线性代数完美总结版.doc
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1、线性代数及其应用一、行列式1、余子式,代数余子式2、几个定理(定理2.2,2.3,2.4) 按行展开:按列展开:定理2.4 ;.3、行列式的性质 (1) . (2) 若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和,则行列式可以拆成两个行列式之和,即.(2) 若行列式有两列(行)成比例,则行列式等于零.(3) 初等变换性质4、行列式计算:三角化法(性质);降阶法(性质+展开定理);范德蒙德、三对角行列式的结论.5、分块矩阵的行列式二、矩阵1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算)(1) 乘法的结合律(2) 方阵的幂的求解 (3) 转置的性质:(4) 方阵的行列式: (5
2、) 分块运算(转置、乘法-例3.13、3.14)2、初等变换及初等矩阵(1) 左行右列(矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示)(2) 初等矩阵都是可逆的,且初等矩阵的逆仍是初等矩阵,即3、可逆矩阵(1) 定义、性质(2) 伴随矩阵 (3) 判定:可逆(4) 逆矩阵的求法 (5) 分块矩阵的逆 (6) 矩阵方程的求解:,其中可逆.法1 .法2 .4、矩阵的秩与矩阵的相抵(1) 矩阵的秩与性质(101页,105-107页) ; 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩; ; ; ; 或;若,则,其中,. 设,则(2) 求矩阵的秩 (理论依据:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩)(行阶梯形矩阵),则的非零行的个数.(3)
3、 矩阵的相抵(等价) ,其中可逆. 或.三、线性空间1、向量组的线性相关性的判断(命题4.2、4.3、4.4、4.5、定理4.1、4.2、4.4)(1) 证明方法- (2) 基本结论 判断向量组线性相关(命题4.2,命题4.3(2),定理4.1及推论1,定理4.2)充要:线性相关其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.充分:线性相关判断向量组线性无关(命题4.3(3),命题4.4的推论)2、等价向量组(1) ()可由()线性表示,则() ().(2) ()与()等价,则()().3、子空间的验证(1) 非空、加法和数量乘法的封闭;(2) 命题4.1(生成子空间)-例4.9,例4.354、向量组
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