概率与数理统计第四章.ppt
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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 上传 snr5aliu(刘景波)仅用于学习交流.4.1 数学期望数学期望引例引例1 分赌本问题(产生背景)甲、乙甲、乙 两人赌技相同两人赌技相同,各出各出赌金赌金50元元,并约定先胜三局者为并约定先胜三局者为胜胜,取得全部取得全部 100 元元.由于出现意由于出现意外情况外情况,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博,如果要分赌金如果要分赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?.甲甲 胜胜 2 局局 乙乙 胜胜 1 局局前三局前三局:后二局后二局:把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果相结合
2、,即 甲和乙 赌完五局,A AA B B AB B甲甲胜胜乙乙 胜胜 分析:分析:假设继续赌两局,用A和B分别表示甲和乙获胜,则结果有以下四种情况:A AA B B AB B.因此,甲 能“期望期望”得到的数目应为 而乙 能“期望期望”得到的数目,则为 故有,在赌技相同的情况下,甲、乙 最终获胜的可能性大小之比为3:1.即甲 应获得赌金的3/4,而 乙 只能获得赌金的1/4.因而甲期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于即,X 的可能值与其概率之积的累加.若设随机变量 X 为:在甲胜2局乙胜1局的前提下,继续赌下去甲最终所得的赌金.则X 的分布列为:.2.2.2 数学期望的定义数学期望的定义.例
3、例4.1.14.1.1 甲、乙两个人进行射击,所得的分数分别为它们的分布律分别为试评定他们成绩的好坏.解解 甲乙两个人得分的数学期望分别为由于故甲的成绩强于乙的成绩.例例4.1.24.1.2 设随机变量X服从参数为p的0-1分布,试求X 的数学期望.解解 由题意知X的分布律为故.例例4.1.3 4.1.3 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方法,记使用寿命为X(以年计),规定 一台付款1500元;一台付款2000元;一台付款2500元;一台付款3000元;设寿命X服从参数为0.1的指数分布,试求该商店一台收费Y的数学期望.解解 由题意,X的分布函数为Y的可能的取值为1500,2000
4、,2500,3000,且所以即平均一台收费2732.15元.例例4.1.44.1.4 设X服从参数为 的泊松分布,求 X 的数学期望.解解 由于X的分布律为故.定义定义2.2.2 设连续型随机变量 X 的概率密度为f(x),若积分绝对收敛,则称 的值为 X 的数学期望数学期望,记为E(X),即有数学期望数学期望简称为期望期望,又称为均值均值.例例4.1.54.1.5 设求解解 由于 X 的概率密度为故.例例4.1.64.1.6 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布,求解解.例例4.1.74.1.7 设随机变量 ,求E(X).解解令则.例例4.1.9 柯西分布的数学期望不存在柯西分布的数学期望
5、不存在 设随机变量 X 服从柯西分布柯西分布,则其概率密度为由于故 E(X)不存在.4.1.3 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 在很多实际问题中,经常遇到求在很多实际问题中,经常遇到求随机变量函数的数学期望问题下随机变量函数的数学期望问题下面两个定理给出了求随机变量函数面两个定理给出了求随机变量函数的数学期望的简便方法利用这二的数学期望的简便方法利用这二个定理可以省略求随机变量函数的个定理可以省略求随机变量函数的分布分布.解解 由定理4.1.1,得.解解 由定理2.2.1,得.例例4.1.114.1.11 设某种商品每周的需求量X服从区间10,30上的均匀分布,而经销商进货数为区
6、间10,30中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理一单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每单位仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280,试确定最小的进货量.解解 设进货数为a,则利润为.故期望利润为而由题意知,X的概率密度为.故利润期望值不少于9280元的最少进货量为21单位依题意,有.解解.类似的还有.例例4.1.154.1.15 一商店经销某种商品,每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且都服从区间10,20上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元;若需求量超过了进货量,商店可从
7、其它商店调剂供应,这时每单位商品获利润为200元,试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.解解 设Z表示每周的利润,则.因此(元).解解 已知Y的概率密度为.4.1.4 数学期望的性质数学期望的性质(1)设C为常数,则有(2)设X是随机变量,k是常数,则(3)设X,Y是随机变量,则.性质(2)(3)称为数学期望的线性性质,可写成证明证明.(4)若X,Y相互独立,则有证明证明.性质(3)和(4)可推广到n维随机变量的情形.(5)若 相互独立,则有(6).例例4.1.174.1.17 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示
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