北京专用高考数学一轮复习第五章平面向量第二节平面向量基本定理及坐标表示.ppt

,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第二节平面向量基本定理及坐标表示,总纲目录,教材研读,1.,平面向量的基本定理,考点突破,2.,平面向量的坐标运算,3.,平面向量共线的坐标表示,考点二平面向量的坐标运算,考点一平面向量基本定理及其应用,考点三平面向量共线的坐标表示,1.平面向量的基本定理,如果,e,1,、,e,2,是同一平面内的两个,不共线,向量,那么对于这一平面,内的任一向量,a,有且只有,一对实数,1,、,2,使,a,=,1,e,1,+,2,e,2,.,其中,不共线的向量,e,1,、,e,2,叫做表示这一平面内所有向量的一组,基底,.,教材研读,2.平面向量的坐标运算,(1)向量加法、减法、数乘及向量的模,设,a,=(,x,1,y,1,),b,=(,x,2,y,2,),则,a,+,b,=,(,x,1,+,x,2,y,1,+,y,2,),a,-,b,=,(,x,1,-,x,2,y,1,-,y,2,),a,=,(,x,1,y,1,),|,a,|=,.,(2)向量坐标的求法,(i)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.,(ii)设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,=,(,x,2,-,x,1,y,2,-,y,1,),|,|=,.,3.平面向量共线的坐标表示,设,a,=(,x,1,y,1,),b,=(,x,2,y,2,),其中,b,0,则,a,b,x,1,y,2,-,x,2,y,1,=0,.,1.如果,e,1,e,2,是平面,内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作,为平面内所有向量的一组基底的是,(),A.,e,1,与,e,1,+,e,2,B.,e,1,-2,e,2,与,e,1,+2,e,2,C.,e,1,+,e,2,与,e,1,-,e,2,D.,e,1,+3,e,2,与6,e,2,+2,e,1,答案,D选项A中,设,e,1,+,e,2,=,e,1,则,无解;,D,选项B中,设,e,1,-2,e,2,=,(,e,1,+2,e,2,),则,无解;,选项C中,设,e,1,+,e,2,=,(,e,1,-,e,2,),则,无解;,选项D中,e,1,+3,e,2,=,(6,e,2,+2,e,1,),所以两向量是共线向量.,2.若向量,a,=(2,1),b,=(-1,2),c,=,则,c,可用向量,a,b,表示为,(),A.,a,+,b,B.-,a,-,b,C.,a,+,b,D.,a,-,b,答案,A设,c,=,xa,+,yb,则,=(2,x,-,y,x,+2,y,),所以,解得,则,c,=,a,+,b,.,A,3.已知点,M,(5,-6)和向量,a,=(1,-2),若,=-3,a,则点,N,的坐标为,(),A.(2,0)B.(-3,6),C.(6,2)D.(-2,0),答案,A,=-3,a,=-3(1,-2)=(-3,6),设,N,(,x,y,),则,=(,x,-5,y,+6)=(-3,6),所以,即,故点,N,的坐标为(2,0).,A,4.(2016北京海淀一模)已知向量,a,=(1,t,),b,=(3,9),若,a,b,则,t,=,(),A.1B.2C.3D.4,答案,C,a,=(1,t,),b,=(3,9),a,b,1,9=3,t,t,=3.故选C.,C,5.(2018北京朝阳高三期中)在平面直角坐标系,xOy,中,已知点,A,(0,1),将线,段,OA,绕原点,O,按逆时针方向旋转60,得到线段,OB,则向量,的坐标为,.,答案,解析,设点,B,(,x,0,y,0,),由三角函数的定义知,x,0,=1,cos 150,=-,y,0,=1,sin 150,=,所以,B,=,.,6.在平面直角坐标系中,已知,=(-1,3),=(2,-1),则|,|=,.,答案,5,解析,=,-,=(2,-1)-(-1,3)=(3,-4),|,|=5.,5,典例1,(1),ABC,中,点,D,在边,AB,上,CD,平分,ACB,.若,=,a,=,b,|,a,|=1,|,b,|=2,则,=,(),A.,a,+,b,B.,a,+,b,C.,a,+,b,D.,a,+,b,(2)在平行四边形,ABCD,中,E,和,F,分别是边,CD,和,BC,的中点,有,=,+,其中,R,则,+,=,.,考点一平面向量基本定理及其应用,考点突破,答案,(1)B(2),解析,(1)由题意得|,|=2|,|,即有,=,=,(,-,)=,(,a,-,b,).从而,=,+,=,b,+,(,a,-,b,)=,a,+,b,.故选B.,(2)如图.,四边形,ABCD,为平行四边形,且,E,、,F,分别为,CD,、,BC,的中点,=,+,=(,-,)+(,-,),=(,+,)-,(,+,)=(,+,)-,=,(,+,),=,=,+,=,.,方法指导,用平面向量基本定理解决问题的一般思路,(1)先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该,组基底的线性组合,再进行向量的运算.,(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便,另外,要,熟练运用线段中点的向量表达式.,注意:零向量和共线向量不能作基底.,1-1,(2015北京石景山一模)如图,在6,6的方格纸中,若起点和终点均在,格点的向量,a,b,c,满足,c,=,xa,+,yb,(,x,y,R),则,x,+,y,=,(),A.0B.1C.5,D.,D,答案,D以方格的边长为长度单位建立如图所示的平面直角坐标系,则,a,=(1,2),b,=(2,-1),c,=(3,4),因为,c,=,xa,+,yb,所以,解得,所以,x,+,y,=,故选D.,1-2,(2016北京东城一模)如图,在矩形,OABC,中,点,E,F,分别在线段,AB,BC,上,且满足,AB,=3,AE,BC,=3,CF,若,=,+,(,R),则,+,=,.,答案,解析,=,+,=(,+,)+(,+,)=,+,+,+,=,+,+,-,=,+,.,+,=,+,.,=,+,.,=,+,.,=,=,+,=,.,典例2,已知,A,(-2,4),B,(3,-1),C,(-3,-4),设,=,a,=,b,=,c,且,=3,c,=-2,b,.求:,(1)3,a,+,b,-3,c,;,(2)满足,a,=,mb,+,nc,的实数,m,n,;,(3),M,N,的坐标及向量,的坐标.,考点二平面向量的坐标运算,(1)3,a,+,b,-3,c,=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).,(2),mb,+,nc,=(-6,m,+,n,-3,m,+8,n,)=(5,-5),解得,(3)设,O,为坐标原点,=,-,=3,c,=3,c,+,=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),M,(0,20).,又,=,-,=-2,b,=-2,b,+,=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),N,(9,2),=(9,-18).,解析,由已知得,a,=(5,-5),b,=(-6,-3),c,=(1,8).,方法指导,平面向量坐标运算的技巧,(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求,解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.,(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程,(组)进行求解.,2-1,已知点,A,(-1,5)和向量,a,=(2,3),若,=3,a,则点,B,的坐标为,(),A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14),2-1,已知点,A,(-1,5)和向量,a,=(2,3),若,=3,a,则点,B,的坐标为,(),A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14),答案,D设点,B,的坐标为(,x,y,),则,=(,x,+1,y,-5).,由,=3,a,得,解得,故点,B,的坐标为(5,14).,D,2-2,在,ABC,中,点,P,在,BC,上,且,=2,点,Q,是,AC,的中点,若,=(4,3),=(1,5),则,=,(),A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21),答案,B,=2,=3,=3(,+,).,Q,是,AC,的中点,=2,又,=,+,=3,+2(,+,)=(-6,21).,B,考点三平面向量共线的坐标表示,典例3,平面内给定三个向量,a,=(3,2),b,=(-1,2),c,=(4,1).,(1)求满足,a,=,mb,+,nc,的实数,m,n,;,(2)若(,a,+,kc,)(2,b,-,a,),求实数,k,.,解析,(1)由题意得(3,2)=,m,(-1,2)+,n,(4,1),解得,(2),a,+,kc,=(3+4,k,2+,k,),2,b,-,a,=(-5,2),由题意得2,(3+4,k,)-(-5),(2+,k,)=0.,k,=-,.,1.向量共线的两种表示形式,若,a,b,(,b,0),则,a,=,b,;,x,1,y,2,-,x,2,y,1,=0(,a,=(,x,1,y,1,),b,=(,x,2,y,2,).至于使用哪种形,式,应视题目的具体条件而定,一般涉及坐标时应用.,规律总结,2.与向量共线有关的题型,(1)证三点共线.,解决这种问题时,可先证明相关两向量共线,再说明两向量有公共点.,(2)已知两向量共线,求相关参数.,解决这种问题时,可先利用向量共线的充要条件列方程(组),再求解.,3-1,(2015北京西城二模)已知平面向量,a,b,c,满足,a,=(-1,1),b,=(2,3),c,=(-2,k,),若(,a,+,b,),c,则实数,k,=,(),A.4B.-4,C.8D.-8,答案,D由已知得,a,+,b,=(1,4),因为(,a,+,b,),c,所以(-2),4-,k,=0,所以,k,=-8.,故选D.,D,3-2,(2016北京海淀期中)已知向量,a,=(1,1),点,A,(3,0),点,B,是直线,y,=2,x,上,的一个动点,若,a,则点,B,的坐标为,.,答案,(-3,-6),解析,设点,B,的坐标为(,x,2,x,),则,=(,x,-3,2,x,),a,(,x,-3),1-2,x,1=0,x,=-3,故点,B,的坐标为(-3,-6).,(-3,-6),3-3,(2017北京通州期末)如图,在正方形,ABCD,中,P,为,DC,边上的动点,设向量,=,+,则,+,的取值范围是,.,答案,1,3,1,3,解析,以,A,为原点,以直线,AB,、,AD,分别为,x,y,轴建立平面直角坐标系(图,略),令正方形的边长为2,则,A,(0,0),C,(2,2),B,(2,0),D,(0,2),P,为,DC,边上的,动点,可设,P,(,x,2),x,0,2,=(2,2),=(2,-2),=(,x,2),=,+,+,=,令,f,(,x,)=,(0,x,2),f,(,x,)在0,2上单调递减,f,(,x,),max,=,f,(0)=3,f,(,x,),min,=,f,(2)=1.,故,+,的取值范围是1,3.,