2019届北京专用高考数学一轮复习第十章概率与统计第二节古典概型与几何概型讲义文.ppt

,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第二节古典概型与几何概型,总纲目录,教材研读,1.,基本事件的特点,考点突破,2.,古典概型,3.,几何概型,考点二几何概型,考点一古典概型,1.基本事件的特点,(1)任何两个基本事件是,互斥,的.,(2)任何事件(除不可能事件外)都可以表示成,基本事件,的和.,教材研读,2.古典概型,(1)具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称为古典概型.,(i)试验中所有可能出现的基本事件,只有有限个,.,(ii)每个基本事件出现的可能性,相等,.,(2)古典概型的概率公式:,P,(,A,)=,.,3.几何概型,(1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积),成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.,(2)几何概型中,事件,A,的概率计算公式为,P,(,A,)=,.,1.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是,(),A.,B.,C.,D.,答案,C甲、乙、丙三名同学站成一排共有如下6种情况:甲乙丙,甲,丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,而甲站在中间的共有乙甲丙,丙甲,乙两种情况,因此,甲站在中间的概率为,=,.,C,2.从1,2,3,4,5中随机选取一个数为,a,从1,2,3中随机选取一个数为,b,则,b,a,的概率是,(),A.,B.,C.,D.,答案,D令选取的,a,b,组成实数对(,a,b,),则共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)15种情况,其中,b,a,有(1,2),(1,3),(2,3)3种情况,所以,b,a,的概率为,=,.故选D.,D,3.(2016北京海淀期末)如图,在边长为3的正方形内有区域,A,(阴影部分所,示),张明同学用随机模拟的方法求区域,A,的面积.若每次在正方形内随,机产生10 000个点,并记录落在区域,A,内的点的个数.经过多次试验,计算,出落在区域,A,内点的个数的平均值为6 600个,则区域,A,的面积约为(,),A.5B.6C.7D.8,答案,B设区域,A,的面积约为,S,根据题意有,=,所以,S,=5.94,所以区域,A,的面积约为6.,B,4.(2016课标全国,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两,位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数,字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是,(),A.,B.,C.,D.,答案,C小敏输入密码的前两位所有可能情况如下:,(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种.,而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率,为,.,C,5.(2015北京西城一模)在区间-2,1上随机取一个实数,x,则,x,使不等式|,x,-1|,1成立的概率为,.,答案,解析,|,x,-1|,1,-1,x,-1,1,0,x,2,在区间-2,1上使不等式|,x,-1|,1成立的,x,的范围为0,1,故所求概率,P,=,=,.,典例1,(2017北京海淀一模)某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享,单车”业务.该地区出现,a,b,两种“共享单车”(以下简称,a,型车,b,型车).,某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况.,(1)某日该学习小组进行一次市场体验,其中4人租到,a,型车,3人租到,b,型,车.如果从组内随机抽取2人,求抽取的2人中至少有一人在市场体验过,程中租到,a,型车的概率;,(2)根据已公布的2016年全年市场调查报告,小组同学发现3月,4月的用,户租车情况呈现下表使用规律.例如:3月租用,a,型车的人中,在4月有60%,的人仍租用,a,型车.,考点一古典概型,考点突破,3月,4月,租用,a,型车,租用,b,型车,租用,a,型车,60%,50%,租用,b,型车,40%,50%,若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同.已知2017年,3月该地区租用,a,b,两种车型的用户比例为11,根据表格提供的信息,计,算2017年4月该地区租用两种车型的用户比.,解析,(1)记租到,a,型车的4人分别为,A,1,A,2,A,3,A,4,;租到,b,型车的3人分别为,B,1,B,2,B,3,.,记事件,A,为“从7人中抽取2人,至少有一人租到,a,型车”,则事件,为“从7人中抽取2人,都租到,b,型车”.,从7人中抽出2人有,A,1,A,2,A,1,A,3,A,1,A,4,A,1,B,1,A,1,B,2,A,1,B,3,A,2,A,3,A,2,A,4,A,2,B,1,A,2,B,2,A,2,B,3,A,3,A,4,A,3,B,1,A,3,B,2,A,3,B,3,A,4,B,1,A,4,B,2,A,4,B,3,B,1,B,2,B,1,B,3,B,2,B,3,共21种情况,事件,发生有,B,1,B,2,B,1,B,3,B,2,B,3,共3种情况,所以,P,(,A,)=1-,P,(,)=1-,=,.,(2)依题意,4月份租用,a,型车的百分比为50%,60%+50%,50%=55%,租用,b,型车的百分比为50%,40%+50%,50%=45%,所以2017年4月该地区租用,a,b,型车的用户比为,=,.,规律总结,解决关于古典概型的概率问题的关键是正确求出基本事件总数和所求,事件中包含的基本事件数.,(1)基本事件总数较少时,可用列举法把所有基本事件一一列出,但要做,到不重复、不遗漏.,(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时,通常考虑用,对立事件的概率公式,P,(,A,)=1-,P,(,)求解.,1-1,(2018北京东城高三期末)“砥砺奋进的五年”,首都经济社会发展,取得新成就.2012年以来,北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需,促,进消费等政策的出台,居民消费支出全面增长,消费结构持续优化升级,城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图如图所示.(例如2012年北京,城镇居民收入实际增速为7.3%,农村居民收入实际增速为8.2%),(1)从2012-2016五年中任选一年,求城镇居民收入实际增速大于7%的概,率;,(2)从2012-2016五年中任选两年,求至少有一年农村和城镇居民收入实,际增速均超过7%的概率;,(3)由图判断,从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大?(不,需证明),解析,(1)设城镇居民收入实际增速大于7%为事件,A,由题图可知,这五,年中2012,2013,2014这三年城镇居民收入实际增速大于7%,所以,P,(,A,)=,.,(2)设至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%为事件,B,这,五年中任选两年,有(2012,2013),(2012,2014),(2012,2015),(2012,2016),(2013,2014),(2013,2015),(2013,2016),(2014,2015),(2014,2016),(2015,2016),共10种情况,其中至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%,的为前9种情况,所以,P,(,B,)=,.,(3)从2014开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大.,典例2,(1)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间,到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不,超过10分钟的概率是,(),A.,B.,C.,D.,(2)在等腰直角三角形,ABC,中,过直角顶点,C,在,ACB,内部任作一条射线,CM,与,AB,交于点,M,则,AM,AC,的概率为,.,考点二几何概型,命题角度一与长度、角度有关的几何概型,解析,(1)7:30的班车小明显然是坐不到的.当小明在7:50之后8:00之前,到达,或者8:20之后8:30之前到达时,他等车的时间将不超过10分钟,故,所求概率为,=,.故选B.,(2)如图,过点,C,作,CN,交,AB,于点,N,使,AN,=,AC,.显然当射线,CM,处于,ACN,内部时,AM,AC,.,又,A,=45,所以,ACN,=67.5,故所求概率,P,=,=,.,答案,(1)B(2),典例3,(2017课标全国,4,5分)如图,正方形,ABCD,内的图形来自中国,古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中,心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是,(),A.,B.,C.,D.,命题角度二与面积有关的几何概型,B,答案,B,解析,本题考查几何概型.,设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白,色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为,所以在正方形,内随机取一点,此点取自黑色部分的概率,P,=,=,故选B.,命题角度三与体积有关的几何概型,典例4,在棱长为2的正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,点,O,为底面,ABCD,的中,心,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,内随机取一点,P,则点,P,到点,O,的距离大于1,的概率为,(),A.,B.1-,C.,D.1-,解析,点,P,到点,O,的距离大于1的点位于以,O,为球心,以1为半径的半球,的外部.记点,P,到点,O,的距离大于1为事件,A,则,P,(,A,)=,=1-,.,答案,B,B,方法技巧,(1)设线段,l,是线段,L,的一部分,在线段,L,上任取一点,该点在线段,l,上的概,率,P,=,.,(2)当涉及射线的转动时,应以角的大小作为区域度量来计算概率,而不,能用线段的长度代替,这是两种不同的度量手段.,(3)对于与面积有关的几何概型,解题的关键是对所求的事件,A,对应的平,面区域形状的判断及面积的计算,基本方法是数形结合.,(4)对于与体积有关的几何概型,解题的关键是计算相关空间几何体的,体积,从而利用几何概型的概率计算公式求概率.,2-1,在矩形,ABCD,中,AB,=2,AD,=1,点,P,为矩形,ABCD,内一点,则使得,1的概率为,(),A.,B.,C.,D.,D,答案,D建立如图所示的平面直角坐标系,则,A,(0,0),C,(2,1),则,=(2,1),设,P,(,x,y,),则,=(,x,y,),故,=2,x,+,y,故由题设可得2,x,+,y,1,则符合条,件的点,P,所在区域是四边形,EBCD,及其内部.四边形,EBCD,的面积,S,=2-,=,S,矩形,ABCD,=2,故所求概率,P,=,=,.故选D.,2-2,如图,在半径为2,R,弧长为,R,的扇形,OAB,中,以,OA,为直径作一个,半圆.若在扇形,OAB,内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是(),A.,B.,C.,D.,B,答案,B阴影部分的面积为,S,1,=,2,R,-,R,2,=,R,2,扇形,OAB,的面,积为,S,2,=,R,2,所以在扇形,OAB,内随机取一点,则此点取自阴影部分的概,率,P,=,=,=,.故选B.,