条件概率和全概率公式.pptx
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1、概率论概率论 四、概率的公理化定义四、概率的公理化定义概率论概率论 概率论概率论 概率论概率论 概率论概率论 概率论概率论 概率论概率论 概率论概率论 概率论概率论 概率论概率论 概率论概率论 例3 某城市共发行A、B、C三种报纸.调查表明,居民家庭中订购C报的占30%,同时订购A、B两报,A、C两报,B、C两报的分别各占10%,8%,5%,三种报纸都订的占3%.今在该城市中任找一户,问(1)该户只订A和B两种报纸的概率是多少?(2)该户只订C报的概率是多少?概率论概率论 第三节第三节 条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式全概率公式与贝叶斯全概率公式与贝
2、叶斯(Bayes)公式公式小结小结概率论概率论 在解决许多概率问题时,往往需要在有某在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.一、条件概率与乘法公式一、条件概率与乘法公式如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的概率,发生的概率,将此概率记作将此概率记作P(A|B).一般地一般地 P(A|B)P(A)概率论概率论 P(A)=1/6,例例如如,掷一颗均匀骰子,掷一颗均匀骰子,A=掷出掷出2点点,B=掷出偶数点掷出偶数点,P(A|B)=?掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生,此时试验所有可能发生,此时试验所有可能 结果构成
3、的集合就是结果构成的集合就是B,P(A|B)=1/3.B中共有中共有3个元素个元素,它们的出现是等它们的出现是等 可能的可能的,其中只有其中只有1个在集个在集A中中.容易看到容易看到P(A|B)于是于是例例1 一批产品一批产品100件件70件正品件正品30件次品件次品甲厂生产甲厂生产40件件乙厂生产乙厂生产30件件甲厂生产甲厂生产20件件乙厂生产乙厂生产10件件从中任取从中任取1件件,记记A=“取到正品取到正品”,B=“取到甲厂产品取到甲厂产品”,试计算试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).解解 概率论概率论 设设A、B是两个事件,则称是两个事件,则称 1.条件概率
4、的定义条件概率的定义为在为在事件事件B发生发生的条件下的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.为在为在事件事件A发生发生的条件下的条件下,事件事件B的条件概率的条件概率.概率论概率论 2.条件概率的性质条件概率的性质(自行验证自行验证)概率论概率论 条件概率P(A|B)与积事件概率P(AB)的区别和联系联系:事件A,B都发生了.区别:(1)条件概率P(A|B)是在实验E的条件下增加条件B发生后,求此时事件A发生的概率.而积事件P(AB)是在实验E的条件下AB同时发生的概率。(2)样本空间不同,在P(A|B)中样本空间是缩减样本空间 ;而P(AB)的样本空间还是 .概率论概率论 条件概率的计算
5、方法由定义 ,计算P(B|A).在事件A 发生的条件下将原样本空间 缩 减为事件A所包含的样本点的集合 ,然后在缩减的样本空间中计算事件B发生的概率,从而求得P(B|A).概率论概率论 例例2 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的概年以上的概率为率为0.8,活到,活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4.问现年问现年20岁的岁的这种动物,它能活到这种动物,它能活到25岁以上的概率是多少?岁以上的概率是多少?解解 设设A=能活能活20年以上年以上,B=能活能活25年以上年以上依题意,依题意,P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为所求为 P(B|A).思考:现年思考:现
6、年20岁的这种动物,它不能活岁的这种动物,它不能活25年年 以上的概率呢?以上的概率呢?概率论概率论 例2.100件产品中有5件次品,现从中接连 任取两件而不放回,求在第一次取得正品的 条件下,第二次取得次品的概率.概率论概率论 由条件概率的定义:由条件概率的定义:即即 若若P(B)0,则则 P(AB)=P(B)P(A|B)(1)若已知若已知P(B),P(A|B)时时,可以反求可以反求P(AB).即即 若若P(A)0,则则 P(AB)=P(A)P(B|A)(2)(1)和和(2)式都称为式都称为乘法公式乘法公式,利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率4.乘法公式
7、乘法公式同样同样,由由可以反求可以反求P(AB)概率论概率论 一批产品共有一批产品共有9090件产品,其中有件产品,其中有1010件次品,件次品,其余为正品其余为正品.现依次进行不放回抽取三次,求现依次进行不放回抽取三次,求 第三次才取到正品的概率第三次才取到正品的概率.乘法公式应用举例乘法公式应用举例例例3 3答案答案某人忘记电话号码最后一位数字,因而任意地按某人忘记电话号码最后一位数字,因而任意地按最后一个数试求:最后一个数试求:(1)不超过不超过4次能打通电话的概率次能打通电话的概率(2)若已知最后一位数字是偶数则不超过若已知最后一位数字是偶数则不超过3次能次能打通电话的概率是多少?打通
8、电话的概率是多少?乘法公式应用举例乘法公式应用举例例例4 4答案答案袋内有袋内有 n 个球个球(n1个白球,个白球,1个红球个红球),n 个人个人依次从袋中各随机地取一球,并且每人取出一球后依次从袋中各随机地取一球,并且每人取出一球后 不再放回袋中,试求第不再放回袋中,试求第 k 人取得红球的概率人取得红球的概率.乘法公式应用举例乘法公式应用举例例例5 5答案答案抽签原理抽签原理抓阄问题抓阄问题例例 五个阄五个阄,其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有”字字,三个阄内不写字三个阄内不写字,五人依次抓取五人依次抓取,问各人抓到问各人抓到“有有”字阄的概率是否相字阄的概率是否相同同?解解则有则有抓
9、阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关?依此类推依此类推故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关.概率论概率论 例4.猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6,如果第一次未击中,则进行第二次射击.但由于动物逃跑而使距离变为150米;如果第二次又没击中,则进行第三次射击,这时距离变为200米.假定击中的概率与距离成反比,求猎人最多射击三次的情况下击中动物的概率.概率论概率论 小结小结条件概率的概念条件概率的概念概率的乘法公式概率的乘法公式要求:在计算概率时经常使用,需要牢固掌握!要求:在计算概率时经常使用,需要牢固掌握!概率论概率论 有三个箱子有三个箱子,分别编号为分别编号为1,2,3;1号箱装有
10、号箱装有1个红球个红球4个白球个白球,2号箱装有号箱装有2红红3白球白球,3号箱装有号箱装有3 红球红球.某人从三箱中任取一箱某人从三箱中任取一箱,从中从中任意摸出一球任意摸出一球,求取得红球的概率求取得红球的概率.解解 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;B=取得红球取得红球B发生总是伴随着发生总是伴随着A1,A2,A3 之一同时发生,之一同时发生,123其中其中 A1、A2、A3两两互斥两两互斥看一个例子看一个例子:二、全概率公式与贝叶斯二、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式公式概率论概率论 将将此此例例中中所所用用的的方方法法推推广广到到一一般般的的情情形形,就就得到在
11、概率计算中常用的得到在概率计算中常用的全概率公式全概率公式.对求和中的每对求和中的每一项运用乘法一项运用乘法公式得公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得:代入数据计算得:P(B)=8/15运用加法公式得到运用加法公式得到即即 B=A1B+A2B+A3B,且且 A1B、A2B、A3B 两两互斥两两互斥概率论概率论 1.样本空间的划分样本空间的划分概率论概率论 一个事件发生一个事件发生.概率论概率论 2.全概率公式全概率公式 运用全概率公式的关键在于找出样本空间一个运用全概率公式的关键在于找出样本空间一个 恰当的划分恰当的划分.说明说明 全概率公式的主要用途在于它可
12、以将一个复全概率公式的主要用途在于它可以将一个复 杂事件的概率计算问题杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概分解为若干个简单事件的概 率计算问题率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果最后应用概率的可加性求出最终结果.概率论概率论 某某一一事事件件B的的发发生生有有各各种种可可能能的的原原因因,如如果果B是由原因是由原因Ai(i=1,2,n)所引起,则所引起,则B发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生,故发生,故B发发 生的概率是各原因引起生的概率是各原因引起B发生概率的总和,发生概率的总和,即全概率公式即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|A
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