函数的单调性知识点汇总及典型例题(高一必备).pdf

1第二讲：函数的单调性第二讲：函数的单调性一、定义：一、定义：1.设函数的定义域为,如果对于定义域内的某个区间内的任意任意两)(xfy IID个自变量的值，当时，都有那么就说在区间上21,xx21xx),()(21xfxf)(xfD是增函数.区间叫的单调增区间.D)(xfy 注意：注意：增函数的等价式子：;0)()(0)()()(21212121xxxfxfxfxfxx难点突破：（难点突破：（1 1）所有函数都具有单调性吗？）所有函数都具有单调性吗？（2 2）函数单调性的定义中有三个核心函数单调性的定义中有三个核心 函数函数为为21xx)()(21xfxf)(xf增函数增函数,那么那么中任意两个作为条件，能不能推出第三个？中任意两个作为条件，能不能推出第三个？2.设函数的定义域为,如果对于定义域内的某个区间内的任意两)(xfy IID个自变量的值，当时，都有那么就说在区间上21,xx21xx),()(21xfxf)(xfD是减函数.区间叫的单调减区间.D)(xfy 注意：注意：(1)减函数的等价式子：；0)()(0)()()(21212121xxxfxfxfxfxx (2)若函数为增函数，且.)(xf)()(,2121xfxfxx则题型一：函数单调性的判断与证明题型一：函数单调性的判断与证明例例 1.1.已知函数的定义域为，如果对于属于定义域内某个区间上的任意)(xfRI两个不同的自变量都有则（）21,xx.0)()(2121xxxfxfA.在这个区间上为增函数 B.在这个区间上为减函数 )(xf)(xfC.在这个区间上的增减性不变 D.在这个区间上为常函数 )(xf)(xf2变式训练：变式训练：定义在上的函数对任意都有，且R)(xf120 xx 1)()(2121xxxfxf函数的图象关于原点对称，若则不等式的解集为)(xfy,2)2(f0)(xxf_.例例 3.3.证明：函数在上是增函数.xxxf3)(R变式训练：变式训练：讨论的单调性.并作出当时函数的图象.)0()(axaxxf1a变式训练：已知变式训练：已知并用上的单调性，在判断函数)1,0()()(,2)1(2xxfxgxxxf定义证明.易错点：易错点：3题型二：函数的单调区间题型二：函数的单调区间难点突破：（难点突破：（1 1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？调函数吗？（2 2）函数）函数的单调减区间是的单调减区间是上吗？上吗？xxf1)(),0()0,(U例例 1.1.（图像法）（图像法）求下列函数的单调区间（1）.(2).|2|1|)(xxxf3|2)(2xxxf（3）.|54|)(2xxxf例例 2.2.（直接法）（直接法）求函数的单调区间.xxxf11)(例例 3.3.（复合函数）（复合函数）（20172017 全国二）全国二）函数 的单调递增区间2()ln(28)f xxx是()A.B.C.D.)2,()1,(),1(),4(易错点：易错点：区间端点的区间端点的确认确认多个单调区间的写法多个单调区间的写法易错点：易错点：4变式训练：变式训练：求下列函数的单调区间.（1）（2）312xxy652xxy（3）22311xxy题型三：抽象函数的单调性问题题型三：抽象函数的单调性问题例例 1.1.设函数是实数集上的增函数，令.)(xfR)2()()(xfxfxF(1)证明：是上的增函数；)(xFR(2)若求证：.,0)()(21xFxF221 xx例例 2 2 定义在上的函数满足下面三个条件：),0()(xf对任意正数，都有；ba,)()()(abfbfaf当时，；1x0)(xf.1)2(f（1）求的值；)1(f（2）使用单调性的定义证明：函数在上是减函数；)(xf),0(5（3）求满足的的取值集合.2)13(xfx题型四：函数单调性的应用题型四：函数单调性的应用（1 1）利用函数的单调性比较大小利用函数的单调性比较大小在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间转化到同一个单调区间上.正向应用：正向应用：逆向应用：逆向应用：例例 1.1.在上单调递减，那么与的大小关系是_.xf,012 aaf43f变式训练：变式训练：已知函数且对任意的，有),1()1()(xfxfxf满足)(1,2121xxxx设则的大小关系_._.0)()(2121xxxfxf),3(),2(),21(fcfbfacba,（2 2）利用函数的单调性解不等式利用函数的单调性解不等式例例 2.2.设是定义在上的增函数，且成立，求的取值)(xf 1,1)1()2(xfxfx范围.易错点：易错点：6变式训练变式训练.设是定义在上的偶函数，当时，单调递减，)(xf3,330 x)(xf若成立，求的取值范围.)()21(mfmfm（20152015 全国二）全国二）设函数成立的)12()(,11)1ln()(2xfxfxxxf则使得的取值范围是（）xA.B.C.D.)1,31(),1()31,(U)31,31(),31()31,(U（20182018 全国一）全国一）设函数，则满足的 x 的取值范围 201 0 xxf xx，12f xfx是（）ABCD1，0，10，0，（3 3）根据函数的单调性求参数的取值范围）根据函数的单调性求参数的取值范围例例 1.1.如果函数在区间上是增函数，则实数的取1)1(42)(2xaxxf),3 a值范围是（）A.（1,2）B.（0，2）C.（0，1）D.,2变式训练：变式训练：如果函数在区间上是减函数，求实数2)1(2)(2xaxxf)4,的取值范围.a7例例 2.2.若函数在上为增函数，则实数的取值范围0,)2(,0,1)12()(2xxbxxbxbxfRb是_.例例 3.3.若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.|axy4,(a第三节：函数的奇偶性第三节：函数的奇偶性一、知识梳理一、知识梳理1.1.函数的奇偶性函数的奇偶性例例 1 1（20142014 全国二）全国二）偶函数的图象关于直线对称，则)(xfy 2x3)3(f_)1(f例例 2 2（20172017 全国二）全国二）已知函数是定义在 R R 上的奇函数，当时，()f x(,0)x，则_.32()2f xxx(2)f例例 3 3（20122012 全国二）全国二）设函数的最大值为，最小值为，1sin)1()(22xxxxfMm奇偶性定义图象特点备注奇函数设函数的定义域为,如果)(xfy D对内的任意一个,都有D,且Dxx,则这个函数叫做奇函数 xfxf关于原点中心对称函数是奇函)(xf数且在处有0 x定义,则0)0(f偶函数设函数的定义域为,如果对)(xfy D内的任意一个,都有,且DxDx,则这个函数叫做偶函数 xfxf关于轴对称y易错点：易错点：易错点：易错点：8则+=_.Mm2.2.函数的图象函数的图象(1)(1)平移变换：平移变换：“上加下减，左加右减”例例 4 4（20102010 全国二）全国二）设偶函数满足，则)(xf)0(42)(xxfx（）0)2(|xfxA.B.42|xxx或40|xxx或C.D.22|xxx或42|xxx或(2)(2)对称变换对称变换；)()(xfyxfyx轴对称关于；)()(xfyxfyy轴对称关于；)()(xfyxfy关于原点对称;)10(log)10(aaxyaaayaxyx且且对称关于奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于轴对称.y(3)(3)翻折变换翻折变换.|)(|)(xfyxfyxx轴下方图象翻折上去轴上方图象，将保留例例 5 5（20102010 全国二）全国二）已知函数,若均不相等，且621100|,lg|)(xxxxfcba,则的取值范围是(),()()(cfbfafcbaA.B.C D.)10,1()6,5()12,10()24,20(例例 6 6（20112011 全国二）全国二）已知函数的周期为 2，当时，那()yf x 1,1x 2()f xx么函数的图象与函数的图象的交点共有（）()yf x|lg|yxA10 个 B9 个 C8 个 D1 个.)|()()(xfyxfyyxfyy轴左侧的图象）在轴对称的图象（去掉原于轴右边图象，并作其关保留例例 7 7（20112011 全国二）全国二）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（(0,)9）A.B C D3yx|1yx21yx|2xy例例 8 8（20102010 大纲）大纲）直线与曲线有四个交点，则的取值范围1yaxxy|2a是_.(4)(4)函数图象的几种对称关系函数图象的几种对称关系满足图象关于直线为轴对称；Rxxf),()()()(xfyxafxafax 例例 9 9（20182018 全国二）全国二）已知是定义域为的奇函数，满足)(xf),(，若=2，则（）)1()1(xfxf)1(f)50(.)3()2()1(ffffA50 B0 C2 D50图象关于为轴对称；)()()(xfxbfxaf2bax函数与函数的图象关于直线对称.)(xafy)(xbfy2abx 如：和的图象，关于直线为轴对称.)(xfy)1(xfy21x例例 1010（20152015 全国二）全国二）已知函数则），的图像过点（4,1-2)(3xaxxf=_.a二、真题演练二、真题演练1.1.（20142014 全国一）全国一）设函数的定义域为，且是奇函数，是)(),(xgxfR)(xf)(xg偶函数，则下列结论中正确的是（）A.是偶函数 B.是奇函数 )()(xgxf)(|)(|xgxf C.是奇函数 D.是奇函数|)(|)(xgxf|)()(|xgxf2.2.（20152015 全国一）全国一）已知函数，且，则1),1(log1,22)(21xxxxfx3)(af=()6(afA.-B.-C.-D.-745434143.3.（20152015 全国一）全国一）设函数的图像关于直线对称，且)(xfy xy10,则（）1)4()2(ffaA.-1 B.1 C.2 D.44.4.（20172017 全国一）全国一）函数的部分图像大致为（）xxycos12sin5.5.（20172017 全国一）全国一）已知函数，则（）)2ln(ln)(xxxfA.B.）单调递增在（2,0)(xf）单调递减在（2,0)(xfC.D.对称的图像关于直线1)(xxfy）对称的图像关于点（0,1)(xfy 6.(20176.(2017 全国三全国三)函数的部分图像大致为（）2sin1xyxx A B C D二、课后作业二、课后作业 1.若奇函数在上是增函数且最大值为 5，那么在上是（）)(xf 7,3)(xf3,7 A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是55C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是55112.若是偶函数，则在上（）32)1()(2mxxmxf)(xf1,4 A.是增函数 B.是减函数 C.不具有单调性 D.单调性由的值确定m3.已知函数若为奇函数，则_.1,21xf xa f xa 4.函数是定义在上的奇函数，且,求函数的21xbaxxf）（)1,1(5221）（f)(xf解析式_.第四节：函数的零点第四节：函数的零点一、知识梳理一、知识梳理零点：零点：方程的解；函数图象与轴交点的横坐标.0)(xf)(xfx函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标.)()()(xgxfxF)(xf)(xg零点存在定理：函数在定义域上连续，若，则在)(xfba,0)()(bfaf)(xf定义域上一定存在零点.ba,例（例（20112011 全国二）全国二）在下列区间中，函数的零点所在的区间为()43xf xex（）A B C D1(,0)41(0,)41 1(,)4 21 3(,)2 42、真题演练真题演练1.1.（20172017 全国三）全国三）已知函数有唯一零点，则=（211()2()xxf xxxa ee a12）ABCD11213122.(20182.(2018 全国一全国一)已知函数，若存在0,ln0,)(xxxexfxaxxfxg)()()(xg两个零点，则的取值范围是_.a三、课后作业三、课后作业1.关于的方程的根所在大致区间为（）x015 xxA.B.C.D.)1,0()2,1()4,3()5,4(2.已知，若）为常数（其中）（Rxcbcxbxxxf,735，）（102 f则=_.）（2f