第4章向量空间与线性空间习题课.ppt

第4章 习题课一、一、基本要求基本要求 二、二、典型例题分析典型例题分析 2/45一、一、基本要求基本要求 1.理解 n 维向量及其线性组合与线性表示的概念,理解线性表示的判别准则.2.理解向量组线性相关、线性无关的概念,理解线 性相关性的性质及判别准则.3.理解向量组等价的概念,掌握向量组等价的判别 准则.3/454.理解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念,熟练掌握求向量组的极大线性无关组及秩的方法.5.理解非齐次线性方程组的通解、导出方程组的基 础解系与通解,熟练掌握用初等行变换求线性方程 组通解的方法.6.了解 n 维向量空间、子空间、生成子空间、基、维数、坐标等概念,知道基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵.4/457.了解内积、正交向量组和标准正交向量组的概念 与性质,掌握 Schmidt 方法,了解规范正交基、正交 矩阵的概念及其性质.8.知道线性空间、线性子空间、基、维数、坐标和 线性变换的概念,会求线性变换在一组基下的矩阵,知道线性变换在不同基下的矩阵之间的关系.5/45(一一)线性相关性的判定线性相关性的判定 二、二、典型例题分析典型例题分析 方法方法1定义方法方法2利用矩阵的秩判别方法方法3利用行列式判别 方法方法4转化为齐次线性方程组来判别方法方法5利用向量组之间的线性表示来判别 向量组是否线性相关等价于齐次方程组是否有非零解向量组是否线性相关等价于齐次方程组是否有非零解6/45例1 已知向量组线性相关,求 a 的值.解 由条件得所以 a 1,7/45另解 由条件知a 1,于是 a 1 0,或 2a 1 0,解得 8/45例2 设 为 n 维列向量组,m 2,且 证 因为 证明向量组线性无关当且仅当 线性无关.且由 m 2 知 9/45所以,10/45证 所以存在不全为零的考虑线性方程 因为 线性相关,数 k1,k2,km,使得都线性相关.例3 设 线性相关,证明存在不全为零的数 t1,t2,tm,对任何向量 ,向量组 k1 x1 k2 x2 km xm 0,11/45由 m 2 知该线性方程有非零解,设(t1,t2,tm)T 为它 的任一非零解,即从而向量组线性相关.则对任何向量 都有 12/45方法方法1 转化为线性方程组方法方法2 利用唯一性定理方法方法3 利用向量组的秩(二二)线性表示的判定线性表示的判定 一个向量能否被线性表示等价于线性方程组是否有解一个向量能否被线性表示等价于线性方程组是否有解一个向量组能否被线性表示等价于矩阵方程是否有解一个向量组能否被线性表示等价于矩阵方程是否有解 13/45例4 已知解 设法将 表示成 的线性组合,为此对矩阵 做初等行变换化为最简阶梯矩阵:14/45于是 15/45例5 设问 a,b,c 满足什么条件时 并求出一般表达式.(1)能由 线性表示,且表达式唯一;(2)不能由 线性表示;(3)能由 线性表示,但表达式不唯一,16/45解(1)当 a 4 时,能由 唯一线性表示.对矩阵 做初等行变换化为阶梯矩阵:17/45当 1 3b c 0 时,不能由 线性表示.(2)当 a 4 时,(3)当 a 4,1 3b c 0 时,18/45此 时,能由 线性表示,且表达式不唯一.取 x1 k,k 为任意数,则 19/45解即 线性表示.由向量组例6 设向量组不能(1)求 a;(2)将 用 线性表示.不是向量空间 3的基,(1)因 不能由 线性表示,从而 线性相关,故 (2)由于 20/45因此 21/45(三三)求极大线性无关组和秩求极大线性无关组和秩 方法方法1 初等行变换方法方法2 定义方法方法3 定义的等价性22/45的秩,以及该向量组的极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组来线性表示.例7 求向量组解 令 对矩阵 A 作初等行变换化为阶梯矩阵:23/45因此 故向量组的秩为3,且 是一个极大线性无关组.再对矩阵 B 做初等行变换化为最简阶梯矩阵:24/45例8 设解对矩阵 A 作初等行变换化为阶梯矩阵:求 A 的秩及向量组 的极大线性无关组.25/45(1)当 a 5,b 5 时,rank A 2,是一极大线性无关组.是一极大线性无关组.是一极大线性无关组.是一极大线性无关组.(2)当 a 5,b 5 时,rank A 3,(3)当 a 5,b 5 时,rank A 3,(4)当 a 5,b 5 时,rank A 4,26/45(四四)线性方程组解的判定、性质和结构问题线性方程组解的判定、性质和结构问题 例9 设向量组 是方程组 的基础解系,证明向量组 是方程组 的基础解系.证由题设知 都是方程组 的解,且27/45方程组 Ax 0 的基础解系含三个线性无关的解向量,因为所以 从而向量组 是方程组 Ax 0 的基础解系.28/45例10 29/45解于是 30/45即有 31/45因此 32/45例11 解 因为 33/4534/4535/45例12 设线性方程组 (1)分别求方程组(I)和(II)的基础解系;解(2)求方程组(I)和(II)的公共解.(1)将方程组(I)和(II)的系数矩阵化为最简阶梯矩阵:36/45则方程组(I)和(II)的基础解系分别为 (2)联立方程组(I)和(II),得 则方程组(I)和(II)的公共解为37/45求方程组(I)和(II)公共解的三种方法(1)若方程组(I)和(II)都是已知的,则联立方程组(I)和(II)得到方程组(III),(III)的解就是(I)和(II)的公共解.(2)先求出一个方程组的通解,再将通解代入另一个方程组,然后确定通解中参数的关系,最后得到公共解.(3)先分别求出两个方程组的通解,再令两个通解表达式相等,然后确定通解中参数的关系,最后得到公共解.38/45(五五)向量空间向量空间 例13 设 求的一个基,并将它扩充为 的一个基.解 求 的一个基,就是求 的一个极大线性无关组.因为 39/45线性无关.由于 是四维向量空间,因此只需找 使得所以 是 的一个基.由 的阶梯矩阵知,可取 即 是 的一个基.40/45例14 设求 的一个标准正交基.解 求 的标准正交基,就是将 标标准正交化.先将 正交化:41/45再将 单位化:所以 求 的一个标准正交基.42/45求向量 在基 下的坐标 y.例15 设向量空间 V 的两个基为 已知向量 在基 下的坐标为 x (1,2,3)T,解 设 C 是由基 到 的过渡矩阵,即43/45因44/45故基 到 的过渡矩阵从而坐标变换公式知 在后基 下的坐标为 45/45