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中点问题中点问题贵溪二中贵溪二中 张丽华张丽华 2018.12.292018.12.29一一 中点模型中点模型模型模型1 倍长倍长若中点只有若中点只有若中点只有若中点只有单独单独单独单独出现，则往出现，则往出现，则往出现，则往往延长中线往延长中线往延长中线往延长中线一倍，一倍，一倍，一倍，利用全等三角利用全等三角利用全等三角利用全等三角形或平行四边形的形或平行四边形的形或平行四边形的形或平行四边形的知知知知识来解决问题。识来解决问题。识来解决问题。识来解决问题。模型模型2 遇多个中点，构造中位线遇多个中点，构造中位线对于多个中点的形式，往往是在边或对角线上对于多个中点的形式，往往是在边或对角线上对于多个中点的形式，往往是在边或对角线上对于多个中点的形式，往往是在边或对角线上寻找寻找寻找寻找或构造或构造或构造或构造中点，连接起来，构造三角形中位线，利用中点，连接起来，构造三角形中位线，利用中点，连接起来，构造三角形中位线，利用中点，连接起来，构造三角形中位线，利用中位线的性质解决问题。中位线的性质解决问题。中位线的性质解决问题。中位线的性质解决问题。模型模型3 中点与其他条件（如：直角、中点与其他条件（如：直角、垂直、等腰）组合垂直、等腰）组合 对于中点遇到对于中点遇到对于中点遇到对于中点遇到直角直角直角直角条件，往往连斜边上的条件，往往连斜边上的条件，往往连斜边上的条件，往往连斜边上的中线中线中线中线，利用直角三角形斜边利用直角三角形斜边利用直角三角形斜边利用直角三角形斜边中线性质中线性质中线性质中线性质解决问题。对于中点解决问题。对于中点解决问题。对于中点解决问题。对于中点见见见见垂直垂直垂直垂直，往往把中垂线上的点与线段两端点连接起，往往把中垂线上的点与线段两端点连接起，往往把中垂线上的点与线段两端点连接起，往往把中垂线上的点与线段两端点连接起来，利用线段来，利用线段来，利用线段来，利用线段中垂线性质中垂线性质中垂线性质中垂线性质解决问题解决问题解决问题解决问题。对于中点见。对于中点见等等腰腰，往往想到等腰三角形的三线合一。往往想到等腰三角形的三线合一。往往想到等腰三角形的三线合一。往往想到等腰三角形的三线合一。二、基本模型的常用题型二、基本模型的常用题型例例1 1 求证：三角形重心分中线比为求证：三角形重心分中线比为2 2：1 1方法一：方法一：中线倍长中线倍长 分析：延长分析：延长BEBE至至MM使使GEGEEMEM，连，连接接CMCM，易证易证AGEAGECMECME，GAEGAEMCEMCE，ADADCMCM，又，又D D为为BCBC的中点，的中点，BGBGGMGM2 2GEGE方法二：方法二：构造中位线构造中位线解：过解：过E E作作EMEMADAD交交BCBC于于MM，C CMMDMDM，BDBD2 2DMDM，BGBG2 2GEGE解：取取BGBG、CGCG的中点的中点MM，N N；连接；连接EFEF，EMEM，MNMN，ENEN；易得四边形；易得四边形EFMNEFMN是平行四边形，是平行四边形，GMGMGEGE，BGBG2 2GEGE1.例例2 Rt2 RtABCABC ，斜边中线，斜边中线MCMC，MNMNMCMC交交ACAC于于N N，求证：，求证：CNCN2 2ANAN2 2+BCBC2 2方法三：方法三：中点见垂直想到中垂线中点见垂直想到中垂线解：延长解：延长NMNM至至K K使使NM=MKNM=MK，连接，连接CKCK、BKBK，易证，易证ANMANMBKMBKM，CBKCBK9090，ANANBKBK，又由中垂线的性质可，又由中垂线的性质可得得CNCNCKCK，CBCB2 2+BKBK2 2CKCK2 2，即即CNCN2 2ANAN2 2+BCBC2 2【中考题】中考题】正方形正方形ABCDABCD与正方形与正方形EBGFEBGF中，中，E E，B B，C C三点共线，三点共线，A A，G G，B B三点共线，三点共线，MM是是FDFD的中点，的中点，N N是是GCGC的中点的中点.（1 1）求证：）求证：BMNBMN是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；【来路一来路一】分析：分析：（一）（一）由一个中由一个中点点N N是是RtRtBCGBCG中中GCGC的中点，如图的中点，如图来路来路1 1，点，点MM，N N分别是分别是ACDACD边边ACAC，CDCD的中点，的中点，可得三角形中位线，如图来路可得三角形中位线，如图来路2 2来路来路（二）二）：点点点点MM是是是是FDFD的中点，点的中点，点的中点，点的中点，点N N是是是是GCGC的中点，怎么把中点的中点，怎么把中点的中点，怎么把中点的中点，怎么把中点用起来，一个中点常想到中线，两个中点常想到中位线，怎么用起来，一个中点常想到中线，两个中点常想到中位线，怎么用起来，一个中点常想到中线，两个中点常想到中位线，怎么用起来，一个中点常想到中线，两个中点常想到中位线，怎么把点把点把点把点MM与点与点与点与点N N放在同一个三角形中的中位线是关键。放在同一个三角形中的中位线是关键。放在同一个三角形中的中位线是关键。放在同一个三角形中的中位线是关键。来路来路（三）：（三）：点点点点MM与点与点与点与点N N不是同一个三角形的中位不是同一个三角形的中位不是同一个三角形的中位不是同一个三角形的中位线，找另一点与点线，找另一点与点线，找另一点与点线，找另一点与点MM、点、点、点、点N N构构构构成三角形的中位线成三角形的中位线成三角形的中位线成三角形的中位线同样构造中位线，再证全等来路（四）：来路（四）：从结论出发，中点与垂直、直角三角形组合，想到从结论出发，中点与垂直、直角三角形组合，想到从结论出发，中点与垂直、直角三角形组合，想到从结论出发，中点与垂直、直角三角形组合，想到中垂线、直角三角形斜边上的中线，构造直角三形是关键中垂线、直角三角形斜边上的中线，构造直角三形是关键中垂线、直角三角形斜边上的中线，构造直角三形是关键中垂线、直角三角形斜边上的中线，构造直角三形是关键.来路（五）来路（五）来路（五）来路（五）：从结论出发构造等腰直角三角从结论出发构造等腰直角三角从结论出发构造等腰直角三角从结论出发构造等腰直角三角形，中点形，中点形，中点形，中点见等腰想到三线合一见等腰想到三线合一见等腰想到三线合一见等腰想到三线合一思路思路分析：延长分析：延长FGFG，BNBN交交于点于点K K，连接，连接MKMK，BHBH，HKHK，易得，易得HBEHBE CBKCBK，HBKHBK是直角三角形，点是直角三角形，点MM是是HKHK的中点，的中点，BMBMK K，又，又点点N N是是BGBG的中点，的中点，MNMNBNBN，MNMN BN.BN.三【出路出路】中中点问题常用的方法点问题常用的方法是是延长中线的一倍延长中线的一倍延长中线的一倍延长中线的一倍，利利利利用中位线用中位线用中位线用中位线，中点与其他条件（如：直角、垂直、等腰）组，中点与其他条件（如：直角、垂直、等腰）组，中点与其他条件（如：直角、垂直、等腰）组，中点与其他条件（如：直角、垂直、等腰）组合合合合,从从而构造三角形全等，下面给出二种证明过程而构造三角形全等，下面给出二种证明过程：一、一、构造中位线法构造中位线法构造中位线法构造中位线法：如图延长如图延长GMGM交交A AD D于于H H，连接，连接HCHC，易证易证FGMFGMDHMDHM，DHDHFGFG，MNMN是是CGHCGH的中位线，的中位线，MNMNHCHC，而，而BNBNGCGC，只需要证明，只需要证明HDCHDCGBCGBC（SASSAS），），HCHCGCGC，DCHDCHBCGBCG，MNMNBNBN.MNMNHCHC，MNGMNGHCGHCG，易得，易得GNBGNB2 2GCBGCB，MNBMNBMNGMNG+GNBGNBHCGHCG+2+2GCBGCB9090BMNBMN为等腰直角三角形为等腰直角三角形.二、二、中点与直角、等腰组合法中点与直角、等腰组合法中点与直角、等腰组合法中点与直角、等腰组合法：如图如图7 7，延长，延长BNBN交交DCDC于于P P，连接，连接GPGP，MPMP，BDBD，BFBF.N N是是GCGC中点，中点，BGBGPCPC，GN=CNGN=CN，四边形四边形BCPGBCPG是矩形是矩形F F，G G，P P在一条直线上在一条直线上.MM是是FDFD中点，中点，MP=FDMP=FD.又又四边形四边形BEFGBEFG，四边形，四边形ABCDABCD都是正方形，都是正方形，FBA=FBA=ABD=ABD=4545，FBD=FBD=9090，又又点点MM是是FDFD的中点，的中点，BM=FDBM=FD.MP=MBMP=MB.FMB=FMB=1801802 2MFB=MFB=1801802(2(MFPMFPGFBGFB)=1801802(2(MFPMFP45)45)=90902 2MFPMFP，又又MF=MPMF=MP，MFP=MFP=MPFMPFDMP=DMP=2 2MFPMFP，FMBFMBDMP=DMP=90902 2MMFPFP2 2MFP=MFP=9090，PMBPMB=90.=90.BMPBMP为等腰直角三角形为等腰直角三角形.又又N N为为BPBP中点，中点，MNMNBNBN，NMB=NMB=MBN=MBN=4545，MN=BN.MN=BN.