高二数学函数的最值与导数1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,11 十一月 2026,高二数学函数的最值与导数1,a,b,y=f(x),x,o,y,y=f(x),x,o,y,a,b,f,(,x,)0,f,(,x,)0,复习:一、函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,设函数y=f(x)在,某个区间,内可导，,f(x)为,增函数,f(x)为,减函数,二、函数的极值定义,设函数f(x)在点x,0,附近有定义，,如果对X,0,附近的所有点，都有,f(x)f(x,0,),则f(x,0,)是函数f(x)的一个极小值，记作,y,极小值,=f(x,0,)；,函数的,极大值,与,极小值,统称,为,极值,.,使函数取得极值的点,x,0,称为,极值点,x,o,y,a,x,1,b,y=f(x),x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,观察下列图形,你能找出函数的极值吗？,观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(x)的 极大值。,求解函数极值的一般步骤：,（1）确定函数的定义域,（2）求函数的导数f(x),（3）求方程f(x)=0的根,（4）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格,（5）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况,在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题,函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？,新 课 引 入,极值是一个,局部,概念，极值只是某个点的函数值与它,附近点,的函数值比较是最大或最小,并,不意味,着它在函数的整个的定义域内最大或最小。,知识回顾,一般地，设函数,y=f(x),的定义域为,I,，如果存在实数,M,满足：,1,最大值:,（1）对于任意的x,I,，都有f(x)M;,（2）存在x,0,I,，使得f(x,0,)=M,那么，称,M,是函数,y=f(x),的,最大值,2最小值:,一般地，设函数y=f(x)的定义域为,I,，如果存在实数M满足：,（1）对于任意的x,I,，都有f(x)M;,（2）存在x0,I,，使得f(x0)=M,那么，称M是函数y=f(x)的,最小值,观察下列图形,你能找出函数的最值吗？,x,o,y,a,x,1,b,y=f(x),x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,x,o,y,a,x,1,b,y=f(x),x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.,在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,因此：该函数没有最值。,f(x),max,=f(a),f(x),min,=f(x,3,),x,o,y,a,x,1,b,y=f(x),x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,如何求出函数在a,b上的最值？,一般的如果在区间，a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象：,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,f(x,1,)、f(x,3,),f(x,2,),f(b),f(x,3,),问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x,3,)是最小值，而f(b)是最大值呢？,x,X,2,o,a,X,3,b,x,1,y,y=f(x),(2)将,y,=,f,(,x,)的各极值与,f,(,a,)、,f,(,b,)(端点处),比较,其中最大的一个为最大值，最小的,一个最小值.,求,f,(,x,)在,闭区间,a,b,上的最值的步骤：,(1)求,f,(,x,)在区间(,a,b,)内极值(极大值或极小值)；,新授课,注意:,1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一,2.最大值一定比最小值大.,典型例题,1、求出所有导数为0的点；,2、计算；,3、比较确定最值。,例1、,1、,动手试试,求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：,典型例题,反思：本题属于逆向探究题型：,其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。,拓展提高,1、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把,闭区间【a，b】换成开区间（a,b）,是否一定有最值呢？如下图：,不一定,2、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。,3、,如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。,有两个极值点时，函数有无最值情况不定。,动手试试,4、函数y=x,3,-3x,2,，在2，4上的最大值为(),A.-4 B.0 C.16D.20,C,11/11/2026,19,1、,求函数f(x)=x,2,-4x+6在区间1，5内,的最大值和最小值,法一、,将二次函数f(x)=x,2,-4x+6配方，利用二次函数单调性处理,选做题,：,1.,求函数f(x)=x,2,-4x+6在区间1，5内的极值与最值,故函数f(x)在区间1，5内的极小值为3，最大值为11，最小值为2,解法二、,f(x)=2x-4,令f(x)=0，即2x-4=0，,得x=2,x,1,（1，2）,2,（2，5）,5,y,，,0,y,-,+,3,11,2,2、,解,令,解得,x,0,(0,),(,),+,-,+,0,0,(,),0,应用,(2009年天津（文）21T),处的切线的斜率；,设函数 其中,（1）当 时，求曲线 在点,（2）求函数 的单调区间与极值。,答,:（1）斜率为1;,(2),四、实际应用,1.实际问题中的应用.,在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的,最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.,在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.,在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.,这里所说的也适用于开区间或无穷区间.,满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.,例1:在边长为60cm的正,方形铁皮的四角切去相等,的正方形,再把它的边沿虚,线折起(如图),做成一个无,盖的方底箱子,箱底边长为,多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积,V(x)=x,2,h=(60 x,2,-x,3,)/2(0 x60).,令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=,16000.,由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm,3,.,类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径,应怎样选取,才能使所用的材料最省?,解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2rh+2r,2.,由V=r,2,h,得 ,则,令 ,解得 ,从而,即h=2r.,由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.,答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.,例2:如图,铁路线上AB段长,100km,工厂C到铁路的,距离CA=20km.现在要,在AB上某一处D,向C修,一条公路.已知铁路每吨,千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料,从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?,B D A,C,解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=,km.,又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为,令 ,在 的范围内有,唯一解x=15.,所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.,注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的,最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离,不超过15千米时,所选D点与B点重合.,练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆,锥体并且体积最大的圆柱体的高h.,答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3,时,圆柱体的体积最大.,2.与数学中其它分支的结合与应用.,x,y,例1:如图,在二次函数f(x)=,4x-x,2,的图象与x轴所,围成的图形中有一个,内接矩形ABCD,求这,个矩形的最大面积.,解:设B(x,0)(0 x2),则,A(x,4x-x,2,).,从而|AB|=4x-x,2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积,为:S(x)=|AB|BC|=2x,3,-12x,2,+16x(0 x0时，,x,ln,(1+,x,),解：设,f,(,x,)=,x,-,ln,(1+,x,).,即,x,ln,(1+,x,).,又因为,f,(,x,)在,x,=0处连续，,所以,f,(,x,)在,x,0上单调递增，,从而当,x,0时，有,f,(,x,)=,x,-,ln,(1+,x,),f,(0)=0,练习3:当,x,1,时,证明不等式:,证:设,显然,f,(,x,)在1,+)上连续,且,f,(1)=0.,显然,当,x,1,时,故,f,(,x,),是,1,+),上的增函数,.,所以当,x,1,时,f,(,x,),f,(1)=0,即当,x,1,时,例4:证明不等式:,证:设,则,令 ,结合x0得x=1.,而01时,所以x=1是f(x)的极小值点.,所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.,从而当x0时,f(x)1恒成立,即:,成立.,思考题：,（04浙江文,21,）（本题满分,12,分）,已知,a,为实数，,（）求导数 ；,（）若 ，求 在,-2,，,2,上的最大值和最小值；,（）若 在(,-,，,-2,和,2,，,+,)上都是递增的，求,a,的取值范围。,2a2,五、小结,1.求在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的,最值的步骤:,(1)求f(x)在(a,b)内的极值;,(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个,是最大值,最小的一个是最小值.,2.求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)要正确区分极值与最值这两个概念.,(2)在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未,必有最大值与最小值.,(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不,要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值,和f(a)、f(b)放在一起比较.,3.应用问题要引起重视.,(1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、,不等式的证明及解法中有广泛的作用。,(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内,存在最大(小)值,而且函数在这个定义域内又只有,唯一的极值点,那么立即可以判定,这个极值点的函,数值就是最大(小)值,这一点在解决实际问题时很,有用.,六、作业,第一次p.253254课后强化训练第18题;,第二次p.255256课后强化训练第16题及9,10题.,导数,导数的定义,求导公式与法则,导数的应用,导数的几何意义,多项式函数的导数,函数单调性,函数的极值,函数的最值,基本练习,1、曲线y=x,4,-2x,3,+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为(),(A)5 (B)6 (C)7 (D)8,2、函数y=x,100,+2x,50,+4x,25,的导数为(),y=100(x,99,+x,49,+x,24,),(B)y=100 x,99,(C)y=100 x,99,+50 x,49,+25x,24,(D)y=100 x,99,+2x,49,3、已知过曲线y=x,3,/3上点P的切线方程为12x-3y=16，则点P的坐标为,.,4、函数f(x)=x,3,-3x+1的减区间为(),(A)(-1,1)(B)(1,2),(C)(-,-1)(D)(-,-1)，(1,+),5、若函数y=a(x,3,-x)的递减区间为()，则a的取值范围为(),(A)a0 (B)11 (D)0a1,6、当x(-2,1)时，f(x)=2x,3,+3x,2,-12x+1是(),单调递增函数,(B)单调递减函数,(C)部份单调增，部分单调减,(D)单调性不能确定,7、如果质点M的运动规律为S=2t,2,-1，则在一小段时间2，2+t中相应的平均速度等于(),(A)8+2t (B)4+2t,(C)7+2t (D)8+2t,例1、若两曲线y=3x,2,+ax与y=x,2,-ax+1在点x=1处的切线互相平行，求a的值.,分析 原题意等价于函数y=3x,2,+ax与,y=x,2,-ax+1在x=1的导数相等，,即：6+a=2-a,例2 、已知抛物线y=ax,2,+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值.,分析,由条件知：y=ax,2,+bx+c在点Q(2，-1)处的导数为1，于是,4a+b=1,又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax,2,+bx+c上，从而,a+b+c=1且4a+2b+c=-1,例3 已知P为抛物线y=x,2,上任意一点，则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离,分析 点P到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数为-1，令P(a,b),于是有：2a=-1.,例4 设f(x)=ax,3,+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.,思考、,已知函数y=x,2,-2(m-1)x+2在区间2，6内单调递增，求m的取值范围。,(1)若曲线y=x,3,在点处的切线的斜率等于，则点的坐标为(),(2,8)(B)(-2,-8),(C)(-1,-1)或(1,1)(D)(-1/2,-1/8),(2)若曲线y=x,5,/5上一点处的切线与直线y=3-x垂直，则此切线方程为(),5x+5y-4=0 (B)5x-5y-4=0,(C)5x-5y+4=0 (D)以上皆非,(3)曲线y=x,3,/3-x,2,+5在点处的切线的倾角为3/4，则的坐标为,.,