高考理科数学数学归纳法及其应用复习资料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,立足教育 开创未来,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十二章 极限与导数,数学归纳法及其应用,第 讲,（第一课时）,1,考 点,搜 索,归纳法和数学归纳法的含义与作用,数学归纳法的证题步骤，及各步骤的作用高,高 考,猜 想,1.,利用数学归纳法证明数列背景下的有关问题,.,2.,利用“归纳,猜想,证明”探索有关结论,.,2,1.从一系列有限的,得出,的推理方法，叫做归纳法.,2.对一个与正整数,n,有关的命题：,第一步：验证当,n,取,时命题成立；,第二步：假设当,时命题成立，证明当,时命题也成立.,在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从,开始的所有正整数,n,都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.,特殊事例,一般结论,第一个值,n,0,n=k,(,k,N*,，,k,n,0,),n=k,+1,n,0,3,3.,数学归纳法需要完成两个步骤的证明，缺一不可,.,其中第一步是奠基步骤，是,的基础；第二步反映了无限递推关系，即命题的正确性具有,.,若只有第一步，而无第二步，则只是证明了命题在特殊情况下的正确性；若只有第二步，而无第一步，那么假设,n=k,时命题成立就没有根据，递推无法进行,.,递推归纳,传递性,4,解：,6,2.凸,n,边形有,f,(,n,)条对角线，则凸,n,+1边形的对角线条数,f,(,n,+1)为(,),A.,f,(,n,)+,n,+1,B.,f,(,n,)+,n,C.,f,(,n,)+,n,-1,D.,f,(,n,)+,n,-2,解：,由,n,边形到,n,+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原(,n,-2)个顶点连成的(,n,-2)条对角线，及原先的一条边成了对角线.故选C.,C,7,题型,1,用数学归纳法证明恒等式、不等式,1.,设,n,N*,，求证：,证明：,(1),当,n,=1,时，左边,=,右边 所以等式成立,.,(2),假设,n=k,(,k,N*),时等式成立，,即,8,点评：,运用数学归纳法证明恒等式,(,不等式,),的要点是“两步一结论”，即第一步先验证初始结论；第二步是先假设,n=k,时命题成立，再由,n=k,时的命题作条件，推导,n=k,+1,时结论也成立；一结论是指最后归纳前面两个步骤，得出原结论是成立的,.,10,所以当,n=k,+1时，不等式也成立.,综合(1)(2)知，对于一切大于1的自然数,不等式都成立.,11,13,=,a,a,k,+2,+(,a,+1),2k+1,+(,a,+1),2k+3,-,a,(,a,+1),2k+1,=,a,a,k+2,+(,a,+1),2k+1,+(,a,2,+,a,+1)(,a,+1),2k+1,.,因为,a,k+2,+(,a,+1),2k+1,与,a,2,+,a,+1都能被,a,2,+,a,+1整除，,所以上面的和也能被,a,2,+,a,+1整除.,即当,n=k+,1时，,a,k+3,+(,a,+1),2k+3,能被,a,2,+,a,+1整除.,综合(1)(2)知，命题对任何,n,N*都成立.,15,点评：,用数学归纳法证明整除问题的关键是第二步的配凑变形，即把,n=k,+1的命题形式通过添项配凑成,n=k,时的结论加除式的倍式的形式.,16,18,平面内有,n,个圆，其中每两个圆都相交，任何三个圆都无公共点，证明：这,n,个圆把平面分成,n,2,-,n,+2,个区域,.,证明：,(1),当,n,=1,时，一个圆把平面分成两个区域，而,1,2,-1+2=2,，所以命题成立,.,(2),假设当,n,=,k,时命题成立，即,k,个圆把平面分成,k,2,-,k,+2,个区域,.,题型 用数学归纳法证明几何命题,参考题,19,则当,n=k,+1,时，第,k,+1,个圆与原有的,k,个圆共有,2,k,个交点，这些交点把第,k,+1,个圆分成了,2,k,段弧，其中每段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此共增加了,2,k,个区域,.,所以这,k,+1,个圆把平面分成,k,2,-,k,+2+2,k,=(,k,+1),2,-(,k+,1)+2,个区域，,即当,n=k,+1,时命题也成立,.,综合,(1)(2),知，对任意,n,N*,，命题都成立,.,20,1.,数学归纳法的第一步有时要验证从,n,0,开始的多个正整数命题成立，这主要取决于从,k,到,k,+1的奠基是什么数.如果假设当,n=k,时命题成立，并要求当,k,m,时才能得出,n=k,+1时命题也成立，则第一步必须验证从,n,0,到,m,的各个正整数命题都成立.,2.,第二步的证明必须运用“归纳假设”作为证明,n=k,+1时命题成立的条件，否则就不是数学归纳法了.,21,3.,“,归纳假设”可以是一个式子,(,等式或不等式,),，也可以是一段具有数学意义的数学语言，有时需要对它作适当变通，而不是机械地套用,.,4.,如果命题是对正奇数,(,或正偶数,),成立，则假设,n=k,时命题成立后，要证明,n=k,+2,时也命题成立,.,若第,(1),步证明,n,=1,和,n,=2,时命题成立，,22,第十二章 极限与导数,数学归纳法及其应用,第 讲,（第二课时）,24,题型,3,用数学归纳法探求数列的通项公式,1.已知数列,a,n,满足：,a,1,=1，,a,2,=,，,a,n,(,a,n,+1,-1)=,n,(,a,n,+1-,a,n,)(,n,2)，求数列,a,n,的通项公式.,解：,由已知可得,因为,a,1,=1，,a,2,=,，所以,由此猜想：,25,证明,:,(1),当,n,=1,时，结论成立,.,(2),假设当,n=k,时结论成立，即,则当,n=k,+1,时，,所以当,n=k,+1,时，结论也成立,.,综合,(1)(2),知，,数列,a,n,的通项公式是,26,数列,a,n,满足,S,n,=2,n-a,n,(,n,N*).,(1)计算,a,1,a,2,a,3,a,4,并由此猜想通项公式,a,n,;,(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.,解：,(1)当,n,=1时，,a,1,=,S,1,=2-,a,1,所以,a,1,=1;,当,n,=2时，,a,1,+,a,2,=,S,2,=22-,a,2,所以,a,2,=,;,当,n,=3时，,a,1,+,a,2,+,a,3,=,S,3,=23,-a,3,所以,a,3,=,;,当,n,=4时，,a,1,+,a,2,+,a,3,+a,4,=,S,4,=24-,a,4,所以,a,4,=,.由此猜想,28,(2),证明:,当,n,=1时，,a,1,=1，结论成立.,假设,n=k,(,k,1且,k,N*)时,结论成立，,即,那么当,n=k,+1(,k,1且,k,N*)时，,a,k,+1,=,S,k,+1,-,S,k,=2(,k,+1)-,a,k,+1,-2,k,+,a,k,=2+,a,k,-,a,k,+1,.,所以2,a,k,+1,=2+,a,k,所以,这表明,n=k+,1时，结论也成立.,由知，猜想,成立.,29,(2)假设当,n=k,时，,a,k,+b,k,=1，,即,b,k,=1-,a,k,成立，,则,a,k,+1,+,b,k,+1,=,a,k,b,k,+1,+,b,k,+1,=(,a,k,+1),b,k,+1,所以当,n=k,+1时，结论成立.,综合(1)(2)知，对任意,n,N*，都有,a,n,+b,n,=1.,故,a,n,+b,n,=1，为定值.,31,点评：,探求数列中的有关性质，一般是先观察,n,=1,，,2,，,3,时的命题的性质，对这几项进行归纳、分析，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法来证明,.,32,已知数列,a,n,是公差不为零的等差数列，且,a,4,是,a,2,与,a,8,的等比中项，设,b,n,=,a,n,a,n,+1,a,n,+2,，,S,n,为数列,b,n,的前,n,项和，试推断是否存在常数,p,，使对一切,n,N*都有,pa,1,S,n,=b,n,a,n,+3成立？说明你的理由.,解：,设数列,a,n,的公差为,d,(,d,0).,由已知，得,a,2,a,8,=,a,4,2,，,所以(,a,1,+,d,)(,a,1,+7,d,)=(,a,1,+3,d,),2,，,则,a,1,=,d,，所以,a,n,=,nd,.,33,(1),当,n,=1,时，所以,4,a,1,S,1,=,b,1,a,4,成立,.,(2),假设当,n=k,时，,4,a,1,S,k,=b,k,a,k,+3,成立,即,则,34,所以,4,a,1,S,k,+1,=,b,k,+1,a,k,+4,，,即,n=k,+1,时，有,4,a,1,S,n,=,b,n,a,n,+3,成立,.,综合,(1)(2),知，存在常数,p,=4,，,使对一切,n,N*,，,都有,pa,1,S,n,=,b,n,a,n,+3,成立,.,35,3.已知数列,a,n,满足:,证明：,证法1：,(1)当,n,=1时，,因为,所以不等式成立.,(2)假设当,n=k,时不等式成立，即,则,题型,5,用数学归纳法证数列不等式,36,因为,所以,37,所以,即当,n=k,+1时，,不等式成立.综合(1)(2)知，,对任意,n,N*都成立.,证法,2,：,(1),当,n,=1,时，,所以不等式成立,.,当,n,=2,时，,所以不等式成立,.,38,(2),假设当,n=k,(,k,2),时不等式成立，,即,因为函数,在,0,，上是增函数，,所以,39,即,所以当,n=k,+1,时不等式成立,.,综合,(1)(2),知，对任意,n,N*,都成立,.,40,证法,3,：,(1),同证法,1.,(2),假设当,n=k,时，不等式成立，,即 若,则,若,41,则,所以当,n=k,+1,时，不等式 成立,.,综合,(1)(2),知，,对任意,n,N*,都成立,.,42,点评：,用数学归纳法证明不等式的关键是“变形”，即在归纳假设的基础上通过放缩、比较、综合等证明不等式的方法，得到要证明的目标不等式,.,43,已知数列,a,n,的通项,求证：,证明：,(1),当,n,=1,时，,所以不等式成立,.,(2),假设,n=k,时，不等式成立，,即 成立,.,44,则当,n=k,+1,时，,所以当,n=k,+1,时，不等式成立,.,综合,(1)(2),知，对任意,n,N*,，,不等式都成立,.,45,1.,数学归纳法原理类似于“多米诺骨牌游戏”，其实质是逐一验证对一切从,n,0,开始的正整数，命题都成立，它是一种从有限验证无穷的数学方法,.,2.,归纳法是推理的方法，数学归纳法是证明的方法，由归纳法得出的结论不一定正确，只有用数学归纳法证明后才能确定其真实性,.,3.,“,归纳,猜想,证明”是求解某些探索性问题的一种重要的思想方法，它在数列问题中有着广泛的应用，必须熟练掌握,.,46,4.,数学归纳法应用中的存在性问题，应先取特殊值，求得参数取值，然后再用数学归纳法严格证明，不需再考虑参数其他取值情况,.,5.,在用数学归纳法证明数列不等式时，需要从问题要证的结论出发去寻找出过渡命题，探索并证明过渡命题成为此类问题的中心环节，而这一过渡命题又恰好是证明原命题的关键,.,这就是说，为方便用数学归纳法证明数列不等式，有时需要运用“变更命题”的技巧，这在证明数列不等式问题中经常用到,.,47,