第四章--数据的概括性度量.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,第,4,章 数据的概括性度量,PowerPoint,统计学,第,4,章 数据的概括性度量,4.1,集中趋势的度量,4.2,离散程度的度量,4.3,偏态与峰态的度量,学习目标,1.,掌握,集中趋势各测度值的计算方法,2.,掌握离散程度各测度值的计算方法,3,.,理解偏态与峰态的测度方法,4,.,能熟练运用,Excel,计算描述统计量并进行分析,4.1,集中趋势的度量,一,.,分类数据：众数,二,.,顺序数据：中位数和分位数,三,.,数值型数据：均值,四,.,众数、中位数和均值的比较,集中趋势,(Central tendency),一,组数据向其中心值靠拢的倾向和程度,测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值,不同类型的数据用不同的集中趋势测度值,低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据,一、分类数据：众数,众数,(,mode,),出现次数最多的变量值,不受极端值的影响,不唯一性：一组数据可能没有众数或有几个众数,主要应用于分类数据，也可以应用于顺序数据和数值型数据,众数,(,不唯一性,),无众数,原始数据,:10 5 9 12 6 8,一个众数,原始数据,:6,5,9 8,5 5,多于一个众数,原始数据,:25,28,28,36,42,42,分类数据的众数,(,例题分析,),不同品牌饮料的频数分布,饮料品牌,频数,比例,百分比,(%),可口可乐,旭日升冰茶,百事可乐,汇源果汁,露露,15,11,9,6,9,0.30,0.22,0.18,0.12,0.18,30,22,18,12,18,合计,50,1,100,解：,这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值,在所调查的,50,人中，购买可口可乐的人数最多，为,15,人，占总被调查人数的,30%,，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即,M,o,可口可乐,顺序数据的众数,(,例题分析,),解：,这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别”,甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为,108,户，因此众数为“不满意”这一类别，即,M,o,不满意,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,回答类别,甲,城市,户数,(,户,),百分比,(%),非常不满意,不满意,一般,满意,非常满意,24,108,93,45,30,8,36,31,15,10,合计,300,100.0,二、顺序数据：中位数和分位数,中位数,(,median,),排序后处于中间位置上的值,M,e,50%,50%,不受极端值的影响,主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据,中位数,(,位置的确定,),中位数的确定,设一组数据为,按从小到大排序后为，则中位数为：,顺序数据的中位数,(,例题分析,),解：,中位数的位置为 （,300+1,）,/2,150.5,从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中。因此,M,e,=,一般,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,回答类别,甲,城市,户数,(,户,),累计频数,非常不满意,不满意,一般,满意,非常满意,24,108,93,45,30,24,132,225,270,300,合计,300,数值型数据的中位数,(9,个数据的算例,),【,例,】,：,9,个家庭的人均月收入数据,原始数据,:,1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630,排,序,:,750 780 850 960,1080,1250 1500 1630 2000,位 置,:,1 2 3 4,5,6 7 8 9,中位数,1080,数值型数据的中位数,(10,个数据的算例,),【,例,】,：,10,个家庭的人均月收入数据,排,序,:,660,750 780 850,960 1080,1250 1500 1630 2000,位 置,:,1 2 3 4,5 6,7 8 9 10,四分位数,(,quartile,),排序后处于,25%,和,75%,位置上的值,不受极端值的影响,主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据,Q,L,Q,M,Q,U,25%,25%,25%,25%,四分位数,(,位置的确定,),顺序数据的四分位数,(,例题分析,),解：,Q,L,位置,=,(300)/4,=,75,Q,U,位置,=,(3300)/4,=,225,从累计频数看，,Q,L,在“不满意”这一组别中；,Q,U,在“一般”这一组别中。因此,Q,L,=,不满意,Q,U,=,一般,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,回答类别,甲,城市,户数,(,户,),累计频数,非常不满意,不满意,一般,满意,非常满意,24,108,93,45,30,24,132,225,270,300,合计,300,数值型数据的四分位数,(9,个数据的算例,),【,例,】,：,9,个家庭的人均月收入数据,原始数据,:,1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630,排,序,:,750 780 850 960 1080 1250 1500 1630,2000,位 置,:,1,2 3,4 5,6,7,8,9,三、数值型数据：均值,均值,(,mean,),1.,集中趋势的最常用测度值,2.,易受极端值的影响,3.,用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据,简单均值与加权均值,(simple mean/weighted mean),设,一组数据为：,x,1,，,x,2,，,，,x,n,各组的组中值为：,M,1,，,M,2,，,，,M,k,相应的频数为：,f,1,，,f,2,，,，,f,k,简单均值,加权均值,已改至此！,某电脑公司销售量数据分组表,按销售量分组,组,中值,(M,i,),频数,(,f,i,),M,i,f,i,140,150,150,160,160,170,170,180,180,190,190,200,200,210,210220,220230,230240,145,155,165,175,185,195,205,215,225,235,4,9,16,27,20,17,10,8,4,5,580,1395,2640,4725,3700,3315,2050,1720,900,1175,合计,120,22200,加权均值,(,例题分析,),加权均值,(,权数对均值的影响,),甲乙两组各有,10,名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下,甲组：,考试成绩（,x,）,:0 20 100,人数分布（,f,）：,1 1 8,乙组：,考试成绩（,x,）,:0 20 100,人数分布（,f,）：,8 1 1,均值,(,数学性质,),1.,各变量值与均值的离差之和等于零,2.,各变量值与均值的离差平方和最小,调和平均数,(,harmonic mean,),均值的另一种表现形式,易受极端值的影响,计算公式为,原来只是计算时使用了不同的数据！,调和平均数,(,例题分析,),某日三种蔬菜的批发成交数据,蔬菜,名称,批发价格,(,元,),M,i,成交额,(,元,),M,i,f,i,成交量,(,公斤,),f,i,甲,乙,丙,1.20,0.50,0.80,18000,12500,6400,15000,25000,8000,合计,36900,48000,【,例,】,某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格 平均批发价格,=,成交额,/,成交量,几何平均数,(,geometric mean,),n,个变量值乘积的,n,次方根,适用于对比率数据的平均,主要用于计算平均增长率,计算公式为,5.,可看作是均值的一种变形,几何平均数,(,例题分析,),【,例,】,某水泥生产企业,2001,年的水泥产量为,100,万吨，,2002,年与,2001,年相比增长率为,9%,，,2003,年与,2002,年相比增长率为,16%,，,2004,年与,2003,年相比增长率为,20%,。求各年的年平均增长率。,年平均增长率,114.91%-1=,14.91%,四、众数、中位数和均值的比较,众数、中位数和均值的关系（分布角度）,左偏分布,均值,中位数,众数,对称分布,均值,=,中位数,=,众数,右偏分布,众数,中位数,均值,众数、中位数和均值的,特点和应用,众数,不受极端值影响,具有不唯一性,数据分布偏斜程度较大时应用,中位数,不受极端值影响,数据分布偏斜程度较大时应用,均值,易受极端值影响,数学性质优良,数据对称分布或接近对称分布时应用,数据类型与集中趋势测度值,数据类型和所适用的集中趋势测度值,数据类型,分类数据,顺序数据,数值型数据,适,用,的,测,度,值,众数,中位数,均值,四分位数,调和平均数,众数,几何平均数,中位数,四分位数,众数,4.2,离散程度的度量,分类数据：异众比率,顺序数据：四分位差,数值型数据：方差及标准差,相对位置的测量：标准分数,相对离散程度：离散系数,离中趋势,数据分布的另一个重要特征,反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）,从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度,不同类型的数据有不同的离散程度测度值,一、分类数据：异众比率,异众比率,(,variation ratio,),1.,对分类数据离散程度的测度,2.,非众数组的频数占总频数的比率,3.,异众比率计算公式为：,4.,用于衡量众数的代表性。异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重越大，众数的代表性就越差。,异众比率,(,例题分析,),解：,在所调查的,50,人当中，购买其他品牌饮料的人数占,70%,，异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好,不同品牌饮料的频数分布,饮料品牌,频数,比例,百分比,(%),可口可乐,旭日升冰茶,百事可乐,汇源果汁,露露,15,11,9,6,9,0.30,0.22,0.18,0.12,0.18,30,22,18,12,18,合计,50,1,100,二、顺序数据：四分位差,四分位差,(,quartile deviation,),对顺序数据离散程度的测度,也称为内距或四分间距,上四分位数与下四分位数之差,Q,D,=,Q,U,Q,L,反映了中间,50%,数据的离散程度，其数值越小，说明中间的数据越集中，数值越大，说明中间的数据越分散。,不受极端值的影响,用于衡量中位数的代表性,四分位差,(,例题分析,),解：,设非常不满意为,1,不满意为,2,一般为,3,满意为,4,非常满意为,5,已知,Q,L,=,不满意,=,2,Q,U,=,一般,=,3,四分位差：,Q,D,=,Q,U,-,Q,L,=,3 2,=,1,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,回答类别,甲,城市,户数,(,户,),累计频数,非常不满意,不满意,一般,满意,非常满意,24,108,93,45,30,24,132,225,270,300,合计,300,三、数值型数据：方差和标准差,极差,(,range,),一组数据的最大值与最小值之差,离散程度的最简单测度值,易受极端值影响,未考虑数据的分布,7,8,9,10,7,8,9,10,R,=,max(,x,i,)-,min(,x,i,),计算公式为,平均差,(,mean deviation,),也称平均离差，是各变量值与其均值离差绝对值的平均数,能全面反映一组数据的离散程度，平均差越大，说明数据的离散程度就越大。,数学性质较差，实际中应用较少,计算公式为,未分组数据,组距分组数据,平均差,(,例题分析,),某电脑公司销售量数据平均差计算表,按销售量分组,组中值,(,M,i,),频数,(,f,i,),140150,150160,160170,170180,180190,190200,200210,210220,220230,230240,145,155,165,175,185,195,205,215,225,235,4,9,16,27,20,17,10,8,4,5,40,30,20,10,0,10,20,30,40,50,160,270,320,270,0,170,200,240,160,250,合计,120,2040,平均差,(,例题分析,),含义：,每一天的销售量与平均数相比，,平均相差,17,台,方差和标准差,(,variance,and,standard deviation,),数据离散程度的最常用测度值,反映了各变量值与均值的平均差异,根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差,4 6 8 10 12,x,=,8.3,样本方差和标准差,(simple,variance,and,standard deviation,),未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,注意：,样本方差用自由度,n-1,去除,!,样本方差,自由度,(,degree of freedom),一组数据中可以自由取值的数据的个数,当,样本数据的个数为,n,时，若样本均值,x,确定后，只有,n,-1,个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值,例,如，样本有,3,个数值，即,x,1,=2,，,x,2,=4,，,x,3,=9,，,则,x,=5,。,当,x,=5,确定后，,x,1,，,x,2,和,x,3,有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如,x,1,=6,，,x,2,=7,，,那么,x,3,则必然取,2,，而不能取其他值,样,本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差,s,2,去估计总体方差,2,时，,s,2,是,2,的无偏估计量,样本标准差,(,例题分析,),某电脑公司销售量数据标准差计算表,按销售量分组,组中值,(,M,i,),频数,(,f,i,),140150,150160,160170,170180,180190,190200,200210,210220,220230,230240,145,155,165,175,185,195,205,215,225,235,4,9,16,27,20,17,10,8,4,5,40,30,20,10,0,10,20,30,40,50,160,270,320,270,0,170,200,240,160,250,合计,120,55400,样本标准差,(,例题分析,),含义：,每一天的销售量与平均数相比，,平均相差,21.58,台,四、相对位置的测量：标准分数,标准分数,(,standard score,),1.,也称标准化值,2.,对某一个值在一组数据中相对位置的度量,3.,计算公式为,标准分数,(,性质,),均值等于,0,2.,方差等于,1,标准化值,(,例题分析,),9,个家庭人均月收入标准化值计算表,家庭编号,人均月收入（元）,标准化值,z,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1500,750,780,1080,850,960,2000,1250,1630,0.695,-1.042,-0.973,-0.278,-0.811,-0.556,1.853,0.116,0.996,经验法则,经验法则表明：当一组数据对称分布时,约有,68%,的数据在平均数加减,1,个标准差的范围之内,约有,95%,的数据在平均数加减,2,个标准差的范围之内,约有,99%,的数据在平均数加减,3,个标准差的范围之内,切比雪夫不等式,(,Chebyshevs,inequality,),如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再使用，这时可使用切比雪夫不等式,，,它对任何分布形状的数据都适用,切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少”,对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有 的数据落在,k,个标准差之内。其中,k,是大于,1,的任意值，但不一定是整数,切比雪夫不等式,(,Chebyshevs,inequality,),对于,k,=,2,，,3,，,4,，,该不等式的含义是,至少有,75%,的数据落在平均数加减,2,个标准差的范围之内,至少有,89%,的数据落在平均数加减,3,个标准差的范围之内,至少有,94%,的数据落在平均数加减,4,个标准差的范围之内,五、相对离散程度：离散系数,离散系数,(,coefficient of variation,),1.,标准差与其相应的均值之比,也称变异系数，是对数据相对离散程度的测度，离散系数大说明离散程度大,3.,计算公式为,离散系数,(,例题分析,),某管理局所属8家企业的产品销售数据,企业编号,产品销售额（万元）,x,1,销售利润（万元）,x,2,1,2,3,4,5,6,7,8,170,220,390,430,480,650,950,1000,8.1,12.5,18.0,22.0,26.5,40.0,64.0,69.0,【,例,】,某管理局抽查了所属的,8,家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度,离散系数,(,例题分析,),结论：,计算结果表明，,v,1,0,为,右偏分布,偏态系数,0,为,左偏分布,偏态系数,(,skewness,coefficient,),根据原始数据计算,根据分组数据计算,偏态系数,(,例题分析,),某电脑公司销售量偏态及峰度计算表,按销售量份组,(,台,),组中值,(,M,i,),频数,f,i,140150,150160,160170,170180,180190,190200,200210,210220,220230,230240,145,155,165,175,185,195,205,215,225,235,4,9,16,27,20,17,10,8,4,5,-256000,-243000,-128000,-27000,0,17000,80000,216000,256000,625000,10240000,7290000,2560000,270000,0,170000,1600000,6480000,10240000,31250000,合计,120,540000,70100000,ENTER,图形,偏态系数,(,例题分析,),结论：,偏态系数为正值，但与,0,的差异不大，说明电脑销售量为轻微右偏分布，即销售量较少的天数占据多数，而销售量较多的天数则占少数,偏态与峰态,(,从直方图上观察,),按销售量分组,(,台,),结论：,1.,为右偏分布,2.,峰态适中,140,150,210,某电脑公司销售量分布的直方图,190,200,180,160,170,频,数,(,天,),25,20,15,10,5,30,220,230,240,ENTER,二、峰 态,峰态,(,kurtosis,),统计学家,Pearson,于,1905,年首次提出,数据分布扁平程度的测度,峰态系数,=0,扁平峰度适中,峰态系数,0,为尖峰分布,峰态系数,(,kurtosis coefficient,),根据原始数据计算,根据分组数据计算,峰态系数,(,例题分析,),结论：,偏态系数为负值，但与,0,的差异不大，说明电脑销售量为轻微扁平分布,偏态与峰态,(,从直方图上观察,),按销售量分组,(,台,),结论：,1.,为右偏分布,2.,峰态适中,140,150,210,某电脑公司销售量分布的直方图,190,200,180,160,170,频,数,(,天,),25,20,15,10,5,30,220,230,240,用,Excel,计算描述统计量,本章小节,1.,数据集中水平的概括性度量,2.,数据离散程度的概括性度量,3.,数据分布形状的测度,4.,用,Excel,计算描述统计量,