B4球坐标、变量替换及重积分应用(网).pptx

13.4 在球坐标系中三重积分的计算在球坐标系中三重积分的计算（有限）球体（有限）球体对应球坐标中对应球坐标中的长方体的长方体23例例 6解解145例例 7解解由对称性采用球坐标采用球坐标.6附注附注此题用柱坐标解将比较简单，因为 73.4 三重积分的变量替换三重积分的变量替换定理定理 3且变换的且变换的Jacobi 行列式行列式又设变换又设变换则有则有证明证明从略从略可以除去一可以除去一个零体积集个零体积集8例如柱坐标变换柱坐标变换：其 Jacobi 行列式球坐标变换球坐标变换其 Jacobi 行列式9例例 8（椭球坐标变换）（椭球坐标变换）解解作椭球坐标变换，令 则 Jacobi 行列式10问题问题椭球的体积？椭球的体积？11另一解法另一解法则而且然后作球坐标变换.124 重积分的应用举例重积分的应用举例 几何应用几何应用面积、体积、面积、体积、物理应用物理应用质量、质量、质心、质心、转动惯量、力转动惯量、力曲面面积曲面面积定积分应用的推广可加性问题可加性问题分割、取点、求和、取极限分割、取点、求和、取极限微元法微元法连续体连续体的的 离散化离散化134.1 重积分的几何应用重积分的几何应用例例 1所围区域的体积 V.解解方程为即p 14作广义极坐标变换：此时15p 空间曲面的面积空间曲面的面积光滑曲面光滑曲面 曲面在每点处都有切平面，的法向量随着曲面上的点连续地变动.且切平面分片光滑曲面分片光滑曲面由有限块光滑曲面组成的曲面.回忆回忆以直以直代曲代曲(ii)光滑曲面 z f(x,y)在一点处的法向量设曲面 S 的方程为16现求曲面 S 的面积.设 M(x,y,z)是曲面上一点，dS 是曲面微元.（面积也分别记又设曲面在 M 点的单位法向量以平以平代曲代曲17称为曲面面积元素曲面面积元素.于是，曲面面积例例 1由对称性，所求面积等于曲面在第一卦限解解部分 S1 的 8 倍.18RR被积函数特点被积函数特点(p.40)?R19其中的函数都具有连续的一阶偏导数，现求设 P0(x0,y0,z0)是曲面上一点，对应参数(u0,v0)曲面的面积.上册上册 p.337即考虑曲面上过 P0 点的两条曲线：关键是法向量关键是法向量给出，20它们在 P0 点的切向量分别为其中轮换轮换21 又有则曲面面积元素22从而由参数方程表出的曲面的面积例例 4面积.解解所求面积23例例 5解解球面的参数方程为24补注补注连续曲面可以用一个由三角形构成的多个三角形的内角都必须 0，因此，球面面积面形来逼近，三角形的顶点都在曲面上，不过每一否则有著名的Schwarz 反例反例.254.2 物体的质量与质心物体的质量与质心p 质量质量平面薄片 D 的质量空间物体 的质量p 质心质心设物体占据空间区域 ,有连续的体微元的质量取一微元.微元对各坐标面的静力矩分别为点点密密度度26则质心对各坐标平面的静力矩为27例例 6求由两圆周解解类似可得平面薄板 D 的质心28两个圆周的极坐标方程分别为及29例例 7求密度均匀的半球体 ：的质心.解解不妨设 1.由对称性p.48 题题 6,7