第一节三角形方程组和三角分解-PPT.pptx
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1、第一节三角形方程组和三角分解 如何利用电子计算机来快速、有效地求解线如何利用电子计算机来快速、有效地求解线性方程组得问题就是数值线性代数研究得核心问性方程组得问题就是数值线性代数研究得核心问题题,而且也就是目前仍在继续研究得重大课题之一。而且也就是目前仍在继续研究得重大课题之一。这就是因为各种各样得科学与工程问题往往最终这就是因为各种各样得科学与工程问题往往最终都要归结为一个线性方程组得求解问题。例如结都要归结为一个线性方程组得求解问题。例如结构分析、网络分析、大地测量、数据分析、最优构分析、网络分析、大地测量、数据分析、最优化及非线性方程组与微分方程组数值解等化及非线性方程组与微分方程组数值
2、解等,都常遇都常遇到线性方程组得求解问题。到线性方程组得求解问题。线性方程组得求解问题就是一个古老得数学线性方程组得求解问题就是一个古老得数学问题。早在中国古代得问题。早在中国古代得九章算术九章算术中中,就已详细就已详细地描述了解线性方程组得消元法。到了地描述了解线性方程组得消元法。到了19世纪初世纪初,西方也有了西方也有了Gauss消去法消去法,然后求解未知数多得大然后求解未知数多得大型线性方程组则就是在型线性方程组则就是在20世纪中叶电子计算机问世纪中叶电子计算机问世后才成为可能。世后才成为可能。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求解线性方程组得数值方法大体上可分为直求解线性方程组得
3、数值方法大体上可分为直接法与迭代法两大类。接法与迭代法两大类。直接法就是指没有舍入误差得情况下经过有直接法就是指没有舍入误差得情况下经过有限次运算可求得方程组得精确解得方法。因此限次运算可求得方程组得精确解得方法。因此,直接法又称为精确法。直接法又称为精确法。迭代法则就是采取逐次逼近得方法迭代法则就是采取逐次逼近得方法,亦即从亦即从一个初始向量出发一个初始向量出发,按照一定得计算格式按照一定得计算格式,构造构造一个向量得无穷序列一个向量得无穷序列,其极限才就是方程组得精其极限才就是方程组得精确解确解,只经过有限次运算得不到精确解。只经过有限次运算得不到精确解。上页上页 下页下页 返回返回 结束
4、结束 这一章这一章,我们将主要介绍解线性方程组得一类我们将主要介绍解线性方程组得一类最基本得直接法最基本得直接法GaussGauss消去法消去法,其特点就是其特点就是 (1 1)求解求解中小规模线性方程组中小规模线性方程组(即阶数不要太即阶数不要太高高,例如不超过例如不超过10001000)最常用得方法最常用得方法;(2 2)一般用于系数矩阵稠密一般用于系数矩阵稠密(即矩阵得绝大多即矩阵得绝大多数元素都就是非零得数元素都就是非零得)而又没有任何特殊结构而又没有任何特殊结构得线性方程组。得线性方程组。如若系数矩阵具有某种特殊形式如若系数矩阵具有某种特殊形式,则为了尽可则为了尽可能地减少计算量与存
5、储量能地减少计算量与存储量,需采用其她专门得需采用其她专门得方法来求解。方法来求解。1、1、1 三角形方程组得解法三角形方程组得解法1、1、3 三角分解得计算三角分解得计算1、1、2 Gauss变换变换1、1 三角形方程组与三角分解三角形方程组与三角分解 由于三角形方程组简单易于求解,而且它又就是用分解方法解一般线性方程组得基础,所以我们首先考虑这种特殊类型得线性方程组得解法。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1 1、1 1、1 1三角形方程组得解法三角形方程组得解法 (1.1.1)下三角形方程组形如这里 是已知的,是未知的,而 是已知的非奇异下三角阵,即,其中其中 上页上页 下页下页
6、返回返回 结束结束 我们容易得到方程组我们容易得到方程组(1 1、1 1、1 1)得解得解得分量表达式得分量表达式 这种解方程组(1.1.1)的方法称之为前代法前代法.如果在实际计算时将得到的 就存放在 所用的存储单元内,并适当调整一下运算顺序,可得如下算法:上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 算法算法1.1.11.1.1(解下三角形方程组:前代法)(解下三角形方程组:前代法)该算法所需要的加、减、乘、除运算的次数为:即该算法的运算量为 。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意注意:针对方程针对方程(1 1、1 1、1 1)使用消元法使用消元法,我们能我们能够得到另外一种程序。算法分
7、析如下够得到另外一种程序。算法分析如下:第一步:对增广矩阵实施行初等变换,使之成为其中:其中:显然地,上式右端是显然地,上式右端是与原方程组同解的一个方程组的增广矩阵。与原方程组同解的一个方程组的增广矩阵。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第k步步:消元工作如下消元工作如下上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 经经n-1步变换之后步变换之后,我们将得到原方程组得如下同解我们将得到原方程组得如下同解方程方程:其中:其中:上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 最后,对第最后,对第n个方程做行初等变换,令个方程做行初等变换,令 我们便得到原方程组的一个最简形式的同解方程组:我们便得到原方
8、程组的一个最简形式的同解方程组:其中:其中:综合上述综合上述,我们得到如下算法程序我们得到如下算法程序:上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1.1.2)再考虑如下上三角形方程组再考虑如下上三角形方程组:其中其中 是非奇异上三角阵。是非奇异上三角阵。这一方程组可以用所谓的回代法解之,即从方程组这一方程组可以用所谓的回代法解之,即从方程组的最后一个方程出发依次求出的最后一个方程出发依次求出 ,其计,其计算公式为算公式为上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 显然该算法的运算量也为 。算法算法1.1.21.1.2(解上三角形方程组:回代法)(解上三角形方程组:回代法)上页上页 下页下页 返回返
9、回 结束结束 对于一般的线性方程组对于一般的线性方程组 (1.1.3)其中其中 和和 是已知的,是已知的,是未知的,如果是未知的,如果我们能够将我们能够将A分解为:分解为:,即一个下三角阵,即一个下三角阵L与一与一个上三角阵个上三角阵U的乘积,那么原方程组的解的乘积,那么原方程组的解x便可由下面便可由下面两步得到:两步得到:(1)用前代法解用前代法解 得得y;(2)用回代法解用回代法解 得得x.所以对于求解一般得线性方程组来说所以对于求解一般得线性方程组来说,关键就是如关键就是如何将何将A分解为一个下三角阵分解为一个下三角阵L与一个上三角阵与一个上三角阵U得乘得乘积积,这正就是我们本节得中心任
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