排列组合与概率初步.ppt
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1、11级15班雷寅排列排列组合与概率初步合与概率初步 引入:两个基本原理引入:两个基本原理分类计数原理(亦称加法原理)分类计数原理(亦称加法原理)做一件事,完成它可以有n类方案,在第一类方案中有m1 1 1 1种不同的方法,在第二类方案中有m2 2 2 2种不同的方法,在第n类办法中有mn n n n种不同的方法那么完成这件事共有Nm1 1 1 1十m2 2 2 2十十mn n n n种不同的方法A地B地飞机有a班次火车有b班次汽车有c班次那么从那么从A A地到地到B B地的方法有地的方法有a+b+ca+b+c种种分步计数原理(亦称乘法原理)分步计数原理(亦称乘法原理)做一件事,需要分成n个步骤
2、,做第一步有m1 1 1 1种不同的方法,做第二步有m2 2 2 2种不同的方法,做第n步有mn n n n种不同的方法,那么完成这件事共有:Nm1 1 1 1m2 2 2 2mn n n n种不同的方法那么从那么从A A地到地到B B地的方法有地的方法有abab种种从从A A地到地到B B地地须经由由C C地地转车A地B地C地火车有a班次汽车有b班次有何区别?有何区别?(o?)(o?)备选方案中选哪一种方案都行,方案中的每一种方法都能实现目的A地B地飞机有a班次火车有b班次汽车有c班次任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所
3、采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同A地B地C地火车有a班次汽车有b班次Example 书架上层放有书架上层放有66本不同的数学书,下层放本不同的数学书,下层放有有55本不同的语文书本不同的语文书11)从中任取一本,取法种数有()从中任取一本,取法种数有()A.5B.6C.10D.11A.5B.6C.10D.1122)从中任取数学书与语文书各一本,)从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法?有多少的取法?A.5B.6C.10D.30A.5B.6C.10D.30排列组合排列排列所谓排列,就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序从n个不同元素中,任取m(mn)个元素按照一定的顺
4、序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列排列数排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A(n,m)表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!此外规定0!=1Example 有0,1,2,,8这9个数字用这9个数字组成4位位数互不相同的密码,共有多少个不同的密码?A(9,4)=9!/5!Example 有0,1,2,,8这9个数字用这9个数字组成位数互不相同的四位数,共有多少个不同的密码?8A(8,3)A(9,4)-A(8,3)组合组合组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的
5、元素,不考虑排序从n个不同元素中,任取m(mn)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n,m)表示。C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(n-m)!m!)C(n,m)=C(n,n-m)Example 从4名男生中和3名女生中选出男女各2人参加某个座谈会,则不同的选法有多少种?C(4,2)C(3,2)二项式定理二项式定理(a+b)n=C(n,0)anb0+C(n,1)a(n-1)b1+C(n,n)a0bn二项式定理二项式定理(a+b)n的二项展开式共有n+
6、1项,其中各项的系数C(n,r)(r0,1,2,n)叫做二项式系数。二项式定理二项式定理二项展开式的通项公式(简称通项)为C(n,r)(a)(n-r)br,用Tr+1表示(其中“r+1”为角标),即通项为展开式的第r+1项二项式定理与杨辉三角二项式定理与杨辉三角杨辉三角的第n行就是n项二项式展开式的系数列Example(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为 22C(10,2)-1=179排列排列组合合综合例合例题打包法插空法反面法打包法打包法在解决某几个元素要求相在解决某几个元素要求相邻问题时,可,可整体考整体考虑将相将相邻元素元素视为一个大元素一个大元素Example 有有8 8
7、个不同的球,其中个不同的球,其中红球球3 3个,黑球个,黑球2 2个,个,白球白球3 3个,若将个,若将这些球排成一列,些球排成一列,则红球恰好排在一起,黑球也恰好排在一起的球恰好排在一起,黑球也恰好排在一起的排法共有多少种?排法共有多少种?A(3,3)A(2,2)A(5,5)Example 若有若有A,B,C,D,EA,B,C,D,E五个人排成一排照相,五个人排成一排照相,A A和和B B不不能相能相邻,则不同的排法有多少种?不同的排法有多少种?C(3,1)A(2,2)A(3,3)+A(3,2)A(2,2)A(2,2)+A(3,3)A(2,2)插空法插空法插空法一般用于解决插空法一般用于解决
8、间隔隔问题(要求某(要求某些元素不能相些元素不能相邻,由其他元素将其隔开的,由其他元素将其隔开的问题),解决此),解决此类问题,可以先将其他的,可以先将其他的元素排号,再将指定的不相元素排号,再将指定的不相邻元素插入元素插入他他们的空隙及两端位置的空隙及两端位置Example 若有若有A,B,C,D,EA,B,C,D,E五个人排成一排照相,五个人排成一排照相,A A和和B B不不能相能相邻,则不同的排法有多少种?不同的排法有多少种?A(3,3)A(4,2)反面法反面法含含“至多至多”、“至少至少”的排列的排列组合合问题是是需需要分要分类的,有的,有时从反面思考,能从反面思考,能够简化运化运算算
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