计数原理排列组合复习课-高三一轮复习.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,计数原理排列组合复习课 高三一轮复习,计数原理排列组合复习课 高三一轮复习计数原理排列组合复习课 高三一轮复习,通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。,两个计数原理,排列，排列数公式,组合，组合数公式,应 用,【,例,1】,有两个袋子，其中一个袋子装有,20,个红色小球，每个,球上标有,1,至,20,中的号码，另一个袋子装有白色小球,15,个，每个球上标有,1,至,15,中的号码，,(1),从袋子中任取一个小球，有多少种不同的取法？,(2),从袋中任取红白球各一个，有多少种不同的取法？,点评：分清是“分类”还是“分步”是,区别应用这两个原理的关键所在,分析,：,分类：方法可分类，类与类是并列关系，一类方法能完成一件事；,分步：过程需分步，步与步是前后相继的关系，一步不能完成一件事情，几步共同才,解：,(1),分两类,：从红球中任取一个有,20,种不同的取法,从白球中任取一个有,15,种不同的取法,由分类计数原理得,20,15,35(,种,),即共,35,种不同取法,(2),分两步,：从红球中任取一个有,20,种不同的取法；,从白球中任取一个有,15,种不同的取法，,由分步计数原理得,2015,300(,种,),即共,300,种不同取法,能完成一件事。,1,、分类、分步两个原理的区别与联系,分类计数原理,分步计数原理,定 义,做一件事，完成它可以有,n,类办法，,第一类办法中有 种不同的方法，,第二类办法中有,种不同的方法，,，,第,n,类办法中有 种不同的方法，,那么完成这件事共有,种不同的方法,.,做一件事，完成它可以有,n,个步骤，,做第一步中有 种不同的方法，,做第二步中有 种不同的方法,，,做第,n,步中有 种不同的方法，,那么完成这件事共有,种不同的方法,.,相同点,做一件事或完成一项工作的方法数,不同点,直接（,分类,）完成,间接（,分步骤,）完成,名称,内容,【,巩固练习,】,已知集合,M,3,2,1,0,1,2,P,(,a,b,),是平面 上点，,(1),P,可表示多少个不同的点？,(2),P,可表示多少个坐标轴上的点？,(2),分三类,：,第一类：,P,为,x,轴上,(,除原点,),的点有,5,种，,第二类：,P,为,y,轴上,(,除原点,),的点有,5,种，,第三类：,P,为原点有,1,种，,由分类计数原理得,5,5,1,11(,种,),，,P,可表示,11,个坐标轴上的点,解：,(1),分两步,：,第一步：先确定横坐标,a,有,6,种不同的选法；,第二步：再确定纵坐标,b,有,6,种不同的选法，,由分步计数原理得,66,36(,种,),，,P,可表示,36,个不同的点,【,例,2,】,用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一,种颜色，,(1),共有多少种不同的涂色方法？,(2),若要求相邻,(,有公共边,),的区域不同色，那么共有多少,种不同的涂色方法？,1,2,3,4,解：,(1),由分步计数原理可知，共有,=625,种；,(2),只有,2,和,4,可同色。若,2,，,4,不同色有 种，,若,2,，,4,同色，有 种，共有,120+60=180,种。,分析,：,有,5,种,有,5,种,有,5,种,有,5,种,分析,：,1,2,3,4,2,1,5,3,4,=420,（种）,解：,按颜色分类，有三类不同的着色方法：,（,1,）涂,5,色：有 种；,（,2,）涂,4,色：有 种,.,由分类计数原理，不同的着色方法有：,（,3,）涂,3,色：有 种,.,练习,如图，一个地区分为,5,个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有,5,种颜色可供选择，则不同的着色方法共有,种（以数字作答）,.,【,例,3,】,有,4,名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限,报一科，有多少种不同的报名方法？,有,4,名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军，有多,少 种不同的结果？,分析：,4,名学生报名参加竞赛，不得兼报，是,“,人选科目,”,，每人都有,3,种不同的,报名方法，可把,4,名学生报名视为,4,个步骤,，用分步计数原理,；,4,名学生争夺三项冠军，因每位冠军只能是一名学生获得，故应是,“,科目选,人,”,，每个科目的冠军都有,4,种可能，将,3,个科目选冠军视为,3,个步骤，也应,用分步计数原理,解：,4,名学生中，每人都要选报数学、物理、化学中的一科，,根据分步计数原理，共有 种报名方法,4,名学生争夺数学、物理、化学三项冠军，每一项冠军,都有,4,种不同的结果，共有 种不同的结果。,2,、排列和组合的区别和联系,名 称,排 列,组 合,定义,从,n,个,不同元素,中取出,m,个元素，,按一定的顺序,排成一列,从,n,个,不同元素,中取出,m,个元素，,把它并成,一组,种数,所有排列的的个数,所有组合的个数,符号,计算,公式,关系,性质,区别,先选后排,只选不排,【,算一算,】,(1),计算,(2),解方程,(3),排列应用题的求解应着眼的三个方面：,(1),问题的结果是否与顺序有关，能否归结为排列问题；,(2),问题中的几个元素指的是什么，,m,个元素的一个排列对应着,的事件是什么；,(3),从,n,个元素中每次取出,m,个元素的一个排列对应着的事件是,什么,一、特殊优先原则,在有限制的问题中，优先考虑特殊,元素,或特殊,位置,三大原则：,二、先取后排原则,先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题。,三、正难则反原则,若从正面直接解决问题有困难时，则考虑排除法：先不管约束条件，求出总数，再剔除不合要求的部分,采用策略：,（,1,）,特殊,位置,/,元素优先,排列,的策略：,（,2,）,合理分类与准确分步,的策略；,（,3,）,排列、组合混合问题先选后排,的策略；,（,4,）,正难则反、等价转化,的策略；,（,5,）,相邻问题捆绑处理,的策略；,（,6,）,不相邻问题插空处理,的策略,；,（,7,）,定序问题除法处理,的策略,；,（,8,）,分排问题直排,的策略,（一排考虑，分段研究）,.,排列,:,顺序；,【,例,1,】,7,人按下述要求排成一列，分别有多少种不同的站法？,(1),甲不站在两端；,(2),甲、乙必须站在两端；,(3),甲、乙,不相邻；,(4),甲、乙必须相邻；,(5),甲、乙之间相隔,2,人；,(6),甲在乙的前面,(,可以不相邻,),a,c,b,d,e,g,f,分析：,由于元素甲、乙有特殊要求，故可采用优先元素或位置优先排列,解：,(1),(,特殊位置分析法,),由于甲不站在两端，可先从除甲外,的,6,人中任选,2,人站于两端共有 种方法，再将所剩,5,人在所剩,5,个位置上进行全排列有 种方法，故共有,种不同的站法,(,间接法,),7,人全排列共有 种，其中甲在两端者有,种，故甲不在两端的所有站法，共有 种,(,特殊元素分析法,),由于甲不站在两端，故甲只能站在中间五,个 位置之一，有 种，余下的,6,人进行全排列共有 种，,由分步计数原理得，共有种 不同的站法,(2),先排甲、乙于两端有 种排法，再让余下的,5,人进行排,有 种，故甲、乙站在两端的所有排法有 种排法,(3),(,插空法,),由于甲、乙不相邻，故先排除了甲、乙以外的,5,人，,有 种排法，再将甲、乙两人插入,6,个空档有 种，由分,步计数原理得,:,甲、乙不相邻的排法有 种不同的排法,a,c,b,d,e,分析,(,间接法,),7,人全排列有 种，其中甲、乙相邻者有 种，,从而甲、乙不相邻者有 种不同的排法,(4),(,捆绑法,),设想将甲、乙,2,人并作一人，与其余,5,人进行全排列，,共有 种排法，又此,2,人的位置可交换，即有 种排法，于,是共有 种不同的排法,a,c,b,d,e,g,f,分析,(5),先从另,5,人中选,2,人排于甲、乙之间，有 种排法，又甲、乙,2,人的排法有 种，最后将甲、乙及其中间,2,人共,4,人并作一,个元素，与其余,3,人排列列有 种排法，故共有 种,不同的排法,(6),(,整体、对称法,),注意到甲在乙前与甲在乙后的排法一样多，,故共有 种排法,点评：“,先,”与“,后,”，“,并,”与“,插,”都是辨证的，是可以互相转化的，在处理限位排列问题时，应灵活运用上述方法与策略,考点四定序问题消序,(,定序元素后排,),策略,【,例,3】,7,人排队,其中甲乙丙,3,人顺序一定共有多少不同的排法？,【,练,】,用,1,2,3,4,5,6,7,8,9,组成没有重复数字的十位数字小于个位数字的五位数共有多少个？,【,练,】,某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为,（）,30,考点六,.,多排问题直排策略,例7.,8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在,前排,丁在后排,共有多少排法？,解:,8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以,把椅子排成一排.,先在前4个位置排甲乙两,个特殊元素有_种,再排后4个位置上的,特殊元素有_种,其余的5人在5个位置,上任意排列有_种,则共有_种,.,前排,后排,一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究,.,点拨,:,先不考虑定序的条件,排好后再除以要求定序的,元素的全排列数,.,变式,10,人身高各不相等,排成前后排,每排,5,人,要求,从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？,【,小试牛刀,】,(1),从,a,b,c,d,4,名学生中选出,2,名完成一件工作，,有多少种不同的选法？,(2),从,a,b,c,d,4,名学生中选出,2,名完成两件不同的工作，,有多少种不同的选法？,组合,：,无顺序,问题：将,4,本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？,(1),分成两组，一组,3,本，另一组,1,本；,(2),平均分成两组；,分组问题,分组不定向分配问题,(3),分成三组，一组,2,本，另两组各,1,本；,(4),分给甲、乙两人，甲,3,本，乙,1,本；,(5),分给甲、乙两人，,1,人,3,本，另,1,人,1,本；,1.,把,abcd,分成平均两组,ab,cd,ac,bd,ad,bc,有,_,多少种分法？,C,4,2,C,2,2,A,2,2,3,cd,bd,bc,ad,ac,ab,这两个在分组时只能算一个,平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以,A,m,m,，即,m!,，其中,m,表示组数。,分组问题,2.,把,abcdef,分成平均三组,有,_,多少种分法？,分组问题,ab,cd,ef,ab,ef,cd,cd,ab,ef,cd,ef,ab,ef,ad,cd,ef,cd,ab,ac,de,ef,这,6,个在分组时只能算一个,平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以,A,m,m,，即,m,!,，其中,m,表示组数。,C,6,2,C,4,2,A,3,3,15,1.,把,abcd,分成两组，一组,3,个，一组,1,个，,abc,d,abd,c,acd,b,有,_,多少种分法？,C,4,3,C,1,1,4,bcd,a,分组总共有,4,种,分组问题,:(,不平均分组,),有 种方法；,可先分,3,本的一组，再分,1,本的一组，这是连续进行的过程，因此应采用分步法,将,4,本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？,范例,(1),分析：,解：,第,1,步：从,4,本书中任取,3,本分给,3,本的一组，,第,2,步：余下的,1,本书分给,1,本的一组，,根据乘法原理，共有,=4,种不同分法,分组问题,(1),分成两组，一组,3,本，另一组,1,本；,分二步,有 种分法；,不平均分组，,无分配目标,范例,将,4,本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？,有 种方法；,解：,由于分步处理过程使分组产生了顺序，要用“除法”消序,第二步，再分余下的,2,本书得到另一组，,有 种分法；,故符合要求的分法有,=3,种不同分法,(2),平均分成两组；,第一步，先从,4,本书中分得,2,本得到一组，,全部平均分配，,无分配目标,范例,将,4,本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？,有 种分法；,解：,由于分步处理使后面二组产生了先后顺序，要用“除法”消序,第二步，再从余下的,2,本书中分,1,本得到另一组，,有 种分法；,故符合要求的分法有,=3,种不同分法,(3),分成三组，一组,2,本，另两组各,1,本；,第一步，先从,4,本书中分,2,本得到一组，,部分平均分配，,无分配目标,第三步，余下最后,1,本书得到最后一组，,有 种分法；,问题：将,4,本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？,(1),分成两组，一组,3,本，另一组,1,本；,(2),平均分成两组；,1.,非均分无分配对象的问题,一、分组不分配问题,分组不定向分配问题,2.,均匀分组无分配对象的问题,3.,部分均分无分配对象的问题,(3),分成三组，一组,2,本，另两组各,1,本；,将,4,本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？,(4),分给甲、乙两人，甲,3,本，乙,1,本；,(5),分给甲、乙两人，,1,人,3,本，另,1,人,1,本；,分组且分配问题,分组定向分配问题,分组不定向分配问题,有 种方法；,可先分给甲，再分给乙，这是连续进行的过程，因此应采用分步法,(2),分析：,解：,第,1,步：甲从,4,本书中分得,3,本，,第,2,步：乙分得余下的,1,本书，,根据乘法原理，共有,=4,种不同分法,分二步：,有 种分法；,不平均分组，,有分配目标且明确,有 种分法；,解：,第,1,步：先从,4,本书中分得,3,本得到一组，,第,2,步：余下的,1,本书得到另一组，,有 种分法；,根据乘法原理，共有,=8,种不同分法,第,3,步：将分好的两组再分给甲、乙两人，,有 种分法；,不平均分组，,有分配目标，但不明确,【,典型例题,】12,本不同的书，按下列方法分堆，共有多少种不,同的方法？,(1),分成,A,、,B,、,C,三堆，每堆,4,本；,(2),分成,A,、,B,、,C,三堆，,A,为,6,本，,B,、,C,各为,3,本；,(3),平均分成三堆，每堆,4,本；,(4),分成三堆，其中一堆,6,本，另两堆各,3,本；,(5),分成五堆，其中两堆每堆,3,本，另外三堆每堆,2,本,分析,：,4,4,4,4,4,4,A,B,C,?,堆有编号，分堆有顺序；平均分堆，堆无编号，堆与堆之间无顺序,。,(2),同,(1),可得：共有 种分堆方法,(3),共有 种不同的分堆方法,(4),共有 种不同的分堆方法,(5),共有 种不同的分堆方法,解：,(1),A,堆得,4,本书有 种方法，,B,堆得,4,本书有 种方法，,C,堆得,4,本书有 种方法，由分步计数原理得：,共有 种不同的分堆方法,点评：平均分堆问题与顺序无关,练习：,有,12,个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数,（,1,）分为两组，一组,7,人，一组,5,人；,（,2,）分为甲、乙两组，甲组,7,人，乙组,5,人；,（,3,）分为甲、乙两组，一组,7,人，一组,5,人；,（,4,）分为甲、乙两组，每组,6,人；,（,5,）分为两组，每组,6,人；,（,6,）分为三组，一组,5,人，一组,4,人，一组,3,人；,（,7,）分为甲、乙、丙三组，甲组,5,人，乙组,4,人，丙组,3,人；,（,8,）分为甲、乙、丙三组，一组,5,人，一组,4,人，一组,3,人；,（,9,）分为甲、乙、丙三组，每组,4,人；,（,10,）分为三组，每组,4,人,【,探索与研究,】,如图，某城市有,6,纵,7,横共,13,条马路，汽车从图示,A,处行驶,至,B,处，行驶方向规定只能是正东向或正北向，则不同的,行驶路径有多少条？,分析：从,A,行驶到,B,，共需走,11,“,段,”,路，其中横路,5,段，纵路,6,段，而且我们知道，任意一条路径都是,5,横,6,纵共,11,段路组成从而问题转化为在,11,段路径中无顺序地确定,5,段横路的位置，这是一个组合问题,解：,共有 条不同的路径,点评：对于较复杂的排列组合问题，,充分挖掘出问题的,简化模型,，往往是,我们快捷而准确地解决问题的关键,2.(2016课标全国,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的,老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为,(),A.24B.18C.12D.9,答案,B分两步,第一步,从EF,有6条可以选择的最短路径;第二步,从FG,有3条可以选择,3=18条可以选择的最短路径.故选B.,3,、课堂小结,1.,正确区分、合理运用两个计数原理；,2.,真正理解排列与组合的区别和联系；,排列,-,顺序,；组合,-,无顺序,3.,掌握求解排列、组合的典型方法。,间接法、捆绑法、插空法、整体对称法,等,补充习题,例,6.,用,0,l,2,3,4,5,这六个数字，,（,l,）能组成多少个无重复数字的四位偶数？,（,2,）能组成多少个无重复数字且为,5,的倍数,5,位数？,（,3,）能组成多少个比,1325,大,无重复数字,的四位数？,（,4,）能组成多少个无重复数字的且奇数在奇数位上的六位数字？,解：,（,2,）符合条件的可分为二类：,第一类：,0,在个位时有 个；,第二类：,5,在个位时有 个；,由分类计数原理得，符合条件的五位数,=216,（个）,解：,（,3,）符合条件的可分为三类：,第一类：千位数字为,2,、,3,、,4,、,5,时有 个；,第二类：千位百位数字为,14,、,15,时有 个；,由分类计数原理得，符合条件的数共有,=270,（个）,第三类：千位百位十位数字为,134,、,135,时有 个；,例,5,用,0,l,2,3,4,5,这六个数字，,（,l,）能组成多少个无重复数字的四位偶数？,（,2,）能组成多少个无重复数字且为,5,的倍数,5,位数？,（,3,）能组成多少个比,1325,大,无重复数字,的四位数？,（,4,）能组成多少个无重复数字的且奇数在奇数位上的六位数字？,解：,（,4,）先将,1,，,3,，,5,在奇数位上排列，有 种，,再将其余,3,个偶数排在剩余,3,个位置上排列，共有 种，,由分步计数原理得，共有 种排法，,=24,（个）,而其中,0,在首位上时不合题意，有 种，,所以符合条件的数共有,例,5,用,0,l,2,3,4,5,这六个数字，,（,l,）能组成多少个无重复数字的四位偶数？,（,2,）能组成多少个无重复数字且为,5,的倍数,5,位数？,（,3,）能组成多少个比,1325,大,无重复数字,的四位数？,（,4,）能组成多少个无重复数字的且奇数在奇数位上的六位数字？,谢 谢！,【,小试牛刀,】,(1),从,a,b,c,d,4,名学生中选出,2,名完成一件工作，有 种不同的选法？,(2),从,a,b,c,d,4,名学生中选出,2,名完成两件不同的工作，有 种不同,的选法？,(3),a,b,c,d,4,个足球队之间进行单循环比赛，共需踢 场？,(4),a,b,c,d,4,个足球队争夺冠亚军，有 种不同的结果？,【,典型例题,】,求方程 的正整数解的个数,+,+,+,=7,分析,1 2 2 2,1 1 2 3,1 1 1 4,法,1,组合,：,无顺序,1 +1 +1 +1 +1 +1 +1=7,1 +1 +1 +1 +1 +1 +1=7,1 +1 +1 +1 +1 +1 +1=7,法,2,解：,法一 共有 种,法二 共有 种,点评：,此题新颖,，解题过程中用到的都是基本知识和基本方法，但要通过分析、构想、调动基本知识和基本方法解题解法一应有较强的分类讨论处理问题的意识；解法二通过转化，化归为熟悉的插空问题由此还可以求解本类问题更一般的情形,1,有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条件，各有多少种不同的分法？,（,1,）每人各得两本；,（,2,）甲得一本，乙得两本，丙得三本；,（,3,）一人一本，一人两本，一人三本；,（,4,）甲得四本，乙得一本，丙得一本；,（,5,）一人四本，另两人各一本,.,(3),(4),(5),C,5,2,C,3,3,C,6,1,A,3,3,C,5,2,C,3,3,C,6,1,C,2,1,C,1,1,C,6,4,A,3,1,C,2,1,C,1,1,C,6,4,(2),C,4,2,C,2,2,C,6,2,(1),分组问题,