全国通用中考数学复习第三章变量与函数3.5二次函数的综合应用试卷部分.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2014,2018,年全国中考题组,考点一抛物线与距离、面积、角度,五年中考,1.(,2015,天津,12,3,分,),已知抛物线,y,=-,x,2,+,x,+6,与,x,轴交于点,A,点,B,与,y,轴交于点,C,若,D,为,AB,的中,点,则,CD,的长为,(,),A.,B.,C.,D.,答案,D,由题意知,点,D,是抛物线的对称轴与,x,轴的交点,所以点,D,的坐标为,.,对于,y,=-,x,2,+,x,+6,令,x,=0,得,y,=6,所以,C,(0,6).,所以,CD,=,=,=,.,故选,D.,2,.(2017,新疆,14,5,分,),如图,在边长为,6 cm,的正方形,ABCD,中,点,E,F,G,H,分别从点,A,B,C,D,同时出,发,均以,1 cm/s,的速度向点,B,C,D,A,匀速运动,当点,E,到达点,B,时,四个点同时停止运动,.,在运动过,程中,当运动时间为,s,时,四边形,EFGH,的面积最小,其最小值是,cm,2,.,答案,3;18,解析,设运动时间为,t,(0,t,6)s,则,AE,=,BF,=,CG,=,DH,=,t,cm,BE,=,CF,=,DG,=,AH,=(6-,t,)cm,当,t,=0,或,t,=,6,时,四边形,EFGH,的面积为,36 cm,2,;,当,0,t,6,时,易得,AEH,BFE,CGF,DHG,则,S,四边形,EFGH,=,S,正方形,ABCD,-4,S,AEH,=6,6-4,t,(6-,t,)=2,t,2,-12,t,+36=2(,t,-3),2,+18,当,t,=3,时,四边形,EFGH,的面积取最,小值,最小值为,18 cm,2,.,3.(,2018,吉林,26,10,分,),如图,在平面直角坐标系中,抛物线,y,=,ax,2,+2,ax,-3,a,(,a,0),与,x,轴相交于,A,B,两,点,与,y,轴相交于点,C,顶点为,D,直线,DC,与,x,轴相交于点,E,.,(1),当,a,=-1,时,抛物线顶点,D,的坐标为,OE,=,;,(2),OE,的长是否与,a,值有关,说明你的理由,;,(3),设,DEO,=,45,60,求,a,的取值范围,;,(4),以,DE,为斜边,在直线,DE,的左下方作等腰直角三角形,PDE,.,设,P,(,m,n,),直接写出,n,关于,m,的函数,解析式及自变量,m,的取值范围,.,解析,(1)(-1,4);3.,(2,分,),(2),OE,的长与,a,值无关,.,理由,:,y,=,ax,2,+2,ax,-3,a,C,(0,-3,a,),D,(-1,-4,a,).,直线,CD,的解析式为,y,=,ax,-3,a,.,(4,分,),当,y,=0,时,x,=3.,OE,=3.,OE,的长与,a,值无关,.,(5,分,),(3),当,=45,时,在,Rt,OCE,中,OC,=,OE,.,OE,=3,OC,=-3,a,-3,a,=3.,a,=-1.,(6,分,),当,=60,时,在,Rt,OCE,中,OC,=,OE,.,OE,=3,OC,=-3,a,-3,a,=3,.,(7,分,),a,=-,.,当,45,60,时,-,a,-1.,(8,分,),(4),n,=-,m,-1(,m,1).(,如图,),(10,分,),评分说明,:1.,第,(2),题,证明正确,但不先写结论不扣分,;,2.,第,(4),题,解析式正确给,1,分,自变量取值范围正确给,1,分,.,4.,(2018,云南昆明,22,9,分,),如图,抛物线,y,=,ax,2,+,bx,过点,B,(1,-3),对称轴是直线,x,=2,且抛物线与,x,轴的,正半轴交于点,A,.,(1),求抛物线的解析式,并根据图象直接写出当,y,0,时,自变量,x,的取值范围,;,(2),在第二象限内的抛物线上有一点,P,当,PA,BA,时,求,PAB,的面积,.,解析,(1),解法一,:,抛物线,y,=,ax,2,+,bx,过点,B,(1,-3),对称轴为直线,x,=2,(1,分,),解之得,(2,分,),抛物线的解析式为,y,=,x,2,-4,x,.,(3,分,),抛物线过原点,对称轴为直线,x,=2,由抛物线的对称性得,A,(4,0),由题图可知,当,y,0,时,自变量,x,的取值范围为,0,x,4.,(4,分,),解法二,:,抛物线,y,=,ax,2,+,bx,过原点,对称轴为直线,x,=2,由抛物线的对称性得,A,(4,0),把,A,(4,0),B,(1,-3),分别代入,y,=,ax,2,+,bx,中,得,(1,分,),解之得,(2,分,),抛物线的解析式为,y,=,x,2,-4,x,.,(3,分,),由题图可知,当,y,0,时,自变量,x,的取值范围为,0,x,4.,(4,分,),(2),解法一,:,过点,B,作,BE,x,轴于点,E,过点,P,作,PF,x,轴于点,F,点,A,的坐标为,(4,0),点,B,的坐标为,(1,-3),BE,=,AE,=3,EAB,=,EBA,=45,PA,BA,即,PAB,=90,PAF,=45,FPA,=,PAF,=45,PF,=,AF,.,(5,分,),设点,P,的坐标为,(,x,x,2,-4,x,),点,P,在第二象限内,x,0,PF,=,x,2,-4,x,又,AF,=4-,x,x,2,-4,x,=4-,x,解得,x,1,=4(,不符合题意,舍去,),x,2,=-1,当,x,=-1,时,y,=(-1),2,-4,(-1)=5,点,P,的坐标为,(-1,5),(6,分,),PF,=5.,设直线,PB,的解析式为,y,=,kx,+,m,(,k,0),且交,x,轴于点,C,把,P,(-1,5),B,(1,-3),分别代入,y,=,kx,+,m,中,得,解得,直线,PB,的解析式为,y,=-4,x,+1.,(7,分,),当,y,=0,时,-4,x,+1=0,x,=,C,AC,=4-,=,(8,分,),S,PAB,=,S,PAC,+,S,ABC,=,5+,3=15.,(9,分,),解法二,:,过点,B,作,BE,x,轴于点,E,过点,P,作,PF,x,轴于点,F,设,PA,与,y,轴交于点,D,.,点,A,的坐标为,(4,0),点,B,的坐标为,(1,-3),BE,=,AE,=3,EAB,=,EBA,=45,且,AB,=3,PA,BA,即,PAB,=90,PAF,=45,ODA,=,PAF,=45,OD,=,OA,=4,点,D,的坐标为,(0,4),设直线,PA,的解析式为,y,=,kx,+,m,(,k,0),把,D,(0,4),A,(4,0),分别代入,y,=,kx,+,m,中,得,解得,直线,PA,的解析式为,y,=-,x,+4.,(5,分,),由,x,2,-4,x,=-,x,+4,解得,x,1,=4,x,2,=-1,点,P,在第二象限内,x,=-1,当,x,=-1,时,y,=(-1),2,-4,(-1)=5,点,P,的坐标为,(-1,5),(6,分,),PAF,=,APF,=45,PF,=,AF,=5,在,Rt,PFA,中,AFP,=90,由勾股定理得,AP,=,=,=5,.,(7,分,),在,Rt,PAB,中,PAB,=90,S,ABP,=,AP,AB,=,5,3,=15.,(9,分,),(,其他解法参照此标准给分,),5.,(2018,天津,25,10,分,),在平面直角坐标系中,点,O,(0,0),点,A,(1,0).,已知抛物线,y,=,x,2,+,mx,-2,m,(,m,是常,数,),顶点为,P,.,(1),当抛物线经过点,A,时,求顶点,P,的坐标,;,(2),若点,P,在,x,轴下方,当,AOP,=45,时,求抛物线的解析式,;,(3),无论,m,取何值,该抛物线都经过定点,H,.,当,AHP,=45,时,求抛物线的解析式,.,解析,(1),抛物线,y,=,x,2,+,mx,-2,m,经过点,A,(1,0),0=1+,m,-2,m,解得,m,=1.,抛物线的解析式为,y,=,x,2,+,x,-2.,y,=,x,2,+,x,-2=,-,顶点,P,的坐标为,.,(2),抛物线,y,=,x,2,+,mx,-2,m,的顶点,P,的坐标为,.,由点,A,(1,0),在,x,轴正半轴上,点,P,在,x,轴下方,AOP,=45,知点,P,在第四象限,.,过点,P,作,PQ,x,轴于点,Q,则,POQ,=,OPQ,=45,.,可知,PQ,=,OQ,即,=-,解得,m,1,=0,m,2,=-10.,当,m,=0,时,点,P,不在第四象限,舍去,.,m,=-10.,抛物线的解析式为,y,=,x,2,-10,x,+20.,(3),由,y,=,x,2,+,mx,-2,m,=(,x,-2),m,+,x,2,可知,当,x,=2,时,无论,m,取何值,y,都等于,4.,点,H,的坐标为,(2,4).,过点,A,作,AD,AH,交射线,HP,于点,D,分别过点,D,H,作,x,轴的垂线,垂足分别为,E,G,则,DEA,=,AGH,=90,.,DAH,=90,AHP,=45,ADH,=45,AH,=,AD,.,DAE,+,HAG,=,AHG,+,HAG,=90,DAE,=,AHG,.,ADE,HAG,.,DE,=,AG,=1,AE,=,HG,=4.,可得点,D,的坐标为,(-3,1),或,(5,-1).,当点,D,的坐标为,(-3,1),时,可得直线,DH,的解析式为,y,=,x,+,.,点,P,在直线,y,=,x,+,上,-,=,+,.,解得,m,1,=-4,m,2,=-,.,当,m,=-4,时,点,P,与点,H,重合,不符合题意,m,=-,.,当点,D,的坐标为,(5,-1),时,可得直线,DH,的解析式为,y,=-,x,+,.,点,P,在直线,y,=-,x,+,上,-,=-,+,.,解得,m,1,=-4(,舍,),m,2,=-,.,m,=-,.,综上,m,=-,或,m,=-,.,故抛物线的解析式为,y,=,x,2,-,x,+,或,y,=,x,2,-,x,+,.,6.,(2015,宁夏,24,8,分,),已知点,A,(,3),在抛物线,y,=-,x,2,+,x,上,设点,A,关于抛物线对称轴对称的,点为,B,.,(1),求点,B,的坐标,;,(2),求,AOB,的度数,.,解析,(1),解法一,:,依题意,由对称轴方程,x,=-,得,x,=2,(1,分,),点,A,、,B,关于抛物线对称轴,x,=2,对称,由点,A,(,3),知,点,B,的坐标为,(3,3).,(2,分,),解法二,:,点,A,、,B,关于抛物线的对称轴对称,点,B,也在抛物线上,当,y,=3,时,-,x,2,+,x,=3,整理,得,x,2,-4,x,+9=0,(1,分,),解得,x,=3,或,x,=,点,B,的坐标为,(3,3).,(2,分,),在,Rt,AOC,中,cos,AOC,=,=,AOC,=30,即,AOB,=30,.,(8,分,),(2),由勾股定理,得,OA,=2,OB,=6,AB,=2,OAB,为等腰三角形,.(5,分,),过点,A,作,AC,OB,于点,C,则,OC,=,OB,=3.,7.(,2015,内蒙古包头,26,12,分,),已知抛物线,y,=,x,2,+,bx,+,c,经过,A,(-1,0),B,(3,0),两点,与,y,轴相交于点,C,该,抛物线的顶点为点,D,.,(1),求该抛物线的解析式及点,D,的坐标,;,(2),连接,AC,CD,BD,BC,设,AOC,BOC,BCD,的面积分别为,S,1,S,2,和,S,3,用等式表示,S,1,S,2,S,3,之间,的数量关系,并说明理由,;,(3),点,M,是线段,AB,上一动点,(,不包括点,A,和点,B,),过点,M,作,MN,BC,交,AC,于点,N,连接,MC,是否存在,点,M,使,AMN,=,ACM,?,若存在,求出点,M,的坐标和此时刻直线,MN,的解析式,;,若不存在,请说明,理由,.,解析,(1),抛物线,y,=,x,2,+,bx,+,c,经过,A,(-1,0),B,(3,0),两点,解得,该抛物线的解析式为,y,=,x,2,-2,x,-3.,(2,分,),-,=1,=-4,点,D,的坐标为,(1,-4).,(3,分,),(2),S,1,S,2,S,3,的数量关系为,S,2,=,S,1,+,S,3,.,过点,D,作,DE,x,轴于点,E,作,DF,y,轴于点,F,则在,Rt,CFD,中,CD,2,=2,CD,=,.,在,Rt,EDB,中,BD,2,=20.,在,Rt,BOC,中,BC,2,=18,BC,=3,.,CD,2,+,BC,2,=,BD,2,BCD,为直角三角形,.,S,1,=,AO,OC,=,1,3=,S,2,=,OB,OC,=,3,3=,S,3,=,BC,CD,=,3,=3,S,1,+,S,3,=,+3=,S,2,=,S,1,+,S,3,.,(7,分,),(3),存在点,M,使得,AMN,=,ACM,.,设点,M,的坐标为,(,m,0),-1,m,3,则,MA,=,m,-(-1)=,m,+1.,在,Rt,AOC,中,AC,=,.,MN,BC,=,=,AN,=,(,m,+1).,AMN,=,ACM,MAN,=,CAM,AMN,ACM,=,(,m,+1),2,=,(,m,+1),m,1,=,m,2,=-1(,舍,),点,M,的坐标为,.,(10,分,),设直线,BC,的解析式为,y,=,kx,+,n,1,(,k,0),把,B,(3,0),C,(0,-3),代入,得,解得,直线,BC,的解析式为,y,=,x,-3.,MN,BC,设直线,MN,的解析式为,y,=,x,+,n,2,把,M,代入,得,+,n,2,=0,n,2,=-,.,直线,MN,的解析式为,y,=,x,-,.,存在点,M,使得,AMN,=,ACM,此时直线,MN,的解析式为,y,=,x,-,.,(12,分,),思路分析,(1),利用待定系数法求出抛物线的解析式,用公式法求得顶点,D,的坐标,;,(2),先利用勾股定理的逆定理判断,BCD,为直角三角形,再分别求出,S,1,S,2,S,3,的值,进而得出结论,;,(3),设点,M,的坐标为,(,m,0),用,m,表示出,MA,的长,根据,MN,BC,得到,=,求出,AN,易证得,AMN,ACM,得到比例式可求出,m,进而得到点,M,的坐标,求出直线,BC,的解析式,根据,MN,BC,设直线,MN,的解析式,求解即可,.,考点二抛物线与特殊三角形、特殊四边形,1.,(2018,重庆,26,12,分,),如图,在平面直角坐标系中,点,A,在抛物线,y,=-,x,2,+4,x,上,且横坐标为,1,点,B,与,点,A,关于抛物线的对称轴对称,直线,AB,与,y,轴交于点,C,点,D,为抛物线的顶点,点,E,的坐标为,(1,1).,(1),求线段,AB,的长,;,(2),点,P,为线段,AB,上方抛物线上的任意一点,过点,P,作,AB,的垂线交,AB,于点,H,点,F,为,y,轴上一点,当,PBE,的面积最大时,求,PH,+,HF,+,FO,的最小值,;,(3),在,(2),中,PH,+,HF,+,FO,取得最小值时,将,CFH,绕点,C,顺时针旋转,60,后得到,CF,H,过点,F,作,CF,的垂线与直线,AB,交于点,Q,点,R,为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在,点,S,使以点,D,Q,R,S,为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点,S,的坐标,若不存在,请说明理由,.,备用图,解析,(1),易知抛物线的对称轴为,x,=-,=2.,由,x,A,=1,得,y,A,=3,点,A,的坐标为,(1,3).,由抛物线的对称性可得,点,B,的坐标为,(3,3).,线段,AB,的长为,2.,(3,分,),(2),过点,E,作,EN,PH,交,PH,的延长线于点,N,PN,交,BE,于点,M,如图,1,所示,.,图,1,点,E,(1,1),点,B,(3,3),直线,BE,的解析式为,y,=,x,.,设点,P,的坐标为,(,t,-,t,2,+4,t,)(1,t,0,m,1),图象上一点,点,A,的横坐标为,m,点,B,(0,-,m,),是,y,轴负半轴上的一点,连接,AB,AC,AB,交,y,轴于,点,C,延长,CA,到点,D,使得,AD,=,AC,.,过点,A,作,AE,平行于,x,轴,过点,D,作,y,轴的平行线交,AE,于点,E,.,(1),当,m,=3,时,求点,A,的坐标,;,(2),DE,=,;,设点,D,的坐标为,(,x,y,),求,y,关于,x,的函数关系式和自变量的取值范围,;,(3),连接,BD,过点,A,作,BD,的平行线,与,(2),中的函数图象交于点,F,当,m,为何值时,以,A,B,D,F,为顶点,的四边形是平行四边形,?,解析,(1),点,A,在反比例函数,y,=,(,x,0,m,1),的图象上,且点,A,的横坐标为,m,点,A,的坐标为,(,m,m,2,-,m,).,当,m,=3,时,A,(3,6).,(2)1;,由,(1),知,A,(,m,m,2,-,m,),已知,B,(0,-,m,),延长,EA,交,y,轴于点,N,如图,.,AE,x,轴,DE,y,轴,DEA,=,CNA,=90,.,又,CAN,=,DAE,AD,=,AC,CAN,DAE,AN,=,AE,E,(2,m,m,2,-,m,).,DE,=1,点,D,的坐标为,(2,m,m,2,-,m,-1).,又,D,(,x,y,),x,=2,m,y,=,m,2,-,m,-1,即,m,=,把,m,=,代入,y,=,m,2,-,m,-1,得,y,=,x,2,-,x,-1.,m,1,x,=2,m,x,2,所求函数关系式为,y,=,x,2,-,x,-1(,x,2).,(3),x,2,直线,AF,与二次函数,y,=,x,2,-,x,-1(,x,2),只有一个交点,如图所示,连接,DF,直线,AF,交,y,轴于点,M,过点,F,作,FQ,y,轴,交,AE,的延长线于点,Q,过点,D,作,DH,x,轴,交,y,轴于点,H,则,FQA,=,BHD,=90,.,当四边形,ABDF,是平行四边形时,AF,=,DB,FQ,y,轴,HMF,=,AFQ,.,AF,BD,HMF,=,HBD,AFQ,=,DBH,Rt,FQA,Rt,BHD,AQ,=,DH,=2,m,FQ,=,BH,点,F,的横坐标为,3,m,纵坐标为,m,2,-,m,-1,FQ,=,m,2,-,m,-1-(,m,2,-,m,)=,m,2,-,m,-1.,D,(2,m,m,2,-,m,-1),B,(0,-,m,),BH,=,m,2,-,m,-1-(-,m,)=,m,2,-1,m,2,-,m,-1=,m,2,-1,解得,m,=2,或,m,=0(,舍去,),当,m,=2,时,以,A,B,D,F,为顶点的四边形是平行四边形,.,方法指导,在第,(3),问中,利用平行四边形的性质证明,Rt,FQA,Rt,BHD,得到,FQ,=,BH,用含,m,的代数式表示线段,FQ,和,BH,的长度,列方程求出,m,的值,.,3.,(2017,新疆乌鲁木齐,24,12,分,),如图,抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),与直线,y,=,x,+1,相交于,A,(-1,0),B,(4,m,),两点,且抛物线经过点,C,(5,0).,(1),求抛物线的解析式,;,(2),点,P,是抛物线上的一个动点,(,不与点,A,点,B,重合,),过点,P,作直线,PD,x,轴于点,D,交直线,AB,于点,E,.,当,PE,=2,ED,时,求,P,点坐标,;,是否存在点,P,使,BEC,为等腰三角形,?,若存在,请直接写出点,P,的坐标,;,若不存在,请说明理由,.,解析,(1),解法一,:,把,B,点坐标代入,y,=,x,+1,得,m,=5,B,(4,5).,把,A,B,C,三点坐标代入,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),得,解得,抛物线的解析式为,y,=-,x,2,+4,x,+5.,(4,分,),解法二,:,把,B,点坐标代入,y,=,x,+1,得,m,=5,B,(4,5).,抛物线的解析式可以为,y,=,a,(,x,+1)(,x,-5),把,B,点坐标代入得,a,(4+1)(4-5)=5,a,=-1,抛物线的解析式为,y,=-(,x,+1)(,x,-5),即,y,=-,x,2,+4,x,+5.,(4,分,),(2),设,P,(,x,-,x,2,+4,x,+5),E,(,x,x,+1),D,(,x,0).,若,P,点在,AB,上方,则,PE,=-,x,2,+4,x,+5-,x,-1,ED,=,x,+1,PE,=2,ED,-,x,2,+4,x,+5-,x,-1=2(,x,+1),解得,x,1,=2,x,2,=-1,P,(2,9),或,P,(-1,0),P,(-1,0),与,A,点重合,舍去,此时,P,(2,9);,(6,分,),若,P,在,A,左侧,则,PE,=,x,+1+,x,2,-4,x,-5,ED,=-,x,-1,PE,=2,ED,x,+1+,x,2,-4,x,-5=2(-,x,-1),解得,x,1,=2,x,2,=-1,这种情况不存在,应舍去,;,若,P,在,B,右侧,则,PE,=,x,+1+,x,2,-4,x,-5,ED,=,x,+1,PE,=2,ED,x,+1+,x,2,-4,x,-5=2(,x,+1),解得,x,1,=6,x,2,=-1(,舍去,),此时,P,(6,-7).,P,(2,9),或,P,(6,-7).,(8,分,),存在,.,P,1,P,2,(4+,-4,-8),P,3,(4-,4,-8),P,4,(0,5).,(12,分,),详解,:,连接,BC,EC,设点,P,(,x,-,x,2,+4,x,+5),E,(,x,x,+1),BE,2,=(4-,x,),2,+(5-,x,-1),2,=2(,x,-4),2,=2,x,2,-16,x,+32,BC,2,=(4-5),2,+(5-0),2,=26,EC,2,=(,x,-5),2,+(,x,+1-0),2,=(,x,-5),2,+(,x,+1),2,=2,x,2,-8,x,+26.,当,BE,=,BC,时,BE,2,=,BC,2,即,2,x,2,-16,x,+32=26,解得,x,1,=4+,x,2,=4-,当,x,=4+,时,-,x,2,+4,x,+5=-4,-8,当,x,=4-,时,-,x,2,+4,x,+5=4,-8,P,(4+,-4,-8),或,P,(4-,4,-8).,当,BE,=,EC,时,BE,2,=,EC,2,即,2,x,2,-16,x,+32=2,x,2,-8,x,+26,解得,x,=,当,x,=,时,-,x,2,+4,x,+5=,P,.,当,BC,=,EC,时,BC,2,=,EC,2,即,26=2,x,2,-8,x,+26,解得,x,1,=0,x,2,=4,当,x,=0,时,-,x,2,+4,x,+5=5,P,(0,5);,当,x,=4,时,-,x,2,+4,x,+5=5,P,(4,5),这时,点,P,、,E,、,B,重合,不符合题意,舍去,.,综上所述,P,1,P,2,(4+,-4,-8),P,3,(4-,4,-8),P,4,(0,5).,4.(,2017,重庆,A,卷,26,12,分,),如图,在平面直角坐标系中,抛物线,y,=,x,2,-,x,-,与,x,轴交于,A,、,B,两点,(,点,A,在点,B,的左侧,),与,y,轴交于点,C,对称轴与,x,轴交于点,D,点,E,(4,n,),在抛物线上,.,(1),求直线,AE,的解析式,;,(2),如图,点,P,为直线,CE,下方抛物线上的一点,连接,PC,PE,.,当,PCE,的面积最大时,连接,CD,CB,点,K,是线段,CB,的中点,点,M,是,CP,上的一点,点,N,是,CD,上的一点,求,KM,+,MN,+,NK,的最小值,;,(3),点,G,是线段,CE,的中点,将抛物线,y,=,x,2,-,x,-,沿,x,轴正方向平移得到新抛物线,y,y,经过点,D,y,的顶点为点,F,.,在新抛物线,y,的对称轴上,是否存在点,Q,使得,FGQ,为等腰三角形,?,若存在,直接写出点,Q,的坐标,;,若不存在,请说明理由,.,图,图,解析,(1),当,y,=0,时,x,2,-,x,-,=0,解这个方程,得,x,1,=-1,x,2,=3,A,(-1,0),B,(3,0),当,x,=4,时,n,=,4,2,-,4-,=,E,(2,分,),设直线,AE,的方程为,y,=,ax,+,b,(,a,0),把点,A,(-1,0),E,代入得,解得,a,=,b,=,.,直线,AE,的解析式为,y,=,x,+,.,(3,分,),(2),在抛物线方程中,令,x,=0,得,y,=-,点,C,(0,-,).,点,E,直线,CE,的解析式为,y,=,x,-,.,过点,P,作,PH,y,轴,交,CE,于点,H,如图,1.,图,1,设点,P,的坐标为,则,H,PH,=,t,-,-,=-,t,2,+,t,S,PCE,=,|,x,E,-,x,C,|,PH,=,4,=-,t,2,+,t,.,-,0,抛物线的开口向下,0,t,4,当,t,=-,=2,时,S,PCE,取得最大值,.,此时,点,P,的坐标为,(2,-,).,(5,分,),点,C,(0,-,),B,(3,0),K,的坐标为,.,y,C,=,y,P,=-,PC,x,轴,作,K,关于,CP,的对称点,K,1,则,K,1,.,tan,OCB,=,=,OCB,=60,.,D,(1,0),tan,OCD,=,=,OCD,=30,OCD,=,DCB,=30,CD,平分,OCB,点,K,关于,CD,的对称点,K,2,在,y,轴上,.,又,CK,=,OC,=,点,K,2,与点,O,重合,.,连接,OK,1,交,CD,于点,N,交,CP,于点,M,连接,KN,KM,如图,2,KM,=,K,1,M,KN,=,ON,.,图,2,根据“两点之间,线段最短”可得,此时,KM,+,MN,+,NK,的值最小,K,1,K,2,=,OK,1,=,=3,KM,+,MN,+,NK,的最小值为,3.,(8,分,),(3),存在,.,点,Q,的坐标为,(3,2,),或,.,(12,分,),5,.(2017,陕西,24,10,分,),在同一直角坐标系中,抛物线,C,1,:,y,=,ax,2,-2,x,-3,与抛物线,C,2,:,y,=,x,2,+,mx,+,n,关于,y,轴,对称,C,2,与,x,轴交于,A,、,B,两点,其中点,A,在点,B,的左侧,.,(1),求抛物线,C,1,C,2,的函数表达式,;,(2),求,A,、,B,两点的坐标,;,(3),在抛物线,C,1,上是否存在一点,P,在抛物线,C,2,上是否存在一点,Q,使得以,AB,为边,且,以,A,、,B,、,P,、,Q,四点为顶点的四边形是平行四边形,?,若存在,求出,P,、,Q,两点的坐标,;,若不存在,请说明理由,.,解析,(1),C,1,与,C,2,关于,y,轴对称,C,1,与,C,2,的交点一定在,y,轴上,且,C,1,与,C,2,的形状、大小均相同,a,=1,n,=-3.,(2,分,),C,1,的对称轴为直线,x,=1.,C,2,的对称轴为直线,x,=-1.,m,=2.,(3,分,),C,1,:,y,=,x,2,-2,x,-3,C,2,:,y,=,x,2,+2,x,-3.,(4,分,),(2),令,C,2,中,y,=0,则,x,2,+2,x,-3=0.,解之,得,x,1,=-3,x,2,=1.,A,(-3,0),B,(1,0).,(6,分,),(3),存在,.,设,P,(,a,b,),则,Q,(,a,+4,b,),或,(,a,-4,b,).,(7,分,),当,Q,(,a,+4,b,),时,得,:,a,2,-2,a,-3=(,a,+4),2,+2(,a,+4)-3.,解之,得,a,=-2.,b,=,a,2,-2,a,-3=4+4-3=5.,P,1,(-2,5),Q,1,(2,5).,(9,分,),当,Q,(,a,-4,b,),时,得,:,a,2,-2,a,-3=(,a,-4),2,+2(,a,-4)-3.,解之,得,a,=2.,b,=4-4-3=-3.,P,2,(2,-3),Q,2,(-2,-3).,综上所述,所求点的坐标为,P,1,(-2,5),Q,1,(2,5);,P,2,(2,-3),Q,2,(-2,-3).,(10,分,),解后反思,(1),以形定数,抛物线与,x,轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的两实数根,;,以数,定形,求出方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0),的两实数根,便得到抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+,c,与,x,轴交点的横坐标,.,特,别地,一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=,m,的解即为二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,当,y,=,m,时的点的横坐标,.,(2),对于存在性问题的探究,一般是假设存在,按照存在的条件,结合题中的条件,得出结论,若得,到的结论与题中的条件矛盾,则不存在,存在性问题一般要分情况讨论,.,思路分析,(1),由于抛物线,C,1,、,C,2,关于,y,轴对称,因此两条抛物线的交点在,y,轴上,且,C,1,C,2,的形,状、大小均相同,可得,a,n,的值,由,C,1,C,2,的对称轴关于,y,轴对称可得,m,的值,;(2),求抛物线与,x,轴的,交点坐标,令函数值,y,等于,0,得到关于,x,的一元二次方程,求解即可,.(3),以,AB,为边,且,以,A,、,B,、,P,、,Q,四点为顶点的四边形为平行四边形,则,AB,与,PQ,平行且相等,所以,P,、,Q,两点的,纵坐标相等,PQ,=,AB,=4.,由于点,P,与点,Q,的位置不确定,故要分类讨论,.,考点三抛物线与全等三角形、相似三角形,1.,(2018,湖北武汉,24,12,分,),抛物线,L,:,y,=-,x,2,+,bx,+,c,经过点,A,(0,1),与它的对称轴直线,x,=1,交于点,B,.,(1),直接写出抛物线,L,的解析式,;,(2),如图,1,过定点的直线,y,=,kx,-,k,+4(,k,0),个单位长度得到抛物线,L,1,抛物线,L,1,与,y,轴交于点,C,过点,C,作,y,轴的垂线交抛物线,L,1,于另一点,D,.,F,为抛物线,L,1,的对称轴与,x,轴的交点,P,为线段,OC,上一点,.,若,PCD,与,POF,相似,并且符合条件的点,P,恰有,2,个,求,m,的值及相应点,P,的坐标,.,解析,(1),y,=-,x,2,+2,x,+1.,详解,:,由题意知,解得,b,=2,c,=1,抛物线,L,的解析式为,y,=-,x,2,+2,x,+1,(2),解法一,:,直线,y,=,kx,-,k,+4,经过定点,G,(1,4),易知,B,点坐标为,(1,2),BG,=2.,S,BMN,=1,S,BMN,=,S,GBN,-,S,GBM,=,BG,(,x,N,-,x,M,)=,x,N,-,x,M,.,x,N,-,x,M,=1.,由,得,x,2,+(,k,-2),x,-,k,+3=0,x,N,=,x,M,=,.,x,N,-,x,M,=,=1,k,=,3,k,0,k,=-3.,解法二,:,过点,B,作,BR,MN,交,x,轴于点,R,连接,MR,NR,.,设,MN,交,x,轴于点,Q,则,Q,.,直线,BR,的解析式为,y,=,kx,-,k,+2,则,R,的坐标为,.,S,BMN,=,S,RMN,=,RQ,(,y,M,-,y,N,)=1.,k,(,x,M,-,x,N,)=1,即,x,N,-,x,M,=1.(,以下同解法一,),(3),依题意得,抛物线,L,1,的解析式为,y,=-,x,2,+2,x,+1+,m,.,C,(0,1+,m,),D,(2,1+,m,),F,(1,0).,设,P,(0,t,),当,PCD,FOP,时,=,=,t,2,-(1+,m,),t,+2=0;,当,PCD,POF,时,=,=,t,=,(,m,+1).,(i),当方程有两个相等的实数根时,=(1+,m,),2,-8=0,m,=2,-1(,舍负,),方程有两个相等的实数根,t,1,=,t,2,=,此时,方程有一个实数根,t,=,.,m,=2,-1,此时,点,P,的坐标是,(0,),和,.,(ii),当方程有两个不相等的实数根时,把代入得,(,m,+1),2,-,(,m,+1),2,+2=0,解得,m,=2(,舍负,),此时,方程有两个不相等的实数根,t,1,=1,t,2,=2,方程有一个实数根,t,=1,m,=2,此时,点,P,的坐标是,(0,1),和,(0,2).,综上,当,m,=2,-1,时,点,P,的坐标是,(0,),和,;,当,m,=2,时,点,P,的坐标是,(0,1),和,(0,2).,2,.(2016,广西南宁,26,10,分,),如图,已知抛物线经过原点,O,顶点为,A,(1,1),且与直线,y,=,x,-2,交于,B,C,两,点,.,(1),求抛物线的解析式及点,C,的坐标,;,(2),求证,:,ABC,是直角三角形,;,(3),若点,N,为,x,轴上的一个动点,过点,N,作,MN,x,轴,与抛物线交于点,M,则是否存在以,O,M,N,为顶,点的三角形与,ABC,相似,?,若存在,请求出点,N,的坐标,;,若不存在,请说明理由,.,解析,(1),设抛物线的解析式为,y,=,a,(,x,-1),2,+1(,a,0).,(1,分,),把,(0,0),代入上式,得,0=,a,(0-1),2,+1,a,=-1,抛物线的解析式为,y,=-(,x,-1),2,+1,即,y,=-,x,2,+2,x,.,(2,分,),联立得方程组,解得,或,点,C,的坐标为,(-1,-3).,(3,分,),(2),证法一,:,过点,C,作,CF,垂直,x,轴于点,F,过点,A,作,AE,垂直,x,轴于点,E,已知点,A,(1,1),B,(2,0),C,(-1,-3),FC,=,FB,=3,AE,=,BE,=1,CBF,和,ABE,是等腰直角三角形,CBF,=,ABE,=45,.,ABC,=,CBF,+,ABE,=90,.,ABC,是直角三角形,.,(5,分,),证法二,:,已知点,A,(1,1),B,(2,0),C,(-1,-3).,根据勾股定理得,:,AB,=,=,BC,=,=3,AC,=,=2,.,在,ABC,中,AB,2,+,BC,2,=(,),2,+(3,),2,=20,AC,2,=(2,),2,=20,AB,2,+,BC,2,=,AC,2,.,根据勾股定理的逆定理得,:,ABC,是直角三角形,.,(5,分,),(3),解法一,:,存在,.,如图,过点,N,作,MN,x,轴于点,N,与抛物线交于点,M,ABC,=,MNO,=90,.,当,=,时,ABC,MNO,或当,=,时,ABC,ONM,.,AB,=,BC,=3,=,的值等于,或,3.,(6,分,),设点,N,的坐标为,(,a,0),则点,M,的坐标为,(,a,-,a,2,+2,a,),分三种情况讨论,:,当点,M,在第一象限时,ON,=,a,MN,=-,a,2,+2,a,当,=,时,解得,a,1,=0(,舍去,),a,2,=-1(,舍去,),当,=3,时,解得,a,3,=0(,舍去,),a,4,=,N,1,;,当点,M,在第三象限时,ON,=-,a,MN,=,a,2,-2,a,当,=,时,解得,a,5,=0(,舍去,),a,6,=-1,N,2,(-1,0),当,=3,时,解得,a,7,=0(,舍去,),a,8,=,(,舍去,);,当点,M,在第四象限时,ON,=,a,MN,=,a,2,-2,a,当,=,时,