向量空间的正交化.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章,向量空间的正交性,一 向量的内积,定义,1,对,n,维向量空间,中的向量,为,定义,中内积,到实数集,R,的函数，,当,注：,上述定义中给出的内积满足：,（,1,）,交换性,：,（,2,）,线性性,：,（,3,）,非负性,：,当且仅当,时，等号成立,的长度，,定义,2,(1),称非负实数,记为,为向量,中两向量,(2),定义,称,为与,同向的单位向量，,向量的单位化。,从,的过程也称为,称长度为,1,的向量为单位向量，,长度不为,1,，则可取,如果非零向量,的,都正交的单位向量。,例,1,求与,正交。,定义,3,，则称向量,零向量与任何向量都正交。,都正交,解：设,与,则,对系数矩阵,A,作初等行变换,所以,再单位化得,为所求向量。,是单位向量，则称该向量组为标准正交组。,故一个向量组是标准正交组的充要条件是,二 向量的正交性,，若它们两两正交，,称这个向量组为正交向量组。,又若每一个向量,定理,1,设一个向量组,若正交向量组,中不含零向量，则,线性无关。,，所以,证明：,对任意常数,，两边用,作内积，,线性无关。,即向量组,又因为,因为,为标准正交基。,则称,向量组的条件，即,在空间,中，若一组基,满足标准正交,中的一组基，这种基称为正交基。,因此它们可以作为,向量组，它们是线性无关的，,空间,中一定存在,n,个非零向量组成的正交,注：,例如,中的自然基,也是标准正交基。,是,中的一组标准正交基，而,设,三,、,Schmidt,正交化方法,向量组。,空间中的线性无关,下述方法称为,Schmidt,正交化方法，,它是把线性无关向量组，,转变为正交向量组的方法。,（当,r=n,时，就是,R,n,空间里的一组基）,但是，这组向量组不定是（标准）正交向量组；,（当,r=n,时，这组向量组不定是（标准）正交基）,然后单位化：,即为标准正交基。,当,时，,Schmidt,正交化方法就可以将一组基,化为正交基,则,是正交向量组。,所得向量组,书例,2,（,3,）,四、正交矩阵,A,是正交矩阵。,若,A,为正交阵，则,（,1,）,（,2,）,（,4,）,若,A,，,B,为正交阵，则,AB,也为正交阵,定义,设,A,是,n,阶的实矩阵，若,，则称,正交矩阵的性质：,也为正交阵,量都是单位向量且两两正交。,，则,即,得证,定理,2,A,为正交矩阵的充要条件是,A,的行（列）向,证明：令,书例,3,