新课标高考数学二轮复习专题五立体几何5.3立体几何中的向量方法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,5.3,立体几何中的向量方法,-,2,-,-,3,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,用空间向量证明空间的平行与垂直,【思考】,如何用空间向量证明空间的平行与垂直,?,例,1,已知直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,AC,BC,D,为,AB,的中点,AC=BC=BB,1,.,(1),求证,:,BC,1,AB,1,;,(2),求证,:,BC,1,平面,CA,1,D.,-,4,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,证明：,如图,以,C,1,为原点,C,1,A,1,C,1,B,1,C,1,C,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系,.,由,AC=BC=BB,1,设,AC=,2,则,A,(2,0,2),B,(0,2,2),C,(0,0,2),A,1,(2,0,0),B,1,(0,2,0),C,1,(0,0,0),D,(1,1,2),.,-,5,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-,6,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思,用向量方法证明空间线面位置关系的方法,:,设直线,l,1,l,2,的方向向量分别为,a,b,平面,的法向量分别为,e,1,e,2,A,B,C,分别为平面,内的相异且不共线的三点,(,其中,l,1,与,l,2,不重合,与,不重合,),则,(1),l,1,l,2,a,b,存在实数,使,b,=,a,(,a,0,);,l,1,l,2,a,b,a,b,=,0,.,(2),l,1,a,e,1,存在实数,使,e,1,=,a,(,a,0,);,l,1,a,e,1,=,0,存在非零实数,1,2,使,a,=,1,(3),e,1,e,2,存在实数,使,e,2,=,e,1,(,e,1,0,);,e,1,e,2,e,1,e,2,=,0,.,-,7,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练,1,在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,ABC=,90,BC=,2,CC,1,=,4,点,E,在线段,BB,1,上,且,EB,1,=,1,D,F,G,分别为,CC,1,C,1,B,1,C,1,A,1,的中点,.,求证,:(1),B,1,D,平面,ABD,;,(2),平面,EGF,平面,ABD.,证明：,(1),以,B,为坐标原点,BA,BC,BB,1,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系,如图,.,则,B,(0,0,0),D,(0,2,2),B,1,(0,0,4),设,BA=a,则,A,(,a,0,0),-,8,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,即,B,1,D,EG,B,1,D,EF,又,EG,EF=E,因此,B,1,D,平面,EGF.,结合,(1),可知平面,EGF,平面,ABD.,-,9,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,利用向量求空间角,【思考】,如何用空间向量求空间角,?,例,2,(2017,全国,理,19),如图,四棱锥,P-ABCD,中,侧面,PAD,为等边三角形且垂直于底面,ABCD,AB=BC=AD,BAD=,ABC=,90,E,是,PD,的中点,.,(1),证明,:,直线,CE,平面,PAB,;,(2),点,M,在棱,PC,上,且直线,BM,与底面,ABCD,所成角为,45,求二面角,M-AB-D,的余弦值,.,-,10,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-,11,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-,12,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-,13,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-,14,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思,用向量求空间角的方法,:,设直线,l,1,l,2,的方向向量分别为,a,b,平面,的法向量分别为,n,m,.,-,15,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练,2,(2017,全国,理,19),如图,四面体,ABCD,中,ABC,是正三角形,ACD,是直角三角形,ABD=,CBD,AB=BD.,(1),证明,:,平面,ACD,平面,ABC,;,(2),过,AC,的平面交,BD,于点,E,若平面,AEC,把四面体,ABCD,分成体积相等的两部分,求二面角,D-AE-C,的余弦值,.,-,16,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(1),证明,:,由题设可得,ABD,CBD,从而,AD=DC.,又,ACD,是直角三角形,所以,ADC=,90,.,取,AC,的中点,O,连接,DO,BO,则,DO,AC,DO=AO.,又由于,ABC,是正三角形,故,BO,AC.,所以,DOB,为二面角,D-AC-B,的平面角,.,在,Rt,AOB,中,BO,2,+AO,2,=AB,2,又,AB=BD,所以,BO,2,+DO,2,=BO,2,+AO,2,=AB,2,=BD,2,故,DOB=,90,.,所以平面,ACD,平面,ABC.,-,17,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-,18,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-,19,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练,3,(2017,江苏,22),如图,在平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,AA,1,平面,ABCD,且,AB=AD=,2,AA,1,=,BAD=,120,.,(1),求异面直线,A,1,B,与,AC,1,所成角的余弦值,;,(2),求二面角,B,-A,1,D,-A,的正弦值,.,-,20,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-,21,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-,22,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-,23,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,用空间向量求空间中的距离,【思考】,如何用空间向量求空间中的距离,?,例,3,如图,在四棱锥,P-ABCD,中,底面四边形,ABCD,是正方形,侧面,PDC,是边长为,a,的正三角形,且侧面,PDC,底面,ABCD,E,为,PC,的中点,.,(1),求异面直线,PA,与,DE,所成角的余弦值,;,(2),求点,D,到平面,PAB,的距离,.,-,24,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,解：,如图,取,DC,的中点,O,连接,PO,PDC,为正三角形,PO,DC.,又侧面,PDC,底面,ABCD,PO,底面,ABCD.,如图建立空间直角坐标系,O-xyz.,-,25,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-,26,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思,求空间中距离的方法,:,(1),直线到平面的距离,两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离,.,(2),点,P,到平面,的距离,d=,(,其中,n,为,的法向量,M,为,内任一点,),.,(3),设直线,n,的方向向量为,n,直线,n,与异面直线,a,b,都垂直,A,是直线,a,上任一点,B,是直线,b,上任一点,则异面直线,a,b,的距离,d=,-,27,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练,4,如图,在四棱锥,P-ABCD,中,PA,底面,ABCD,AB,AD,AB+AD=,4,CD=,CDA=,45,.,(1),求证,:,平面,PAB,平面,PAD.,(2),设,AB=AP.,若直线,PB,与平面,PCD,所成的角为,30,求线段,AB,的长,;,在线段,AD,上是否存在一个点,G,使得点,G,到点,P,B,C,D,的距离都相等,?,说明理由,.,-,28,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(1),证明：,因为,PA,平面,ABCD,AB,平面,ABCD,所以,PA,AB.,因为,AB,AD,PA,AD=A,所以,AB,平面,PAD.,又,AB,平面,PAB,所以平面,PAB,平面,PAD.,(2),解：,以,A,为坐标原点,建立空间直角坐标系,A-xyz,如图,.,在平面,ABCD,内作,CE,AB,交,AD,于点,E,则,CE,AD.,在,Rt,CDE,中,DE=CD,cos,45,=,1,CE=CD,sin,45,=,1,.,设,AB=AP=t,则,B,(,t,0,0),P,(0,0,t,),.,由,AB+AD=,4,得,AD=,4,-t,所以,E,(0,3,-t,0),C,(1,3,-t,0),D,(0,4,-t,0),-,29,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-,30,-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,假设在线段,AD,上存在一个点,G,使得点,G,到点,P,B,C,D,的距离都相等,.,由,消去,t,化简得,m,2,-,3,m+,4,=,0,.,因为方程,没有实数根,所以在线段,AD,上不存在一个点,G,使得点,G,到点,P,C,D,的距离都相等,.,从而,在线段,AD,上不存在一个点,G,使得点,G,到点,P,B,C,D,的距离都相等,.,-,31,-,规律总结,拓展演练,1,.,用空间向量解决立体几何问题时,要根据情况选择,常建立空间直角坐标系,利用空间向量知识解决立体几何问题,.,用空间向量解决的主要立体几何问题有平行、垂直、求角、求距离等,.,2,.,用向量证明空间中的平行关系,:,(1),设直线,l,1,和,l,2,的方向向量分别为,v,1,和,v,2,则,l,1,l,2,(,或,l,1,与,l,2,重合,),v,1,v,2,.,(2),设直线,l,的方向向量为,v,与平面,共面的两个不共线向量,v,1,和,v,2,则,l,或,l,存在两个实数,x,y,使,v,=x,v,1,+y,v,2,.,(3),设直线,l,的方向向量为,v,平面,的法向量为,u,则,l,或,l,v,u,.,(4),设平面,和,的法向量分别为,u,1,u,2,则,u,1,u,2,.,-,32,-,规律总结,拓展演练,3,.,用向量证明空间中的垂直关系,:,(1),设直线,l,1,和,l,2,的方向向量分别为,v,1,和,v,2,则,l,1,l,2,v,1,v,2,v,1,v,2,=,0,.,(2),设直线,l,的方向向量为,v,平面,的法向量为,u,则,l,v,u,.,(3),设平面,和,的法向量分别为,u,1,和,u,2,则,u,1,u,2,u,1,u,2,=,0,.,4,.,两异面直线所成的角不一定是它们的方向向量的夹角,;,两平面的法向量的夹角与两平面的二面角相等或互补,;,直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角的余角相等或互补,.,(1),两条异面直线所成的角,:,设异面直线,a,b,所成的角为,a,b,的方向向量为,a,b,其夹角为,则有,cos,=|,cos,|=.,-,33,-,规律总结,拓展演练,(2),直线和平面所成的角,:,如图,sin,=|,cos,|=.,(3),平面,与平面,所成的二面角为,两平面的法向量分别为,m,n,则,|,cos,|=.,-,34,-,规律总结,拓展演练,5,.,点到平面的距离的向量求法,:,如图,设,AB,为平面,的一条斜线段,n,为平面,的法向量,则点,B,到平面,的距离,d=.,-,35,-,规律总结,拓展演练,1,.,在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,BCA=,90,M,N,分别是,A,1,B,1,A,1,C,1,的中点,BC=CA=CC,1,则,BM,与,AN,所成角的余弦值为,(,),答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,36,-,规律总结,拓展演练,2,.,已知两平面的法向量分别为,m,=,(0,1,0),n,=,(0,1,1),则两平面所成二面角的大小为,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,37,-,规律总结,拓展演练,3,.,(2017,天津,理,17),如图,在三棱锥,P-ABC,中,PA,底面,ABC,BAC=,90,点,D,E,N,分别为棱,PA,PC,BC,的中点,M,是线段,AD,的中点,PA=AC=,4,AB=,2,.,(1),求证,:,MN,平面,BDE,;,(2),求二面角,C-EM-N,的正弦值,;,(3),已知点,H,在棱,PA,上,且直线,NH,与直线,BE,所成角的余弦值为,求线段,AH,的长,.,-,38,-,规律总结,拓展演练,解,:,如图,以,A,为原点,分别以,方向为,x,轴、,y,轴、,z,轴正方向建立空间直角坐标系,.,依题意可得,A,(0,0,0),B,(2,0,0),C,(0,4,0),P,(0,0,4),D,(0,0,2),E,(0,2,2),M,(0,0,1),N,(1,2,0),.,-,39,-,规律总结,拓展演练,-,40,-,规律总结,拓展演练,-,41,-,规律总结,拓展演练,