江苏专用高考数学一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的平行与垂直及平面向量的应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),5.3平面向量的平行与垂直及平面向量的应用,(2013江苏,15,14分,0.757)已知向量,a,=(cos,sin,),b,=(cos,sin,),0,.,(1)若|,a,-,b,|=,求证:,a,b,;,(2)设,c,=(0,1),若,a,+,b,=,c,求,的值.,A,组 自主命题,江苏卷题组,五年高考,解析,(1)证明:由题意得|,a,-,b,|,2,=2,即(,a,-,b,),2,=,a,2,-2,a,b,+,b,2,=2.,又因为,a,2,=,b,2,=|,a,|,2,=|,b,|,2,=1,所以2-2,a,b,=2,即,a,b,=0,故,a,b,.,(2)因为,a,+,b,=(cos,+cos,sin,+sin,)=(0,1),所以,由此得,cos,=cos(-,),由0,得0-,又0,所以,=,=,.,考点一平面向量的平行与垂直,1.,(2017课标全国文,13,5分)已知向量,a,=(-1,2),b,=(,m,1).若向量,a,+,b,与,a,垂直,则,m,=,.,B组,统一命题,省(区、市)卷题组,答案,7,解析,本题考查向量数量积的坐标运算.,a,=(-1,2),b,=(,m,1),a,+,b,=(,m,-1,3),又(,a,+,b,),a,(,a,+,b,),a,=-(,m,-1)+6=0,解得,m,=7.,2.,(2017山东文,11,5分)已知向量,a,=(2,6),b,=(-1,).若,a,b,则,=,.,答案,-3,解析,本题考查向量平行的条件.,a,=(2,6),b,=(-1,),a,b,2,-6,(-1)=0,=-3.,3.,(2016课标全国,13,5分)已知向量,a,=(,m,4),b,=(3,-2),且,a,b,则,m,=,.,答案,-6,解析,因为,a,b,所以,=,解得,m,=-6.,易错警示,容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.,4.,(2016课标全国,13,5分)设向量,a,=(,x,x,+1),b,=(1,2),且,a,b,则,x,=,.,答案,-,解析,因为,a,b,所以,x,+2(,x,+1)=0,解得,x,=-,.,易错警示,混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的主要原因.,5.,(2016山东,13,5分)已知向量,a,=(1,-1),b,=(6,-4).若,a,(t,a,+,b,),则实数,t,的值为,.,答案,-5,解析,因为,a,(,ta,+,b,),所以,a,(,ta,+,b,)=0,即,ta,2,+,a,b,=0,又因为,a,=(1,-1),b,=(6,-4),所以|,a,|=,a,b,=1,6+,(-1),(-4)=10,因此可得2,t,+10=0,解得,t,=-5.,评析,本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识,考查,学生的运算求解能力以及方程思想的应用.,考点二平面向量的综合应用,1.,(2017山东理,12,5分)已知,e,1,e,2,是互相垂直的单位向量.若,e,1,-,e,2,与,e,1,+,e,2,的夹角为60,则实数,的值是,.,答案,解析,本题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式.,由题意不妨设,e,1,=(1,0),e,2,=(0,1),则,e,1,-,e,2,=(,-1),e,1,+,e,2,=(1,).根据向量的夹角公式得cos 60,=,=,=,所以,-,=,解得,=,.,2.,(2017浙江,15,5分)已知向量,a,b,满足|,a,|=1,|,b,|=2,则|,a,+,b,|+|,a,-,b,|的最小值是,最大值是,.,答案,4;2,疑难突破,根据“,e,1,e,2,是互相垂直的单位向量”将原问题转化为向量的坐标运算是解决本题,的突破口.,易错警示,对向量的夹角公式掌握不牢而致错.,解析,本题考查向量的线性运算、坐标运算,向量的几何意义,向量绝对值不等式,利用基本不,等式求最值,利用三角代换求最值,考查逻辑推理能力和运算求解能力.,解法一:|,a,+,b,|+|,a,-,b,|,|(,a,+,b,)+(,a,-,b,)|=2|,a,|=2,且|,a,+,b,|+|,a,-,b,|,|(,a,+,b,)-(,a,-,b,)|=2|,b,|=4,|,a,+,b,|+|,a,-,b,|,4,当且仅当,a,+,b,与,a,-,b,反向时取等号,此时|,a,+,b,|+|,a,-,b,|取最小值4.,=,=,|,a,+,b,|+|,a,-,b,|,2,.,当且仅当|,a,+,b,|=|,a,-,b,|时取等号,此时,a,b,=0.,故当,a,b,时,|,a,+,b,|+|,a,-,b,|有最大值2,.,解法二:设,x,=|,a,+,b,|,由|,a,|-|,b,|,|,a,+,b,|,|,a,|+|,b,|,得1,x,3.,设,y,=|,a,-,b,|,同理,1,y,3.,而,x,2,+,y,2,=2,a,2,+2,b,2,=10,故可设,x,=,cos,cos,y,=,sin,sin,.,设,1,2,为锐角,且sin,1,=,sin,2,=,则有,1,2,又0,1,2,则,x,+,y,=,(cos,+sin,)=2,sin,1,+,+,2,+,而,1,+,2,+,0),C,(0,t,),P,(1,4),=,(-1,t,-4)=17-,17-2,2=13,故,的最大值为13.,4.,(2014陕西,18,12分)在直角坐标系,xOy,中,已知点,A,(1,1),B,(2,3),C,(3,2),点,P,(,x,y,)在,ABC,三边围成,的区域(含边界)上.,(1)若,+,+=0,求|;,(2)设=,m,+,n,(,m,n,R),用,x,y,表示,m,-,n,并求,m,-,n,的最大值.,解析,(1)解法一:,+,+=0,且,+,+=(1-,x,1-,y,)+(2-,x,3-,y,)+(3-,x,2-,y,)=(6-3,x,6-3,y,),解得,x,=2,y,=2,即=(2,2),故|=2,.,解法二:,+,+=0,即(-)+(-)+(-)=0,=,(,+,+,)=(2,2),|=2,.,(2)=,m,+,n,(,x,y,)=(,m,+2,n,2,m,+,n,),两式相减得,m,-,n,=,y,-,x,令,y,-,x,=,t,由图知,当直线,y,=,x,+,t,过点,B,(2,3)时,t,取得最大值1,故,m,-,n,的最大值为1.,1.,(2014湖北,11,5分)设向量,a,=(3,3),b,=(1,-1).若(,a,+,b,)(,a,-,b,),则实数,=,.,C,组 教师专用题组,答案,3,解析,|,a,|=3,|,b,|=,a,b,=3,1+3,(-1)=0.因为(,a,+,b,)(,a,-,b,),所以(,a,+,b,)(,a,-,b,)=|,a,|,2,-,2,|,b,|,2,=18-2,2,=0.故,=,3.,2.,(2013福建理改编,7,5分)在四边形,ABCD,中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为,.,答案,5,解析,=(1,2)(-4,2)=0,故,.故四边形,ABCD,的对角线互相垂直,面积,S,=,|,|,|=,2,=5.,评析,本题考查向量的坐标运算和数量积的应用,考查学生的运算求解及观察能力,观察出,与,互相垂直是解决本题的关键.,一、填空题(每题5分,共20分),1.,(2017无锡高三上学期期末,7)已知向量,a,=(2,1),b,=(1,-1),若,a,-,b,与,ma,+,b,垂直,则,m,的值为,.,三年模拟,A组 2015,2017年高考模拟,基础题组,(时间：25分钟 分值：45分),答案,解析,由,a,=(2,1),b,=(1,-1),得,a,-,b,=(1,2),ma,+,b,=(2,m,+1,m,-1),因为,a,-,b,与,ma,+,b,垂直,所以2,m,+1+2(,m,-1)=0,解得,m,=,.,2.,(2017南京高三学情调研,6)设向量,a,=(1,-4),b,=(-1,x,),c,=,a,+3,b,若,a,c,则实数,x,的值是,.,答案,4,解析,a,=(1,-4),b,=(-1,x,),c,=,a,+3,b,=(-2,-4+3,x,),又,a,c,8=-4+3,x,x,=4.,3.,(2016江苏苏州一模,8)已知向量,a,=(1,2),b,=(,x,-2),且,a,(a-b),则实数,x,=,.,答案,9,解析,由题意得,a,(,a,-,b,)=,a,2,-,a,b,=5-(,x,-4)=9-,x,=0,x,=9.,4.,(2015南京一模,11)设向量,a,=(sin 2,cos,),b,=(cos,1),则“,a,b,”是“tan,=,”的,条,件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).,答案,必要不充分,解析,由,a,b,得sin 2,-cos,2,=0,即cos,=0或2sin,=cos,充分性不成立.由tan,=,=,得2sin,=cos,sin 2,-cos,2,=0,a,b,必要性成立.,二、解答题(共25分),5.,(2017南京高三第三次模拟考试,16)已知向量,a,=(2cos,sin,2,),b,=(2sin,t,),.,(1)若,a,-,b,=,求,t,的值;,(2)若,t,=1,且,a,b,=1,求tan,的值.,解析,(1)因为向量,a,=(2cos,sin,2,),b,=(2sin,t,),且,a,-,b,=,所以cos,-sin,=,t,=sin,2,.,由cos,-sin,=,得(cos,-sin,),2,=,即1-2sin,cos,=,从而2sin,cos,=,.,所以(cos,+sin,),2,=1+2sin,cos,=,.,因为,所以cos,+sin,=,.,所以sin,=,=,从而,t,=sin,2,=,.,(2)因为,t,=1,且,a,b,=1,所以4sin,cos,+sin,2,=1,即4sin,cos,=cos,2,.,因为,所以cos,0,从而tan,=,.,所以tan 2,=,=,.,所以tan,=,=,=,.,6.,(2016江苏扬州中学月考,15)已知|,a,|=3,|,b,|=2,a,与,b,的夹角为120,.,(1)当,k,为何值时,ka,-,b,与,a,-,kb,垂直?,(2)当,k,为何值时,|,ka,-2,b,|取得最小值?并求出最小值.,解析,(1),ka,-,b,与,a,-,kb,垂直,(,ka,-,b,)(,a,-,kb,)=0.,ka,2,-,k,2,a,b,-,b,a,+,kb,2,=0.,9,k,-(,k,2,+1),3,2cos 120,+4,k,=0.,3,k,2,+13,k,+3=0.,k,=,.,(2)|,ka,-2,b,|,2,=,k,2,a,2,-4,ka,b,+4,b,2,=9,k,2,-4,k,3,2cos 120,+4,4=9,k,2,+12,k,+16=(3,k,+2),2,+12,当,k,=-,时,|,ka,-2,b,|取得最小值,最小值是2,.,一、填空题(每题5分,共25分),1.,(2017江苏六校联考,12)在,ABC,中,已知,AB,=8,AC,=6,点,O,为三角形的外心,则=,.,B,组 2015,2017年高考模拟,综合题组,(时间：40分钟 分值：75分),答案,-14,解析,由点,O,为三角形的外心,可设,AB,AC,的中点分别为,M,N,则,MO,AB,ON,AC,从而(-,),=0,即,=0,所以,=,=32,同理(-)=0,即,=0,所以,=,=18,所以=(-,)=-,=-14.,思路分析,点,O,为三角形的外心,联想外心定义涉及边的中垂线,所以可设,AB,AC,的中点分别为,M,N,利用,OM,AB,ON,AC,转化求解.,2.,(2017江苏泰州中学第一学期第二次质量检测,9)设平面向量,a,=(,x,4),b,=(,y,-2),c,=(2,1)(其中,x,0,y,0),若(,a,-,c,)(,b,-,c,),则|,a,+,b,|的最小值为,.,答案,2,解析,由,a,=(,x,4),b,=(,y,-2),c,=(2,1)(其中,x,0,y,0)及(,a,-,c,)(,b,-,c,),可得(,x,-2)(,y,-2)-9=0,即,xy,-2(,x,+,y,)-5=,0,因为,x,0,y,0,所以,2(,x,+,y,)+5,从而,x,+,y,10(当且仅当,x,=,y,时等号成立),又,a,+,b,=(,x,+,y,2),x,0,y,0,所以|,a,+,b,|=,2,故|,a,+,b,|的最小值为2,.,3.,(2017江苏泰州中学第二次质量检测,11)已知,ABC,中,BC,=2,G,为,ABC,的重心,且满足,AG,BG,则,ABC,的面积的最大值为,.,答案,解析,以为,x,轴的正半轴,BC,的中点为坐标原点建立直角坐标系,则,B,(-1,0),C,(1,0),设,A,(,x,y,),由,G,为,ABC,的重心,得,G,所以,=,=,由,AG,BG,得,=,=0,所以,x,2,+3,x,+,y,2,=0,即,+,y,2,=,所以|,y,|,故,S,ABC,=,BC,h,=|,y,|,(,h,为,BC,边上的高),所以,ABC,的面积的最大值为,.,4.,(2016江苏南京、盐城二模,11)在,ABC,中,BAC,=120,AB,=4.若点,D,在边,BC,上,且,=2,AD,=,则,AC,的长为,.,答案,3,解析,由,=2,得,-,=2(,-,),=,+,又,AD,=,所以,=,即,+4,+4=28,因为,ABC,中,BAC,=120,AB,=4,所以16-8|,|+4|,|,2,=28,从而|,|=3(|=-1舍去).,5.,(2016江苏苏北四市调研,11)已知|=|=,且=1,若点,C,满足|+|=1,则|的,取值范围是,.,答案,-1,+1,解析,因为,=|,|,|,|,cos=1,|,|=|,|=,所以cos=,所以=,以,O,为坐标原点,OA,所在直线为,x,轴,建立平面直角坐标系,则,O,(0,0),A,(,0),B,.,令,=,+,=,则|,|=,因为|+|=|+-|=|-|=1,所以点,C,的运动轨迹是以点,P,为圆心,1为半径的圆,而|,|=,则|的取值范围为,-1,+1.,二、解答题(共50分),6.,(2017江苏镇江期末,15)已知向量,m,=(cos,-1),n,=(2,sin,),其中,且,m,n,.,(1)求cos 2,的值;,(2)若sin(,-,)=,且,求角,.,解析,(1)由题意得,m,n,=2cos,-sin,=0,2cos,=sin,sin,2,+cos,2,=5cos,2,=1,cos,2,=,cos 2,=2cos,2,-1=-,.,(2)cos,2,=,cos,=,sin,=,=,sin(,-,)=,且,sin,cos,-cos,sin,=,cos,-,sin,=,2cos,-sin,=,sin,=2cos,-,sin,2,+cos,2,=5cos,2,-2,cos,-,=0,解得cos,=,或cos,=-,(舍),=,.,思路分析,(1)由已知得,m,n,=2cos,-sin,=0,从而sin,2,+cos,2,=5cos,2,=1,得出cos,2,=,由此能求出,cos 2,.,(2)由cos,2,=,得cos,=,sin,=,=,由sin(,-,)=,且,得sin,=2cos,-,由此可求出,的值.,解后反思,本题是以向量的坐标形式及数量积运算为背景考查角的余弦值的求法,考查角的求,法,是中档题,解题时要认真审题,注意三角函数性质的合理运用.,7.,(2017苏锡常镇四市高三教学情况调研(二),15)已知向量,m,=(,cos,x,-1),n,=(sin,x,cos,2,x,).,(1)当,x,=,时,求,m,n,的值;,(2)若,x,且,m,n,=,-,求cos 2,x,的值.,解析,(1)当,x,=,时,m,=,n,=,所以,m,n,=,-,=,.,(2),m,n,=,cos,x,sin,x,-cos,2,x,=,sin 2,x,-,cos 2,x,-,=sin,-,若,m,n,=,-,则sin,-,=,-,即sin,=,因为,x,所以2,x,-,所以cos,=,则cos 2,x,=cos,=cos,cos,-sin,sin,=,-,=,.,思路分析,(1)利用向量数量积的坐标运算公式直接代入计算;(2)利用,m,n,=,-,求得2,x,-,的,正、余弦值,然后凑角求得cos 2,x,的值.,8.,(2016江苏如东高级中学期中,16)在,ABC,中,B,=,D,是边,BC,上一点,AD,=5,CD,=3,AC,=7.,(1)求,ADC,的值;,(2)求,的值.,解析,(1)在,ADC,中,由余弦定理得,AD,2,+,CD,2,-2,AD,CD,cos,ADC,=,AC,2,即5,2,+3,2,-2,5,3,cos,ADC,=7,2,所以cos,ADC,=-,.,又因为0,ADC,所以,ADC,=,.,(2)由(1)得,ADB,=,.,在,ABD,中,由正弦定理得,AB,=,sin,ADB,=,.,所以,=,5,cos,=,.,9.,(2015江苏苏锡常镇一模,15)已知向量,a,=,b,=(1,4cos,),(0,).,(1)若,a,b,求tan,的值;,(2)若,a,b,求,的值.,解析,(1)因为,a,b,所以sin,+12cos,=0,即,sin,+,cos,+12cos,=0,即,sin,+,cos,=0,又由题意得cos,0,所以tan,=-,.,(2)若,a,b,则4cos,sin,=3,即4cos,=3,所以,sin 2,+cos 2,=2.,所以sin,=1.,因为,(0,),所以2,+,所以2,+,=,即,=,.,