规划问题都有一个与之相对应的线性规划问题,如果前者称为原始问题,后者的线性规划问题,如果前者称为原始问题,后者就称为就称为“对偶对偶”问题。问题。对偶问题是对原问题从另一角度进行的描述,对偶问题是对原问题从另一角度进行的描述,其最优解与原问题的最优解有着密切的联系,在其最优解与原问题的最优解有着密切的联系,在求得一个线性规划最优解的同时也就得到对偶线求得一个线
2、性规划最优解的同时也就得到对偶线性规划的最优解,反之亦然性规划的最优解,反之亦然。对偶理论就是研究线性规划及其对偶问题的对偶理论就是研究线性规划及其对偶问题的理论,是线性规划理论的重要内容之一。理论,是线性规划理论的重要内容之一。问题的导出ABC拥有量工 时1113材 料1479单件利润233ABC拥有量工 时1113材 料1479单件利润233假设有客户提出要求,购买工厂所拥有的假设有客户提出要求,购买工厂所拥有的工时和材料,为客户加工别的产品,由客工时和材料,为客户加工别的产品,由客户支付工时费和材料费。那么工厂给工时户支付工时费和材料费。那么工厂给工时和材料制订的最低价格应是多少,才值得
3、和材料制订的最低价格应是多少,才值得出卖工时和材料出卖工时和材料?ABC拥有量工 时1113材 料1479单件利润233出卖资源获利应不少于生产产品的获利出卖资源获利应不少于生产产品的获利;约束约束价格应该尽量低,这样,才能有竞争力价格应该尽量低,这样,才能有竞争力;目标目标价格应该是非负的价格应该是非负的 ABC拥有量工 时1113材 料1479单件利润233用用y1和和y2分别表示工时和材料的出售价格分别表示工时和材料的出售价格总利润最小总利润最小 min W=3y1+9y2保证保证A产品利润产品利润 y1+y22 保证保证B产品利润产品利润 y1+4y23 保证保证C产品利润产品利润 y
4、1+7y23 售价非负售价非负 y10 y20ABC拥有量工 时1113材 料1479单件利润233对偶问题的定义对称形式的对偶问题对偶的定义对偶的定义原始问题原始问题min f(x)=CTXs.t.AXbX 0对偶问题对偶问题max z(y)=bTys.t.ATyCy 0minbACTCATbTmaxmnmn对偶问题的特点对偶问题的特点l(1)目标函数在一个问题中是求最大值在)目标函数在一个问题中是求最大值在另一问题中则为求最小值另一问题中则为求最小值l(2)一个问题中目标函数的系数是另一个)一个问题中目标函数的系数是另一个问题中约束条件的右端项问题中约束条件的右端项l(3)一个问题中的约束
5、条件个数等于另一)一个问题中的约束条件个数等于另一个问题中的变量数个问题中的变量数l(4)原问题的约束系数矩阵与对偶问题的)原问题的约束系数矩阵与对偶问题的约束系数矩阵互为转置矩阵约束系数矩阵互为转置矩阵min f=CTXs.t.AXbX 0max z=bTYs.t.ATYC Y 0其他形式问题的对偶其他形式问题的对偶min f=CTXs.t.AXbX 0max z=bTYs.t.ATYC Y 0min f=CTXs.t.AX=bX 0max z=bTYs.t.ATYC Y:unr 一般线性规划问题的对偶问题对偶问题对应表对偶问题对应表原问题(对偶问题)原问题(对偶问题)对偶问题(原问题)对偶
6、问题(原问题)目标函数目标函数min目标函数目标函数max约束条件:约束条件:m个个第第i个约束类型为个约束类型为“”第第i个约束类型为个约束类型为“”第第i个约束类型为个约束类型为“”变量数:变量数:m个个第第i个变量个变量0第第i个变量个变量0第第i个变量是自由变量个变量是自由变量 变量数:变量数:n个个第第j个变量个变量 0第第j个变量个变量 0第第j个变量是自由变量个变量是自由变量 约束条件:约束条件:n个个第第j个约束类型为个约束类型为“”第第j个约束类型为个约束类型为“”第第j个约束类型为个约束类型为“”例写出如下LP问题的对偶问题对偶问题对偶问题的性质1、对偶的对偶就是原始问题、
7、对偶的对偶就是原始问题max z=-CTXs.t.-AX-bX 0min y=-bTWs.t.-ATW-CW 0max y=bTWs.t.ATWCW 0min z=CTXs.t.AXb X 0对偶的定义对偶的定义对偶的定义对偶的定义2、对偶定理(1)弱对偶性(可行解的目标函数值之间的关系)弱对偶性(可行解的目标函数值之间的关系)设设X、Y分别是原始问题和对偶问题的可行解分别是原始问题和对偶问题的可行解 f=CTX YTAX YTb=z(3)最优性)最优性(2)无界性)无界性如果原问题(对偶问题)具有无界解,如果原问题(对偶问题)具有无界解,则其对偶问题(原问题)无可行解。则其对偶问题(原问题)
8、无可行解。无界性在一对对偶问无界性在一对对偶问题,若其中一个问题可行题,若其中一个问题可行但目标函数无界,则另一但目标函数无界,则另一个问题不可行;反之不成个问题不可行;反之不成立。这也是对偶问题的无立。这也是对偶问题的无界性。界性。关于无界性有如下结论:关于无界性有如下结论:问题无界问题无界无可无可行解行解无可行解无可行解无可行解无可行解问题无界问题无界对偶问题对偶问题原问题原问题无界无界如:如:(原)(原)无可无可行解行解(对)(对)已知已知试用对偶理论证明原问题无界。试用对偶理论证明原问题无界。解:解:=(0.0.0)是)是 P 的一个可行解,而的一个可行解,而 D 的第一的第一个约束条
9、件不能成立(因为个约束条件不能成立(因为y1,y2 0)。因此,对偶问因此,对偶问题不可行,可知,原问题无界。题不可行,可知,原问题无界。(4)强对偶性(最优解的目标函数之间的关系)强对偶性(最优解的目标函数之间的关系)如果原问题有最优解,则其对偶问题也一定有如果原问题有最优解,则其对偶问题也一定有最优解,且两者的目标函数值相等最优解,且两者的目标函数值相等设设X*、Y*分别是原始问题和对偶问题的最优解分别是原始问题和对偶问题的最优解 f=CTX*=Y*TAX*=Y*Tb=z3、原始问题和对偶问题最优解之间的互补松弛关系min z=CTXs.t.AX-XS=b X,XS0max y=bTWs.
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- 2.1 对偶 定义 性质
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