高中数学第一章计数原理本章整合课件北师大版选修.ppt

本章整合,专题,1,专题,2,专题,3,专题一,利用两个原理解排列组合问题的常用方法,“,两个原理,”,是两种重要的计数方法,它是列式计数时选择加法或者乘法的理论根据,在排列、组合应用题中,正确地使用加法和乘法原理是解决排列、组合应用题的基础,.,专题,1,专题,2,专题,3,1,.,树形图法,应用,1,将,A,B,C,D,四名同学按一定顺序排成一行,要求自左向右,A,不排在第一,B,不排在第二,C,不排在第三,D,不排在第四,试写出他们四个人所有不同的排法,.,专题,1,专题,2,专题,3,由此可写出所有的排法为,BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA.,所以他们四个人共有,9,种不同的排法,.,专题,1,专题,2,专题,3,应用,2,三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过,5,次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有,(,),A.6,种,B.8,种,C.10,种,D.16,种,提示,:,充分利用树形图来解决问题,.,解析,:,如图,若甲先传给乙,则共有,5,种方式,;,同理,甲先传给丙也有,5,种方式,.,综上有,10,种传法,.,答案,:,C,专题,1,专题,2,专题,3,2,.,依次排序法,利用分步乘法计数原理求解与排列顺序有关的问题时,可以用依次排序法,.,依次排序法就是把数字或字母分为前后,首先排前面的数字或字母,再依次排后面的数字或字母,将最后的数字或字母排完,则排列结束,这种方法多用于数字问题,.,专题,1,专题,2,专题,3,应用,3,用,1,2,3,4,四个数字可重复地任意排成三位数,并把这些数由小到大排成一个数列,a,n,.,(1),写出这个数列的前,11,项,;,(2),求这个数列共有多少项,;,(3),若,a,n,=,341,求,n.,解,:,(1),这个数列的前,11,项为,111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133,.,(2),这个数列的项数就是用,1,2,3,4,排成的三位数的个数,每一个位置都有,4,种排法,根据分步乘法计数原理共有,4,4,4,=,64,项,.,(3),比,a,n,=,341,小的数有两类,分别是,:,专题,1,专题,2,专题,3,根据两个计数原理,得数列,a,n,中比,341,小的项有,N=,2,4,4,+,3,4,=,44,项,所以,n=,44,+,1,=,45,.,专题,1,专题,2,专题,3,3,.,转化法,一般情况下研究的排列问题是不重复的排列问题,但是在实际生活中常会遇到这样的问题,:,车辆牌照的号码、电话号码、电报号码等,都是一些重复排列,.,事实上,解决这些问题借助于,“,两个原理,”,非常容易办到,.,专题,1,专题,2,专题,3,应用,4,设集合,S=,1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合,A=,a,1,a,2,a,3,是,S,的子集,且,a,1,a,2,a,3,满足,a,1,a,2,6,包含的情况较少,只有,a,3,=,9,时,a,2,只能取,2,a,1,只能取,1,一种情况,应用正难则反思想进行解决,.,答案,:,C,专题,1,专题,2,专题,3,应用,5,用,1,2,3,4,5,6,7,这,7,个数字组成没有重复数字的四位数,.,(1),如果组成的四位数必须是偶数,那么这样的四位数有多少个,?,(2),如果组成的四位数必须大于,6 500,那么这样的四位数有多少个,?,提示,:,本题的限制条件是,:(1),个位数字必须是偶数,.,(2),千、百这两个数位上的数受限制,因此,可以采用分步排位来求解,.,专题,1,专题,2,专题,3,专题,1,专题,2,专题,3,4,.,穷举法,穷举法主要是适用于用排列组合解决时需分类较多的情况,或用排列组合无从下手解决,或选择支中数目较小,或计数方法有规律可遵循的题目,.,针对上述题目,与其花大量时间去思考怎么用排列组合知识进行解决,不如用,“,最笨,”,的方法,一一列举法进行解决,.,此法看似笨拙,有时则省时、省力,.,专题,1,专题,2,专题,3,应用,6,如图所示,将,1,6,这六个数字分别填到图中字母的位置,使三角形每条边上的三个数之和相等,则共有,(,),种填写方法,.,A.24B.21 C.18D.12,解析,:,由题意可得位置,A,B,C,D,E,F,上的数字满足,A+B+D=A+C+F=D+E+F,由题意得,(,A+B+D,),+,(,A+C+F,),+,(,D+E+F,),=A+B+C+D+E+F+,(,A+D+F,),一定能被,3,整除,而,A+B+C+D+E+F,的值为,1,+,2,+,3,+,4,+,5,+,6,=,21,能被,3,整除,故,A+D+F,也一定能被,3,整除,.,由此可得,A,D,F,的值可能分别为,1,2,3,或,1,2,6,或,1,3,5,或,1,5,6,或,2,3,4,或,2,4,6,或,3,4,5,或,4,5,6,.,专题,1,专题,2,专题,3,专题,1,专题,2,专题,3,专题二,排列组合的解题方法,1,.,直接法,(,元素、位置优先考虑法,),(1),特殊元素分析法,:,即以元素为主考虑,先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素,.,(2),特殊位置分析法,:,即以位置为主考虑,先安排有特殊要求的位置,再考虑其他位置,.,应用,1,50,件产品中有,3,件是次品,从中任意取,4,件,.,(1),至少有,1,件次品的抽法有多少种,?,(2),至多有两件次品的抽法有多少种,?,专题,1,专题,2,专题,3,专题,1,专题,2,专题,3,2,.,插空法,不相邻问题常用插空法,:,我们可以根据题目的具体特点,先排某些元素,再将余下的元素进行插空,这样处理有关的排列组合问题,往往能收到良好的解题效果,.,应用,2,马路上有,9,盏路灯,为了节约用电,可以关掉其中的三盏路灯,要求关掉的路灯不能相邻,且不在马路的两头,那么不同的关灯方案共有多少种,?,解,:,本题可以看成被关掉的路灯夹在,6,盏亮着的灯的空当里,.,6,盏亮着的灯排在一起,中间有,5,个空当,从,5,个空当中选出某,3,个,插进去三盏关掉的路灯,因此,不同的关灯方案,专题,1,专题,2,专题,3,3,.,捆绑法,对于几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素,“,捆绑,”,起来,看作一个元素,与其他元素排列,然后再考虑它们,“,内部,”,的排列,这种解决排列问题的方法称为,“,捆绑法,”,.,应用,3,用,1,2,3,4,5,这五个数字组成没有重复数字的五位数,其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数有多少个,?,提示,:,本题中一个奇数夹在两个偶数之间可以捆绑在一起看作一个元素,体现了捆绑法的应用,.,专题,1,专题,2,专题,3,专题,1,专题,2,专题,3,4,.,间接法,间接法是求解排列组合问题的常用方法,.,带有限制条件的排列组合问题,常用,“,元素分析法,”,和,“,位置分析法,”,当直接考虑对象较为复杂时,可用逆向思维,使用间接法,(,排除法,),即先不考虑约束条件,求出所有排列、组合总数,然后减去不符合条件的排列、组合种数,.,应用,4,从,12,人中选出,5,人去参加一项活动,按下列要求,有多少种不同选法,?,(1),A,B,C,三人至少一人入选,;,(2),A,B,C,三人至多二人入选,.,提示,:,解决排列组合题目时,从正面入手,情况较复杂,不易解决时,可以从问题的反面入手,往往能收到意想不到的效果,.,专题,1,专题,2,专题,3,专题,1,专题,2,专题,3,专题,1,专题,2,专题,3,5,.,隔板法,这类问题的特征是,:(1),被分的元素没有区别,;(2),被分的元素的个数不少于分得的组数,;(3),每个小组至少分得一个元素,.,具备这些条,专题,1,专题,2,专题,3,应用,5,某地区有,9,所学校,现有先进教师名额,11,个,要求每所学校至少有一个名额,共有多少种不同的分配方法,?,提示,:,本题符合隔板法的特点,.,解,:,因为名额没有区别,因此,可以在,11,个名额所产生的,10,个空隙,专题,1,专题,2,专题,3,专题,1,专题,2,专题,3,专题,1,专题,2,专题,3,2,.,赋值法,应用,2,已知,(1,+x,),6,(1,-,2,x,),5,=a,0,+a,1,x+,+a,11,x,11,则,a,1,+a,2,+,+a,11,=,.,提示,:,求展开式中各项系数的和的一个有效办法就是赋值法,.,赋予变量的值往往是,0,1,-,1,等,.,解析,:,欲求,a,1,+a,2,+,+a,11,需先求,a,0,再求,a,0,+a,1,+,+a,11,应用赋值法求解,.,令,x=,0,得,a,0,=,(1,+,0),6,(1,-,0),5,=,1,再令,x=,1,得,a,0,+a,1,+,+a,11,=,(1,+,1),6,(1,-,2),5,=-,2,6,所以,a,1,+a,2,+,+a,11,=-,2,6,-,1,=-,65,.,答案,:,-,65,专题,1,专题,2,专题,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,(2016,全国甲高考,),如图,小明从街道的,E,处出发,先到,F,处与小红会合,再一起到位于,G,处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为,(,),A.24B.18C.12D.9,解析：,由题意知,小明从街道的,E,处出发到,F,处的最短路径有,6,条,再从,F,处到,G,处的最短路径有,3,条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为,6,3,=,18,故选,B,.,答案：,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,3,(2015,课标全国,高考,)(,a+x,)(1,+x,),4,的展开式中,x,的奇数次幂项的系数之和为,32,则,a=,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,7,(2016,北京高考,),在,(1,-,2,x,),6,的展开式中,x,2,的系数为,.,(,用数字作答,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,