几何中的应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,几何中的应用,一、,空间曲线的切线与法平面,过点,M,与切线垂直的平面称为曲线在该点的,法平面.,置.,空间光滑曲线在点,M,处的,切线,为此点处割线的极限位,给定光滑曲线,在,点法式可建立曲线的法平面方程,利用,点,M,(,x,y,z,)处的切向量及法平面的,法向量均为,点向式可建立曲线的切线方程,。设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.且,导数不同时为零,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过 M,0,点且与切线垂直的平面.,例4.,求曲线,在点,M,(1,1,1)处的切线,方程与法平面方程.,解：,点(1,1,1)对应于,故点,M,处的切向量为,因此所求切线方程为,法平面方程为,即,思考:,光滑曲线,的切向量有何特点?,答:,切向量,解,切线方程,法平面方程,。空间曲线方程,取,x,为参数,法平面方程为,。空间曲线方程,切向量,切线方程,法平面方程为,也可表为,(自己验证),例5.,求曲线,在点,M,(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法1,令,则,即,切向量,法平面方程,即,解法2,方程组两边对,x,求导,得,曲线在点,M,(1,2,1)处有:,切向量,解得,切线方程,即,法平面方程,即,点,M,(1,2,1)处的,切向量,三、,曲面的切平面与法线,设,有,光滑曲面,通过其上定点,对应点,M,切线方程为,不全为,0.,则,在,且,点,M,的,切向量,为,任意,引一条光滑曲线,下面证明:,此平面称为,在该点的,切平面,.,上过点,M,的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,证:,在,上,得,令,由于曲线,的任意性,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上,从而切平面存在.,曲面,在点,M,的,法向量:,法线方程,切平面方程,过,M,点且垂直于切平面的直线,称为曲面,在点,M,的,法线.,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别,当光滑曲面,的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,法向量,法向量,用,将,法向量的,方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,复习,因为曲面在M处的切平面方程为,切平面上点的竖坐标的增量,例6.,求球面,在点(1,2,3)处的切,平面及法线方程.,解:,令,所以球面在点(1,2,3)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,即,(可见法线经过原点，即球心),解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,满足方程,所求切点为,切平面方程(1),切平面方程(2),1.空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1)参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2)一般式情况.,空间光滑曲面,曲面,在点,法线方程,1)隐式情况.,的,法向量,切平面方程,2.曲面的切平面与法线,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2)显式情况.,法线的,方向余弦,法向量,思考与练习,1.如果平面,与椭球面,相切,提示:,设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),备用题,1.,证明曲面,与定直线平行,证:,曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立.,的所有切平面恒,2.,求曲线,在点,(1,1,1),的切线,解:,点(1,1,1)处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,