江苏专用高考数学大一轮复习第十四章选考部分14.3坐标系与参数方程第一课时坐标系讲义理苏教版.ppt

,14.3,坐标系与参数方程,第,1,课时坐标系,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.,平面直角坐标系,设点,P,(,x,，,y,),是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,：,知识梳理,_,的作用下，点,P,(,x,，,y,),对应到点,P,(,x,，,y,),，称,为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换,.,2.,极坐标系,(1),极坐标与极坐标系的概念,在平面上取一个定点,O,，自点,O,引一条射线,Ox,，,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向,(,通常取逆,时针方向为正方向,),，这样就建立了一个极坐标系,.,点,O,称为极点，射线,Ox,称为极轴,.,平面内任一点,M,的位置可以由线段,OM,的长度,和从射线,Ox,到射线,OM,的角度,来刻画,(,如图所示,).,这两个数组成的有序数对,(,，,),称为点,M,的极坐标,.,称为点,M,的,，,称为点,M,的,.,由极径的意义可知,0.,当极角,的取值范围是,0,2),时，平面上的点,(,除去极点,),就与极坐标,(,，,)(,0),建立一一对应的关系,.,我们设定，极点的极坐标中，极径,0,，极角,可取任意角,.,极径,极角,(2),极坐标与直角坐标的互化,设,M,为平面内的一点，它的直角坐标为,(,x,，,y,),，,极坐标为,(,，,).,由图可知下面关系式成立：,_,或,_,.,这就是极坐标与直角坐标的互化公式,.,3.,常见曲线的极坐标方程,曲线,图形,极坐标方程,圆心在极点，半径为,r,的圆,_,圆心为,(,r,0),，半径为,r,的圆,圆心为,(,r,，,),，半径为,r,的圆,_,r,(0,2),2,r,cos,2,r,sin,(0,),_,_,过极点，倾斜角为,的直线,(,R,),或,(,R,),过点,(,a,0),，与极轴垂直的直线,_,_,过点,(,a,，,),，与极轴平行的直线,_,_,cos,a,sin,a,(0,),考点自测,1.,求在极坐标系中，过点,(2,，,),且与极轴平行的直线方程,.,解答,过点,(0,2),且与,x,轴平行的直线方程为,y,2.,即为,sin,2.,2.(2016,镇江模拟,),在极坐标系中，已知两点,A,、,B,的极坐标分别为,(3,，,),、,(4,，,),，求,AOB,(,其中,O,为极点,),的面积,.,解答,3.,在以,O,为极点的极坐标系中，圆,4sin,和直线,sin,a,相交于,A,，,B,两点,.,当,AOB,是等边三角形时，求,a,的值,.,解答,由,4sin,可得,x,2,y,2,4,y,，即,x,2,(,y,2),2,4.,由,sin,a,可得,y,a,.,设圆的圆心为,O,，,y,a,与,x,2,(,y,2),2,4,的两交点,A,，,B,与,O,构成等边三角形，如图所示,.,由对称性知,O,OB,30,，,OD,a,.,题型分类深度剖析,题型一极坐标与直角坐标的互化,例,1,(1),以直角坐标系的原点为极点，,x,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段,y,1,x,(0,x,1),的极坐标方程,.,解答,y,1,x,化成极坐标方程为,cos,sin,1,，,0,x,1,，,线段在第一象限内,(,含端点,),，,(2),在极坐标系中，曲线,C,1,和,C,2,的方程分别为,sin,2,cos,和,sin,1.,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为,x,轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线,C,1,和,C,2,交点的直角坐标,.,解答,因为,x,cos,，,y,sin,，由,sin,2,cos,，,得,2,sin,2,cos,，所以曲线,C,1,的直角坐标方程为,y,2,x,.,由,sin,1,，,故曲线,C,1,与曲线,C,2,交点的直角坐标为,(1,1).,(1),极坐标与直角坐标互化的前提条件：,极点与原点重合；,极轴与,x,轴的正半轴重合；,取相同的单位长度,.,(2),直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式,x,cos,及,y,sin,直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如,cos,，,sin,，,2,的形式，进行整体代换,.,思维升华,跟踪训练,1,(1),曲线,C,的直角坐标方程为,x,2,y,2,2,x,0,，以原点为极点，,x,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线,C,的极坐标方程,.,解答,将,x,2,y,2,2,，,x,cos,代入,x,2,y,2,2,x,0,，,得,2,2,cos,0,，,整理得,2cos,.,(2),求在极坐标系中，圆,2cos,垂直于极轴的两条切线方程,.,解答,由,2cos,，得,2,2,cos,，化为直角坐标方程为,x,2,y,2,2,x,0,，,即,(,x,1),2,y,2,1,，,其垂直于,x,轴的两条切线方程为,x,0,和,x,2,，,题型二求曲线的极坐标方程,例,2,(2016,南通二模,),将圆,x,2,y,2,1,上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的,2,倍，得曲线,C,.,(1),写出曲线,C,的方程；,解答,设,(,x,1,，,y,1,),为圆上的点，在已知变换下变为曲线,C,上的点,(,x,，,y,),，,(2),设直线,l,：,2,x,y,2,0,与,C,的交点为,P,1,，,P,2,，以坐标原点为极点，,x,轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段,P,1,P,2,的中点且与,l,垂直的直线的极坐标方程,.,解答,化为极坐标方程，并整理得,2,cos,4,sin,3,，,求曲线的极坐标方程的步骤,(1),建立适当的极坐标系，设,P,(,，,),是曲线上任意一点,.,(2),由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径,和极角,之间的关系式,.,(3),将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程,.,思维升华,解答,令,0,，得,1,，,所以圆,C,的圆心坐标为,(1,0).,于是圆,C,过极点，所以圆,C,的极坐标方程为,2cos,.,题型三极坐标方程的应用,例,3,(2015,课标全国,),在直角坐标系,xOy,中，直线,C,1,：,x,2,，圆,C,2,：,(,x,1),2,(,y,2),2,1,，以坐标原点为极点，,x,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,.,(1),求,C,1,，,C,2,的极坐标方程；,解答,因为,x,cos,，,y,sin,，,所以,C,1,的极坐标方程为,cos,2,，,C,2,的极坐标方程为,2,2,cos,4,sin,4,0.,(2),若直线,C,3,的极坐标方程为,(,R,),，设,C,2,与,C,3,的交点为,M,，,N,，求,C,2,MN,的面积,.,解答,由于,C,2,的半径为,1,，所以,C,2,MN,为等腰直角三角形，,(1),已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程,.,(2),在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性,.,思维升华,跟踪训练,3,在极坐标系中，求直线,sin,(,),2,被圆,4,截得的弦长,.,解答,课时作业,1.(2015,广东,),已知直线,l,的极坐标方程为,2,sin,，点,A,的极坐标为,，求点,A,到直线,l,的距离,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2.,在极坐标系,(,，,)(0,2),中，求曲线,(,cos,sin,),1,与,(sin,cos,),1,的交点的极坐标,.,曲线,(,cos,sin,),1,化为直角坐标方程为,x,y,1,，,(sin,cos,),1,化为直角坐标方程为,y,x,1.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,3.(2016,南京模拟,),在极坐标系中，已知圆,3cos,与直线,2,cos,4,sin,a,0,相切，求实数,a,的值,.,解答,圆,3cos,的直角坐标方程为,x,2,y,2,3,x,，,直线,2,cos,4,sin,a,0,的直角坐标方程为,2,x,4,y,a,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,4.(2016,南通第三次质检,),在极坐标系中，求曲线,2cos,关于直线,对称的曲线的极坐标方程,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,以极点为坐标原点，极轴为,x,轴建立直角坐标系，,则曲线,2cos,的直角坐标方程为,(,x,1),2,y,2,1,，,且圆心为,(1,0).,直线,的直角坐标方程为,y,x,，,因为圆心,(1,0),关于,y,x,的对称点为,(0,1),，,所以圆,(,x,1),2,y,2,1,关于,y,x,的对称曲线为,x,2,(,y,1),2,1.,所以曲线,2cos,关于直线,对称的曲线的极坐标方程为,2sin,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,5.,在极坐标系中，,P,是曲线,C,1,：,12sin,上的动点，,Q,是曲线,C,2,：,12cos(,),上的动点，求,PQ,的最大值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,对曲线,C,1,的极坐标方程进行转化：,12sin,，,2,12,sin,，,x,2,y,2,12,y,0,，,即,x,2,(,y,6),2,36.,对曲线,C,2,的极坐标方程进行转化：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6.(2016,常州模拟,),在极坐标系中，,O,是极点，设,A,(4,，,),，,B,(5,，,),，求,AOB,的面积,.,解答,OA,4,，,OB,5,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,7.,已知,P,(5,，,),，,O,为极点，求使,POP,为正三角形的点,P,的坐标,.,解答,设,P,点的极坐标为,(,，,).,POP,为正三角形，如图所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,8.,在极坐标系中，判断直线,cos,sin,1,0,与圆,2sin,的位置关系,.,解答,直线,cos,sin,1,0,可化成,x,y,1,0,，,圆,2sin,可化为,x,2,y,2,2,y,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(1),将,M,、,N,、,P,三点的极坐标化为直角坐标；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2),判断,M,、,N,、,P,三点是否在一条直线上,.,k,MN,k,NP,，,M,、,N,、,P,三点在一条直线上,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10.,在直角坐标系,xOy,中，以,O,为极点，,x,轴正半轴为极轴建立极坐标系,.,曲线,C,的极坐标方程为,cos,(,),1,，,M,，,N,分别为,C,与,x,轴、,y,轴的交点,.,(1),写出,C,的直角坐标方程，并求,M,、,N,的极坐标；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,当,0,时，,2,，所以,M,(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,(2),设,MN,的中点为,P,，求直线,OP,的极坐标方程,.,M,点的直角坐标为,(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,