高中数学必修2立体几何专题线面面面垂直专题总结.ppt

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线面垂直的判定,如图,2-4-2,所示，三棱锥,SABC,中，,SB=AB,，,SC=AC,，作,ADBC,于,D,，,SHAD,于,H,，求证：,SH,平面,ABC.,图,2-4-2,【,分析,】,考查线面垂直的判定定理,.,【,证明,】,取,SA,的中点,E,，连接,EC,，,EB.,SB=AB,SC=AC,SABE,SACE.,又,CEBE=E,SA,平面,BCE.BC,平面,BCE,，,返回目录,5,SABC.,又,ADBC,ADAS=A,BC,平面,SAD.,SH,平面,SAD,，,SHBC.,又,SHAD,ADBC=D,SH,平面,ABC.,【,评析,】,证明线面垂直，需先有线线垂直，抓住条件中两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过作辅助平面，找到所需要的另一条直线,.,6,在空间四边形,ABCD,中，,AB=AD,，,BC=CD.,求证：,BDAC.,如图，取,BD,的中点,K,，连接,AK,，,CK.,AB=AD,K,为,BD,中点，,AKBD.,同理,CKBD.,AKKC=K,BD,平面,AKC.,AC,平面,AKC,，,BDAC.,7,学点二 直线及平面所成的角,在正四面体,ABCD,中，,E,为,AD,的中点，求,CE,及底面,BCD,所成角的正弦值,.,【,分析,】,如图,2-4-3,所示，要求,CE,及底面,BCD,所成角的正弦值，首先要作出该角，其次应将其放在直角三角形内求解，所以应过,E,作底面的垂线,.,此时垂足所在位置特别关键,.,由,ABCD,为正四面体，那么,E,在底面,BCD,的垂足必在,BDC,的角平分线上，连接,CF,，根据条件找出边长即可,.,图,2-4-3,8,【,解析,】,如图,2-4-4,所示，作,AO,面,BCD,，,O,为垂足，连接,DO,并延长和,BC,交于,G,，则,G,为,BC,的中点,.,DGBC.,又,AOBC,，,BC,面,ADG.,作,EFDG,F,为垂足，则,BCEF,EF,面,BCD.,连接,FC,，则,ECF,是斜线,CE,及平面,BCD,所成的角,.,图,2-4-4,9,设正四面体的棱长为,a,，,则,AO=.,故,EF=AO=.,又,CE=,sinECF=.,即,CE,及底面,BCD,所成角的正弦值为,.,【,评析,】,求平面的斜线及平面所成的角的一般方法是：在斜线上找一具有特殊性的点，过该点向平面作垂线，连接垂足和斜足，即为斜线在平面上的射影，进而作出斜线及平面所成的角，再解直角三角形求出线面角的大小，同时要注意其取值范围,.,10,在三棱锥,OABC,中，三条棱,OA,，,OB,，,OC,两两互相垂直，且,OA=OB=OC,，,M,是,AB,边的中点，则,OM,及平面,ABC,所成角的正切值是,.,（如图，连接,MC,，则,OMC,为所求,.,在,RtOMC,中，,OM=OA,，,则,tanOMC=.,）,11,学点三,面面垂直的判定,如图,1-10-3,所示，过点,S,引三条不共面的直线，使,BSC=90,，,ASB=ASC=60,，若截取,SA=SB=SC.,求证：平面,ABC,平面,BSC.,【,分析,】,欲证面面垂直，需证线面垂直,.,故找出垂线是关键,.,12,【,证明,】,证法一：如图,1-10-4,所示,取,BC,的中点,D,，连接,AD,，,SD.,由题意知,ASB,及,ASC,是等边三角形，则,AB=AC,，,ADBC,SDBC.,令,SA=a,在,SBC,中，,SD=a,又,AD=a,AD,2,+SD,2,=SA,2,即,ADSD.,又,ADBC,，,AD,平面,SBC.,AD,平面,ABC,，,平面,ABC,平面,SBC.,13,证法二,：,SA=SB=SC=a,又,ASB=ASC=60,ASB,ASC,都是等边三角形,.,AB=AC=a.,作,AD,平面,BSC,于点,D,，,AB=AC=AS,D,为,BSC,的外心,.,又,BSC,是以,BC,为斜边的直角三角形，,D,为,BC,的中点，,故,AD,平面,ABC.,平面,ABC,平面,SBC.,14,【,评析,】,证明面面垂直有两个途径：一是定义，二是证明线面垂直,.,两者都是通过线线垂直来完成,.,如果题目中给出了线段长度、角度等条件，可考虑用勾股定理证线线垂直，所以空间问题平面化是解决立体几何问题的重要思想,.,15,证明：,取,BD,的中点,E,，连接,AE,，,CE.,则,AEBD,BDCE.,在,ABD,中，,AB=a,BE=BD=,AE=,同理,CE=.,在,AEC,中，,AE=EC=,AC=a,AC,2,=AE,2,+EC,2,，即,AEEC.,BDEC=E,AE,平面,BCD.,又,AE,平面,ABD,，,平面,ABD,平面,BCD.,如图,1-10-5,所示，在四面体,ABCD,中，,BD=a,AB=AD=BC=CD=AC=a.,求证：平面,ABD,平面,BCD.,16,学点四 二面角大小的求法,如图,2-4-8,所示，在长方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB=2,，,BC=BB,1,=1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求二面角,EBDC,的正切值,.,【,分析,】,求二面角大小，关键作出二面角的平面角,.,由于,E,在平面,DCC,1,D,1,内且平面,DCC,1,D,1,平面,BCD,，因此易作出平面角,.,图,2-4-8,17,【,解析,】,如图,2-4-9,所示，,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,是长方体，,图,2-4-9,过,E,作,EFCD,于,F,，则,EF,面,BCD,，且,F,为,CD,中点，过,F,作,FGBD,于,G,，连接,EG,，则,EGBD.,于是,EGF,为二面角,EBDC,的平面角,.,BC=1,，,CD=2,，,GF=,而,EF=1,，在,EFG,中，,tanEGF=.,所求二面角的正切值为,5.,18,【,评析,】,二面角的“作、证、求”是解决二面角的必由之路，二面角的平面角的作法是解决问题的关键，二面角的平面角的作法通常有：,（,1,）定义法：在棱上任取一适宜点，分别在二面角两半平面内作棱的垂线,.,（,2,）垂面法：过一点作棱的垂面，交线所成角即为平面角,.,（,3,）投影法：利用,S,投影面,=S,被投影面,cos.,（,4,）对无棱二面角一般通过在两个面内寻找共面直线，作出棱,.,19,已知正四棱锥的体积为,12,，底面对角线的长为,26,，则侧面及底面所成的二面角等于,.,（设,O,为底面,ABCD,的中心，,E,为,BC,边,的中点，则,PEO,即为侧面及底面所成二面角的平面角，,底面对角线的长为,2,，,底面边长为,2 .,又,V=Sh=12.,OE=,高,OP=3,，,tanPEO=3.,PEO=.,即侧面及底面所成的二面角为 ）,20,1.,怎样理解线面垂直的判定定理？,直线和平面垂直的判定定理，应抓住“两条”和“相交”这两个关键词语,.,要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，是无关紧要的,.,2.,怎样理解直线和平面所成的角？,直线和平面所成的角问题中主要是斜线和平面所成角问题,.,斜线和平面所成角的定义中给出了求解斜线和平面所成角的步骤：,确定斜线和平面的交点（即斜足）；,21,经过斜线上除斜足以外的任意一点作平面的垂线，从而确定斜线的射影；,由垂线段、斜线段及其射影构成的直角三角形，,通过解此三角形，得到斜线和平面所成的角，同,时要注意直线和平面所成角的范围,.,在求解斜线和平面所成角的过程中，确定点在直线上或平面上的射影是关键，确定点在平面上射影位置有以下几种方法：,斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面上的射影上；,利用垂直关系得出线面垂直，确定射影,.,22,3.,如何用两平面垂直的定义证明平面及平面垂直,?,两平面垂直实际上是由直线及平面垂直和线线垂直来定义的，利用这个定义可直接证明两平面垂直，其步骤为：,（,1,）找到两个相交平面,的交线,a,及这两个平面及第三个平面,相交所得到的两条交线,b,c;,（,2,）证明,a,bc;,（,3,）根据定义，得到,.,4.,在二面角的学习中应注意什么问题,?,（,1,）二面角的平面角的概念应注意强调,:,顶点在二面角的棱上,两条边分别在二面角的两个面内,且这两条边都垂直于二面角的棱,这样选取的角的大小及角的位置的选取无关,.,返回目录,23,(2),画二面角的平面角时,使平面角的两边分别平行于,表示两个半平面的平行四边形的一组对边,即表明垂,直于二面角的棱,平面角,AOB,的大小及,D,点的位置,无关,.,(3),二面角的计算方法,:,定义,.,作二面角的平面角,在棱上取一点,分别在两个面内作棱的垂线,这两条射线组成二面角的平面角,.,利用定义作二面角的平面角,关键在于找棱及棱上的特殊点,.,学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用,.,用垂面法,.,作二面角的平面角,作垂直于二面角的棱或二面角的两个半平面的垂面,则该垂面及二面角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角,.,24,1.,直线及直线垂直,两直线垂直是指它们的交角或平移后的交角为直角，两条直线不一定相交,.,在平面几何中，两直线垂直时，它们一定相交,.,2.,直线和平面垂直,（,1,）直线和平面垂直的定义可以用来判定线线垂直，即当直线和平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线，可以把它作为线线垂直的判定定理,.,（,2,）要判定一条直线是否和一个平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要,.,25,（,3,）教材中例,1,可以作为结论使用：,过一点和已知平面垂直的直线只有一条,.,（,4,）如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，可作为两直线平行的一种判定方法,.,3.,（,1,）线面垂直的定义中的,“,任何一条直线,”,这一词语，它及,“,所有直线,”,是同义词，即直线和平面内的所有直线垂直,.,（,2,）线面垂直的判定定理的条件中，,“,平面内的两条相交直线,”,是关键性词语，证明时一定要明确指出，弄清定理的条件是掌握好定理的关键,.,（,3,）转化思想在本学案中的应用,:,线线垂直 线面垂直,.,在转化时要弄清相互转化的条件，根据具体问题灵活选取恰当的证明方法,.,26,4,.,证面面垂直的方法：,（）证明两平面构成的二面角的平面角为,90.,（）证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，将证明“面面垂直”的问题转化为证明线面垂直的问题,.,(3),证明一个平面垂直于另一个平面内的一条直线，将证明“面面垂直”的问题转化为证明“线面垂直”的问题,.,5,.,空间中角的概念及计算是立体几何的重要内容，求角的步骤是：,（,1,）找出或作出有关的图形；,（,2,）证明它符合定义；,（,3,）计算,.,即“一作、二证、三计算”,.,27,谢谢！,