点、线、平面的投影培训教程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,路漫漫其修远兮,吾将上下而求索,11 十一月 2026,点、线、平面的投影培训教程,3.1 投影法的基本知识,3.1.1 投影法的概念,3.1.2 投影法的分类,3.1.3 三视图的形成,3.1.1 投影法的概念,1.,中心投影法,2.,平行投影法,3.1.2 投影法的分类,1.中心投影法,投射线由投射中心出发的投影方法，称为,中心投影法。,改变物体与投影面间的距离，物体的投影发生变化,。,用中心投影法画出的图形称为透视图，其立体感强，符合人们的视觉习惯，常用于绘制建筑效果图；但透视图作图复杂，度量性差，不适合绘制机械图样。,c,2.平行投影法：,投射线相互平行的投影方法，称为,平行投影法,。,（1）斜投影法,（2）正投影法,3.1.3 三视图的形成,1.三投影面体系,将三个两两互相垂直的平面作为投影面，组成一个三投影面体系，如图所示。其中水平投影面用H标记，简称水平面或H面；正立投影面用V标记，简称正立面或V面；侧立投影面用W标记，简称侧面或W面。两投影面的交线称为投影轴，H面与V面的交线为OX轴，H面与W面的交线为OY轴，V面与W面的交线为OZ轴，三条投影轴两两互相垂直并汇交于原点O。三个投影面把空间分成八个部分，称为八个分角。,三投影面体系,2.三视图的形成,将物体放置于三面投影体系中，并注意安放位置适宜，即把形体的主要表面与三个投影面对应平行，用正投影法进行投影，即可得到三个方向的正投影图，如图所示。从前向后投影，在V面得到正面投影图，叫主视图；从上向下投影，在H面上得到水平投影，叫俯视图；从左向右投影，在W面上得到侧面投影图，叫左视图。这样就得到了物体的主、俯、左三个视图。,三视图的形成,返回,为了把三个投影面上的投影画在一张二维的图纸上，我们假设沿OY投影轴将三投影面体系剪开，保持V面不动，H面沿OX轴向下旋转90，w面沿OZ轴向后旋转90，展开三投影面体系，使三个投影面处于同一个平面内，如图2-16所示。需要注意的是：这时Y轴分为两条，一条随H面旋转到OZ轴的正下方，用YH表示；一条随W面旋转到OX轴的正右方，用YW表示，如图所示。,三投影面体系的展开,实际绘图时，在投影图外不必画出投影面的边框，也不注写H、V、W字样，也不必画出投影轴（又叫无轴投影），只要按方位置和投影关系，画出主、俯、左三个视图即可，如下图b，这就是形体的三面正投影图，简称,三视图。,形体的三视图,3 三视图之间的投影关系,在三投影面体系中，形体的X轴方向（左右间）尺寸称为,长度,，Y轴方向（前后间）尺寸称为,宽度,，Z轴方向（上下间）尺寸称为,高度,。在形体的三面投影中，水平投影图和正面投影图在X轴方向都反映物体的长度，它们的位置左右应对正，即,“长对正,”。正面投影图和侧面投影图在Z轴方向都反映物体的高度，它们的位置上下应对齐，即,“高平齐,”；水平投影图和侧面投影图在Y轴方向都反映物体的宽度，这两个宽度一定相等，即,“宽相等”,。,主视图、俯视图长对正；,主视图、左视图高平齐；,俯视图、左视图宽相等。,这称为,“三等关系,”，也称,“三等规律”,，,它是形体的三视图之间最基本的投影关系，是画图和读图的基础。应当注意，这种关系无论是对整个物体还是对物体局部的每一点、线、面均符合。,3.2 点的投影,3.2.1 点的三面投影,3.2.2 点的投影与直角坐标的关系,3.2.3 空间两点的相对位置的判定,3.2.4 重影点及其可见性,3.2.1 点的三面投影,1,.点的三面投影,2,.点的三面投影规律,3,.由点的两面投影求第三投影,1.点的三面投影,a,点,A,的水平投影,a,点,A,的正面投影,a,点,A,的侧面投影,A,a,a,a,a,x,a,y,a,z,三投影面体系展开,V,W,H,a,a,a,X,O,Z,Y,W,Y,H,a,x,a,y,a,z,a,y,点的三投影图,2.点的三面投影规律,a,a,a,X,O,Z,Y,W,Y,H,a,x,a,y,a,z,a,y,a,a,X轴，,a,a,Z轴，,a,a,z,=,a a,y,a,a,x,=,a,a,y,a a,x,=,a,a,z,a,a,a,A,a,x,a,y,a,z,例1,已知点,A,的正面与侧面投影，求点,A,的水平投影。,a,a,a,X,O,Z,Y,W,Y,H,4.根据点的两个投影求其第三投影,例2,已知点,A,的正面与水平面投影，求点,A,的侧面投影。,a,a,a,X,O,Z,Y,W,Y,H,4.根据点的两个投影求其第三投影,3.2.2,点的投影与直角坐标的关系,如果把投影面V视为坐标面XOZ，把投影面H视为坐标面XOY，把投影面W视为坐标面YOZ，把投影轴OX、OY、OZ作为三个坐标轴，原点仍为原点，则三投影面体系就是一个空间直角坐标系。,a,a,a,A,a,x,a,y,a,z,三面投影体系与直角坐标系的关系,在空间直角坐标系中，点A到投影面的距离可由点的坐标x、y、z表示。,a,a,a,A,a,x,a,y,a,z,x,y,z,点的直角坐标与三面投影的关系,a,a,a,X,O,Z,Y,W,Y,H,a,x,a,y,a,z,a,y,a,a,z,=,a a,y,=x,a,a,x,=,a,a,y,=z,a a,x,=,a,a,z,=y,x,y,z,y,例题,已知点A的坐标为(10,20,15)，求其三面投影。,Y,W,Y,H,Z,X,O,15,20,10,a,a,a,”,3.2.3,空间两点的相对位置的判定,空间两点的相对位置是指两点间的上、下，左、右，前、后关系。可通过点的投影确定空间两点的相对位置：,点的V面投影可确定空间两点的左右和上下位置；,点的H面投影可确定空间两点的左右和前后位置；,点的W面投影可确定空间两点的前后和上下位置。,由投影判断空间两点的位置,a,a,a,X,O,Z,Y,W,Y,H,b,b,b,a,a,a,b,b,b,B,A,两点中,x,值大的点在左,两点中,y,值大的点在前,两点中,z,值大的点在上,设两点分别为A和B：,若A点的x坐标大于B点的x坐标，A点在左，B点在右；,若A点的z坐标大于B点的z坐标，A点在上，B点在下；,若A点的y坐标大于B点的y坐标，A点在前，B点在后。,空间两点的相对位置的判定,例题,已知点,A,在点,B,之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点,A,的投影。,a,a,a,9,8,5,b,b,b,X,Z,Y,W,Y,H,O,3.2.4 重影点及其可见性,当空间两点位于一个投影面的同一条投射线上时，它们在该投影面上的投影重合成一个点，称为重影，这空间两点就称为该投影面的,重影点,。,d,(c,),c,d,a(b),a,b,C,D,A,B,重影点的投影形成,在投影图中，判别重影点的可见性与观察方向有关，约定:,可见性观察方向为自上向下，自前向后，自左向右,。,判别重影点的可见性方法可归纳为：,（1）若两点的水平投影重合，z坐标值大者为可见。,（2）若两点的正面投影重合，y坐标值大者为可见。,（3）若两点的侧面投影重合，x坐标值大者为可见。,规定，,不可见点的重合投影加一圆括号,例题,点A在水平面上的投影可见,Y,W,Y,H,Z,X,O,a,a(b),a,”,b,b,”,3.3 直线的投影,3.3.1,直线的投影,3.3.2,各类位置直线的投影特性,3.3.3,直线上的点的投影,3.3.4,两直线的相对位置,3.3.5,垂直两直线的投影,3.3.1 直线的投影,直线的投影可由属于该直线的两点的投影来确定。在正投影法中，如果直线与投射线不平行，,直线的投影仍是直线,。如果直线与投射线平行，,直线的投影,为一点。,a,b,c(d),D,C,B,A,H,直线的三面投影,A,B,b,b,a,b,a,a,Z,X,O,Y,332 各类位置的直线的投影特性,一般位置直线,投影面平行线,特殊位置直线,投影面垂直线,1.一般位置直线,A,B,b,b,a,b,a,a,与三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。,(一般位置直线对H面的倾角为，对V面的倾角为；对W面的倾角为),投影特性：,1,a b,、,a,b,、,a,b,均小于实长,2,a b,、,a,b,、,a,b,均倾斜于投影轴,3,a b,、,a,b,、,a,b,与投影轴夹角不反映,、,、,大小,Z,X,O,Y,一般位置直线的投影图,Z,X,a,a,a,O,Y,H,Y,W,b,b,b,一般位置直线的投影特性为：,其三面投影均与投影轴倾斜，且小于线段的实长。,各投影与投影轴的夹角均不反映一般位置直线对投影面的真实倾角。,2.投影面平行线,平行于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的直线，称为投影面平行线。有三种位置：,正平线,:平行于正面，而与水平面和侧面倾斜的直线。,水平线,：平行于水平面，而与正面和侧面倾斜的直线。,侧平线,：平行于侧面，而与水平面和正面倾斜的直线。,正平线,：,平行于正面，而与水平面和侧面倾斜的直线。,a,a,b,a,b,b,A,B,Z,X,O,Y,X,a,b,a,b,b,a,O,Z,Y,H,Y,W,投影特性：1 ab,OX;a,b,OZ,2 a,b,=AB,3 a,b,与X轴、Z轴夹角反映,、,角的大小,正平线的投影图,水平线：,平行于正面，而与水平面和侧面倾斜的直线。,a,a,b,a,b,b,A,B,Z,X,O,Y,X,a,b,a,b,b,a,O,Z,Y,H,Y,W,投影特性：1a,b,OX;a,b,OY,W,2 ab=AB,3ab与X轴、Y轴夹角分别反映,、,角的大小,水平线的投影图,侧平线,平行于侧面，而与水平面和正面倾斜的直线。,a,a,b,a,b,b,A,B,Z,X,O,Y,投影特性：1 a,b,OZ;ab,OY,H,2 a,b,=AB,3 a,b,与Y轴、Z轴夹角,反映,、,角的大小,X,Z,a,b,b,b,a,O,Y,H,Y,W,a,侧平线的投影图,投影面平行线的投影特性,在直线所平行的那个投影面上的投影反映线段的实长。,反映实长的那个投影与投影轴的夹角是直线段与相应投影面的真实倾角。,在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，且长度小于实长。,2.投影面垂直线,垂直于一个投影面，与另外两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。有三种位置：,正垂线,：与正面垂直的直线（与H面及W面平行）,铅垂线,：与水平面垂直的直线（与V面及W面平行）,侧垂线,：与侧面垂直的直线（与H面及V面平行）,正垂线,与正面垂直的直线（与H面及W面平行）,投影特性：1,a,b,积聚 成一点,2,ab,OX,;,a,b,O,Z,3,ab,=,a,b,=,AB,z,X,b,(a,),b,a,O,Y,H,Y,W,a,b,正垂线的投影图,b,a,b,a,A,B,Z,X,O,Y,b,（,a,）,铅垂线,与水平面垂直的直线（与V面及W面平行）,b,a(b),a,a,b,A,B,Z,X,O,Y,Z,b,X,a,b,a(b),O,Y,H,Y,W,a,投影特性：1,a、b,积聚 成一点,2,a,b,OX,;,a,b,OY,W,3,a,b,=,a,b,=,AB,铅垂线的投影图,侧垂线,与侧面垂直的直线（与H面及V面平行）,A,B,b,a,a,（,b,）,a,b,Z,X,O,Y,投影特性：1,a,b,积聚 成一点,2,ab,OY,H,;,a,b,O,Z,3,ab,=,a,b,=,AB,Z,X,a,(,b,),b,a,O,Y,H,Y,W,a,b,侧垂线的投影图,投影面垂直线的投影特性,在直线所垂直的那个投影面上的投影积聚为一点。,在另外两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴，且反映线段的真实长度。,3.3.3,直线上的点的投影,直线上点的投影规律,点分直线段的,定比性,1.,直线上的点的投影规律,如果点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上,且符合点的投影规律。,直线上的点的投影图,根据,点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上,且符合点的投影规律,这一特性，可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。,例:点的投影在直线的两个平行于投影轴的投影上,，,判断 是否在直线上。,点不在直线上,2.点分直线段的,定比性,直线段上的点分直线段为两线段的长度之比等于点的各投影分同面直线投影长度之比,AK:KBak:kba,k,:k,b,a,k,“,:k,b,3.3.4 两直线的相对位置,1.,平行两直线,2.,相交两直线,3.,交叉两直线,1.平行两直线,若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必然,相互平行或重合,。,a,A,b,d,c,B,D,C,2.相交两直线,当空间两直线相交时，则它们的各同面投影也必然相交，且,交点的投影符合点的投影规律,。,a,A,b,d,c,B,D,C,3.交叉两直线,两直线既不平行也不相交，称两直线交叉,。,3.交叉两直线,b,X,a,a,b,c,d,d,c,1,1,(2,),2,交叉两直线可能有一组或二组同面投影互相平行,但决不可能三组同面投影都互相平行。,交叉两直线的同面投影，可能有一组、二组或三组同面投影都相交，但它们交点的投影一定不符合点的投影规律。,实际上，交叉两直线同面投影的交点是空间两直线上的对该投影面的一对重影点。,335 垂直两直线的投影,c,X,b,a,c,b,a,a,b,c,C,A,B,直角投影定理：,当两直线成直角，且其中一条直线为某投影面平行线时，则两直线在该投影面上的投影仍成直角。,逆定理,：,若空间两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中有一条直线为该投影面的平行线时，则此两直线在空间必定成直角。,3.4 平面的投影,3.4.1,平面的几何元素表示法,3.4.2,各种位置平面的投影特性,3.4.3,平面上的直线和点,341 平面的几何元素表示法,b,a,a,c,b,c,b,a,a,c,b,c,a,a,b,c,b,c,a,b,c,a,b,c,d,d,b,a,a,c,b,c,不在同一直线上的三点,直线与直线外一点,相交两直线,平行两直线,平面图形,3.4.2 各种位置平面的投影特性,1.,投影面的垂直面,2.,投影面的平行面,3.,一般位置平面,1.投影面的垂直面,铅垂面,正垂面,侧垂面,垂直于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的平面叫投影面垂直面,（1）铅垂面,X,O,V,H,W,P,A,B,C,a,c,b,a,b,a,b,b,a,b,c,c,c,X,Z,Y,W,O,Y,H,投影特性(1),abc,积聚为一条线,(2),a,b,c,、,a,b,c,为,ABC,的类似形,(3),abc,与,OX,、,OY,的夹角反映,、,角的真实大小,铅垂面投影图,（2）正垂面,X,O,V,H,W,P,A,B,C,a,c,b,D,d,X,Z,Y,W,O,Y,H,c,d,a,b,a,b,b,a,b,c,c,d,d,投影特性 (1),a,b,c,d,积聚为一条线,(2),abcd,、,a,b,c,d,为,ABCD,的类似形,(3),a,b,c,d,与,OX、,OZ,的夹角反映,、,角的真实大小,正垂面投影图,（3）侧垂面,X,O,V,H,W,P,A,B,C,a,b,c,投影特性 (1),a,b,c,积聚为一条直线,(2),abc、,a,b,c,为,ABC,的类似形,(3),a,b,c,与,OZ,、,OY,的夹角反映,、,角的大小,c,b,a,b,b,a,c,c,a,O,X,Z,Y,W,Y,H,侧垂面投影图,投影面垂直面的投影特性,平面在它所垂直的投影面上积聚成倾斜于投影轴的直线段；该线段与投影轴的夹角，即平面对另外两个投影面的倾角。,另外两个投影面上投影为平面图形的类似形。,2.投影面的平行面,水平面,正平面,侧平面,平行于一个投影面的平面叫投影面平行面,（1）水平面,X,O,V,H,W,P,A,B,a,b,c,c,a,b,b,a,c,C,投影特性：(1),a,b,c,、,a,b,c,积聚为一条直线，具有积聚性,(2)水平投影,abc,反映,ABC,实形,c,a,b,b,b,a,a,c,c,X,Z,Y,W,O,Y,H,水平面的投影图,（2）正平面,X,O,V,H,W,c,b,P,a,b,c,b,c,a,C,B,A,c,a,b,b,a,c,b,c,a,X,Z,Y,W,O,Y,H,投影特性：(1),abc,、,a,b,c,积聚为一条线，具有积聚性,(2)正平面投影,a,b,c,反映,ABC,实形,正平面的投影图,（3）侧平面,X,O,V,H,W,b,c,b,a,c,a,b,c,C,A,B,a,投影特性：(1),abc,、,a,b,c,积聚为一条直线，具有积聚性,(2)侧平面投影,a,b,c,反映,ABC,实形,a,b,b,b,a,c,c,c,a,X,Z,Y,W,O,Y,H,侧平面的投影图,投影面平行面的投影特性,平面在它所平行的投影面上的投影反映实形。,平面的其它两个投影都积聚成直线，且分别平行于与该平面平行的两投影轴。,X,O,V,H,W,3.一般位置平面,a,b,c,c,a,b,b,a,A,B,C,3.一般位置平面的投影图,一般位置平面的每个投影既无积聚性，也不反映平面的实形和倾角。因此在投影图上，一般位置平面的三面投影均是面积缩小了的平面,b,X,Z,Y,W,O,Y,H,a,a,b,b,c,c,a,c,3.4.3 平面上的直线和点,1.点和,直线在平面上的几何条件,2.,平面上的投影面平行线,1.点和直线在平面上的几何条件,A,点在平面上的几何条件,若点在平面内的任一已知直线上，则点必在该平面上,1平面上的点,2平面上的直线,直线在平面上的几何条件,若一直线经过平面上的两个已知点，或经过一个已知点且平行于该平面上的另一已知直线，则此直线必定在该平面上,c,a,b,b,a,c,X,举例,e,d,d,e,f,f,1）在由相交两直线AB、BC所确定平面内作一条直线,2）点F在由相交两直线AB、BC所确定平面上，过F作一条直线，该直线在平面上,既在平面上，又平行于某一投影面的直线称为,平面上的投影面平行线,。,根据所平行的投影面不同，平面上的投影面平行线可分为,平面上的水平线、平面上的正平线和平面上的侧平线,三种。,在平面上求作投影面平行线的依据是：,直线既要符合投影面平行线的投影特性，又要满足直线在平面上的几何条件。,2.平面上的投影面平行线,平面上的水平线,P,