高中数学选修4-4——参数方程宣讲.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,曲线的参数方程,？,救援点,投放点,一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？,即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？,如图，建立平面直角坐标系。,因此,不易直接建立x,y所满足的关系式。,x表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度，,由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，,x,y,500,o,物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：,（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；,（2）沿oy反方向作自由落体运动。,在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？,t时刻，水平位移为x=100t，离地面高度y，即：,y=500-gt,2,/2，,物资落地时，应有y=0，,得x10.10m；,即500-gt,2,/2=0，解得，t10.10s，,因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。,参数方程的概念：,一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数,那么方程组就叫做这条曲线的,参数方程,，联系变数 x,y 的变数 t 叫做,参变数,，简称,参数,。,并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上，,参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。,例1:已知曲线C的参数方程是 （为参数）,(1)判断点M,1,(0，1)，M,2,(5，4)与曲线C的位置关系；,(2)已知点M,3,（6，a）在曲线C上，求a的值。,解：(1)把点M,1,的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所以M,1,在曲线上,把点M,2,的坐标(5,4)代入方程组，得到,这个方程无解，所以点M,2,不在曲线C上,(2)因为点M,3,(6,a)在曲线C上，所以,解得t=2,a=9 所以，a=9.,练习：一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m）,x=100t=1000,t=10,y=gt,2,/2=1010,2,/2=500m.,练习 1、曲线,与x轴的交点坐标是(),B,A(1，4)；B(25/16,0)C(1,-3)D(25/16,0),2、方程,所表示的曲线上一点的坐标是(),D,A(2，7)；B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1，0),3 已知曲线C的参数方程是 点M(5,4),该曲线上.,(1)求常数a;（2）求曲线C的普通方程,(1)由题意可知:1+2t=5，at,2,=4；a=1，t=2；,代入第二个方程得:y=(x-1),2,/4,4 动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹参数方程.,解：设动点M(x,y)运动时间为t，依题意，得,A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线,D,A,B,C,D,5下列在曲线,上的点是 (),B,（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.,参数方程求法:,（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为;,（2）选取适当的参数;,（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式;,圆的参数方程,y,x,o,r,M(x,y),圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，,怎样刻画运动中点的位置呢？,那么=t.设|OM|=r，那么由三角函数定义，有,如果在时刻,t,，点,M,转过的角度是，坐标是M(x,y)，,即,这就是圆心在原点O，半径为,r,的圆的参数方程,参数,t,有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻),考虑到=t，也可以取为参数，于是有,圆心为原点半径为,r,的圆的参数方程.,其中参数的几何意义是OM,0,绕点O逆时针旋转到,OM,的位置时，OM,0,转过的角度,圆心为 ，,半径为,r,的圆的参数方程,一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，,另外，要注明参数及参数的取值范围。,解：x,2,+y,2,+2x-6y+9=0化为标准方程,(x+1),2,+(y-3),2,=1,参数方程为,(为参数),例1 已知圆方程x,2,+y,2,+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。,练习：,例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。,y,o,x,P,M,Q,解：设点,M,的坐标是(x,y),则点,P,的坐标是(2cos,2sin,).,由中点坐标公式可得,因此，点,M,的轨迹的参数方程是,例3 已知,x,、,y,满足,求,的最大值和最小值,解：由已知圆的参数方程为,2 点P(x,y)是曲线,为参数)上任意一点，则,的最大值为(),A 1 B 2 C D,练习,1 P(x,y)是曲线,(为参数)上任意一点,则,的最大值为(),A,A36 B6 C26 D25,D,3 圆,的圆心的轨迹是(),A圆 B直线 C椭圆 D双曲线,A,(为参数)上任意一点,则,4 点P(x,y)是曲线,的最大值为,.,.,5 已知点P是圆 上一个动点,定点A(12,0)，,点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动,时，求点M的轨迹,解：设点,M,的坐标是(x,y),则点,P,的坐标是(4cos,4sin,).,2|PM|=|MA|,由题设,(x-12,y)=,因此，点,M,的轨迹的参数方程是,例4(1)点P(m,n)在圆x,2,+y,2,=1上运动,求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程;,(2)方程x,2,+y,2,-2(m+3)x+2(1-4m,2,)y+16m,4,+9=0.若该方程表示一个圆,求m的取值范围和圆心的轨迹方程.,已知P(x,y)圆C：x,2,+y,2,6x4y+12=0上的点。,(1)求 的最小值与最大值,(2)求xy的最大值与最小值,例5 最值问题,例6 参数法求轨迹,已知点A(2,0),P是x,2,+y,2,=1上任一点,的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹.,AQ:QP=2:1,例7 已知A（1，0）、B（1，0）,P为圆,上的一点,求 的最大值和最小值以及对应P点的坐标.,参数方程和普通方程的互化,把它化为我们熟悉的普通方程，有,cos=x-3,sin=y;,于是(x-3),2,+y,2,=1，,轨迹是什么就很清楚了,在例1中，由参数方程,直接判断点M的轨迹是什么并不方便，,一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.,把参数方程化为普通方程：,例1、,把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？,解:,(1),由,得,代入,得到,这是以（1，1）为端点的一条射线；,所以,把,得到,(1),(2),(3),x=t+1/t,y=t,2,+1/t,2,(1)(x-2),2,+y,2,=9,(2)y=1-2x,2,（-1x1）,(3)x,2,-y=2（x2,或,x-2）,练习、,将下列参数方程化为普通方程：,步骤：,（1）消参；（2）求定义域。,练习 将下列参数方程化为普通方程,(2),B,例2,求参数方程,表示（）,（A）双曲线的一支,这支过点（1,1/2）;,（B）抛物线的一部分,这部分过（1,1/2）;,（C）双曲线的一支,这支过点（1,1/2);,（D）抛物线的一部分,这部分过（1,1/2).,参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：,1.代入法：,利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数,2.三角法：,利用三角恒等式消去参数,3.整体消元法：,根据参数方程本身的结构特征,整体上消去,化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意,变量x、y取值范围的一致性,，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。,小 结,普通方程化为参数方程：,普通方程化为参数方程需要引入参数：,如：直线,l,的普通方程是 2x-y+2=0，可以化为参数方程:,一般地,如果知道变量x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的关系y=g(t)，那么:,就是曲线的参数方程。,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致,例3 求椭圆,的参数方程：,(1)设,为参数；,(2)设,为参数.,为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？,在y=x,2,中,，xR,y0，,因而与 y=x,2,不等价；,练习:,曲线y=x,2,的一种参数方程是（）.,在A、B、C中，x,y的范围都发生了变化，,而在D中，x,y范围与y=x,2,中x,y的范围相同，,代入y=x,2,后满足该方程，,从而D是曲线y=x,2,的一种参数方程.,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,解：,(1),，设,，t为参数；,(2),，设,，,为参数。,练习 把下列普通方程化为参数方程：,练习 把下列参数方程化为普通方程,(3),(t是参数),练习 P是双曲线 (t是参数)上任一点，F,1,F,2,是该焦点：求F,1,F,2,的重心G的轨迹的普通方程。,