期中复习概率部分.ppt

单击此处编辑母版标题样式,一、重点与难点,二、主要内容,三、典型例题,第一章随机事件,一、重点与难点,1.,重点,随机事件的概念,古典概型的概率计算方法,概率的加法公式,条件概率和乘法公式的应用,全概率公式和贝叶斯公式的应用,2.,难点,古典概型的概率计算全概率公式的应用,二、主要内容,随机,现象,随机,试验,事件的,独立性,随 机 事 件,基,本,事,件,必,然,事,件,对,立,事,件,概 率,古典,概型,几何,概率,乘法,定理,事件的关系和运算,全概率公式与贝叶斯公式,性,质,定,义,条件,概率,不可能事件,在一定条件下可能出现也可能不出现,的现象,称为,随机现象,.,随机现象,可以在相同的条件下重复地进行,;,每次试验的可能结果不止一个,并且能事,先明确试验的所有可能结果,;,进行一次试验之前不能确定哪一个结果,会出现,.,在概率论中,，,把具有以下三个特征的试验称为,随机试验,.,随机试验,事件的关系和运算,(1),包含关系,若事件,A,出现，必然导致事件,B,出现，,则称事件,B,包含事件,A,，记作,图示,B,包含,A.,S,B,A,(2),A,等于,B,(3),事件,A,与,B,的并,(,和事件,),图示事件,A,与,B,的并,.,S,B,A,若事件,A,包含事件,B,而且事件,B,包含事件,A,则称事件,A,与事件,B,相等,记作,A=B,.,(4),事件,A,与,B,的交,(,积事件,),图示事件,A,与,B,的积,.,S,A,B,AB,(5),事件,A,与,B,互不相容,(,互斥,),若事件,A,的出现必然导致事件,B,不出现,B,出现也必然导致,A,不出现,则称事件,A,与,B,互不相容,即,图示,A,与,B,互不相容（互斥）,.,S,A,B,(6),事件,A,与,B,的差,由事件,A,出现而事件,B,不出现所组成的事件称为事件,A,与,B,的差,.,记作,A,-,B,.,图示,A,与,B,的差,.,S,A,B,S,A,B,设,A,表示“事件,A,出现”,则“事件,A,不出现”称为事件,A,的,对立事件或逆事件,.,记作,图示,A,与,B,的对立,.,S,B,若,A,与,B,互逆,则有,A,(7),事件,A,的对立事件,说明,对立事件与互斥事件的区别,S,S,A,B,A,B,A,，,B,对立,A,，,B,互斥,互斥,对立,事件运算的性质,(1),频率的定义,频率,设,A,是随机试验,E,的任一事件,则,(2),频率的性质,概率的定义,概率的可列可加性,概率的有限可加性,概率的性质,n,个事件和的情况,定义,等可能概型,(,古典概型,),设试验,E,的样本空间由,n,个样本点构成,A,为,E,的任意一个事件,且包含,m,个样本点,则事件,A,出现的概率记为,:,古典概型中事件概率的计算公式,称此为概率的古典定义,.,几何概型,当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意,一点落在度量,(,长度,面积,体积,),相同的子区域是,等可能的,则事件,A,的概率可定义为,条件概率,同理可得,为在事件,B,发生的条件下事件,A,发生的条件概率,.,(1),条件概率的定义,(2),条件概率的性质,乘法定理,样本空间的划分,全概率公式与贝叶斯公式,全概率公式,说明,全概率公式的主要用处在于它可以将,一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单,事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出,最终结果,.,贝叶斯公式,称此为,贝叶斯公式,.,事件,A,与,B,相互独立是指事件,A,的概率与事件,B,是否出现无关,.,说明,事件的相互独立性,(1),两事件相互独立,(2),三事件两两相互独立,注意,三个事件相互独立,三个事件两两相互独立,(3),三事件相互独立,n,个事件相互独立,n,个事件两两相互独立,重要定理及结论,两个结论,三、典型例题,P63,：,4,5,8,P67,：,21,一、重点与难点,二、主要内容,三、典型例题,第一章随机变量及其分布,一、重点与难点,1.,重点,(0-1),分布、二项分布和泊松分布的分布律,正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、,密度函数及有关区间概率的计算,2.,难点,连续型随机变量的概率密度函数的求法,二、主要内容,随 机 变 量,离 散 型,随机变量,连 续 型随机变量,分 布 函 数,分 布 律,密 度 函 数,均,匀,分,布,指,数,分,布,正,态,分,布,两,点,分,布,二,项,分,布,泊,松,分,布,随机变量,的函数的,分 布,定,义,随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的,(,样本空间的元素不一定是实数,).,(1),随机变量与普通的函数不同,随机变量,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律,.,(2),随机变量的取值具有一定的概率规律,(3),随机变量与随机事件的关系,随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内,.,或者说,:,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象,.,随机变量的分类,离散型,随机变量,连续型,非离散型,其它,随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量,.,随机变量所取的可能值可以连续地充满某个,区间,叫做连续型随机变量,.,离散型随机变量的分布律,(1),定义,(2),说明,设随机变量,X,只可能取,0,与,1,两个值,它的分布律为,则称,X,服从,(0-1),分布,或,两点分布,.,两点分布,称这样的分布为,二项分布,.,记为,二项分布,两点分布,二项分布,泊松分布,(2),说明,随机变量的分布函数,(1),定义,分布函数主要研究随机变量在某一区间内取,值的概率情况,.,即任一分布函数处处,右连续,.,(3),性质,离散型随机变量的分布函数,(4),重要公式,连续型随机变量的概率密度,(1),定义,(2),性质,若,X,是连续型随机变量，,X,=,a,是不,可能事件,则有,若,X,为离散型随机变量,连,续,型,离,散,型,(3),注意,均匀分布,(1),定义,(2),分布函数,分布函数,指数分布,正态分布,(,或高斯分布,),(1),定义,(2),分布函数,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布的分布函数表示为,(3),标准正态分布,标准正态分布的图形,(4),重要公式,随机变量的函数的分布,(1),离散型随机变量的函数的分布,(2),连续型随机变量的函数的分布,定理,三、典型例题,P62,：,15,20,P64,：,13,18,19,P70,：,45,一、重点与难点,二、主要内容,三、典型例题,第二章多维随机变量及其分布,一、重点与难点,1.,重点,二维随机变量的分布,有关概率的计算和随机变量的独立性,2.,难点,条件概率分布,随机变量函数的分布,定 义,联 合 分 布 函 数,联 合 分 布 律,联 合 概 率 密 度,边 缘 分 布,条 件 分 布,两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布,随 机 变 量,的 相 互 独 立 性,定,义,性,质,二,维,随,机,变,量,推 广,二、主要内容,二维随机变量,(1),定义,二维随机变量的分布函数,且有,(2),性质,(3),n,维随机变量的概念,二维随机变量,(,X,Y,),的分布律也可表示为,:,二维离散型随机变量的分布律,离散型随机变量,(,X,Y,),的分布函数为,二维连续型随机变量的概率密度,(1),定义,(2),性质,表示介于,f,(,x,y,),和,xoy,平面之间的空间区域的全部体积等于,1.,(3),说明,(4),两个常用的分布,设,D,是平面上的有界区域,其面积为,S,若二,维随机变量,(,X,Y,),具有概率密度,则称,(,X,Y,),在,D,上服从均匀分布,.,若二维随机变量,(,X,Y,),具有概率密度,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,.,边缘分布函数,为随机变量,(,X,Y,),关于,Y,的边缘分布函数,.,离散型随机变量的边缘分布,随机变量关于,X,和,Y,的边缘分布函数分别为,联合分布,边缘分布,连续型随机变量的边缘分布,同理得,Y,的边缘概率密度,(1),离散型随机变量的条件分布,随机变量的条件分布,同理可定义,(2),连续型随机变量的条件分布,联合分布、边缘分布、条件分布的关系,联合分布,边缘分布,条件分布,联合分布,随机变量的相互独立性,说明,(1),若离散型随机变量,(,X,Y,),的联合分布律为,二维随机变量的推广,其它依次类推,.,(5),随机变量相互独立的定义的推广,随机变量函数的分布,(1),离散型随机变量函数的分布,当,X,Y,独立时,(2),连续型随机变量函数的分布,当,X,Y,独立时,则有,推广,三、典型例题,例,1,解,(1),(,X,Y,),的联合概率密度为,(2),由题意得,x,y,-1,1,当,|,x,|1,时，,f,(,x,y,)=0,，所以,f,(,x,)=0,当,|,x,|1,时,不是均匀分布,分布的可加性,若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有,可加性,.,二项分布的可加性,若,X,b,(,n,1,p,),，,Y,b,(,n,2,p,),，,注意：若,X,i,b,(1,p,),，且独立，则,Z=,X,1,+,X,2,+X,n,b,(,n,p,),.,且独立，,则,Z=,X+,Y,b,(,n,1,+,n,2,p,),.,泊松分布的可加性,若,X,P,(,1,),，,Y,P,(,2,),，,注意：,X,Y,不服从泊松分布,.,且独立，,则,Z,=,X+,Y,P,(,1,+,2,),.,正态分布的可加性,若,X,N,(,),，,Y,N,(,),，,注意：,X,Y,不服从,N,(),.,且独立，,则,Z,=,X,Y,N,(),.,X,Y,N,(),.,独立正态变量的线性组合仍为正态变量,.(,见下,),独立正态变量的线性组合仍为正态变量,X,i,N,(,i,i,2,),i,=1,2,.,n,.,且,X,i,间相互独立,实数,a,1,a,2,.,a,n,不全为零,则,P107,：,6,P109,：,5,6,P114,：,29,一、重点与难点,二、主要内容,三、典型例题,第三章随机变量的数字特征,一、重点与难点,1.,重点,数学期望的性质和计算,2.,难点,数字特征的计算,方差的性质和计算,相关系数的性质和计算,二、主要内容,数学期望,方 差,离散型,连续型,性 质,协方差与相关系数,二维随机变量的数学期望,定 义,计 算,性 质,随机变量函数的数学期望,定 义,协方差的性质,相关系数定理,离散型随机变量的数学期望,连续型随机变量的数学期望,随机变量函数的数学期望,离散型随机变量函数的数学期望为,则有,则有,数学期望的性质,1.设,C,是常数,则有,2.设,X,是一个随机变量,C,是常数,则有,3.设,X,Y,是两个随机变量,则有,4.设,X,Y,是相互独立的随机变量,则有,二维随机变量的数学期望,同理可得,则,则,方差的定义,方差的计算,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,方差的性质,1.设,C,是常数,则有,2.设,X,是一个随机变量,C,是常数,则有,协方差与相关系数的定义,协方差的性质,相关系数定理,三、典型例题,P174,：,1,5,10,24,P170,：,2,9,11,12,14,21,22,P179,：,19,30,31,第三章 大数定律及中心极限定理,二、主要内容,三、典型例题,一、重点与难点,一、重点与难点,1.,重点,中心极限定理及其运用.,2.,难点,证明随机变量服从大数定律.,大数定律,二、主要内容,中心极限定理,定,理,一,定理二,定理三,定理一,定理二,伯努利大数定理,契比雪夫定理的特殊情况,辛钦定理,独立同分布的中心极限定理,德莫佛拉普拉斯定理,三、典型例题,P182:41,45,