数学建模-P.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,7.3 蒙特卡罗模拟,蒙特卡罗(,MonteCarlo),模拟，又称蒙特卡,罗方法、统计试验法等.,MC,模拟是静态模拟，描述特定时间点上,的系统行为.,模拟过程中不出现时间参数。,基本思想:把随机事件,（变量）的概率特征与,数学分析的解联系起来,.,概率特征：,随机事件的概率和随机变量的,数学期望等.,用试验方法确定,一.,蒙特卡罗法计算定积分,例,7.3.1,用,MC,模拟求圆周率,的估计值.,1,1,0,设二维随机变量,(X,Y),在正方形内,服从均匀分布.,(,X,Y,),落在圆内的概率为:,计算机上做,n,次掷点试验：,产生,n,对二维随机点,(,x,i,，,y,i,)，,i,1 ,2,n,.,x,i,和,y,i,是,RND,随机数对.,检查每对随机数是否满足:,相当于第,i,个随机点落在1/4圆内.,若有,k,个点落在,l4,圆内,随机事件“点落入,1/4,圆内”的,频率为,k/n,根据概率论中的大数定律,事件发生的频率,依概率收敛于事件发生的概率,p,，,即有,得圆周率,的估计值为,且当,试验次数足够大,时,其精度也随之提高.,分析：,实际上概率值为,恰为1/4圆的面积,频率法：,利用随机变量落进指定区域内的频率来计算定积分.,平均值法：,利用随机变量的平均值(数学期望),来计算定积分.,平均值法,的算法如下：,产生,RND,随机数：,r,1,，r,2,，,r,n,；,（2）,令,u,i,=a,(,b,a,),r,i,，,i,=1，2，,n,；,（3）,计算 作为,I,的估计值.,原理分析：,设随机变量,1,，,2,，,n,相互独立,，,且,i,U(0,1),f,(,i,)，,i,=1，2，,n,相互独立同分布,由(强)大数定律知,以概率为,1,成立,当,n,足够大时，得近似公式：,注：,平均值法本质上是用样本平均值作为,总体教学期望的估计。,二,.,蒙特卡罗模拟试验次数的确定,MC,模拟是一种试验近似方法,试验次数如何确定？,？,希望：模拟次数较少、,模拟精度较高,频率法的讨论,用事件,A,出现的频率作为概率,p,的估计,:,问题：,试验次数,n,多大时，对给定的置信度,1,（0,1），,估计精度达到,.,即问：取多大的,n,使,成立？,证明,频率法是事件,A,出现的频率作为概率,p,的估计,答案：,其中,z,是正态分布的临界值.,n,次独立试验中,A,出现的次数,k,n,B,(,n,p,).,由中,心极限定理知,平均值法,在给定,和,下所需的试验次数,的估计式为,查得正态分布的临界值,z,可解得,试验次数估计式的分析,为估计概率,p,做模拟,却又需要用,p,去估计模拟次数,n,.,如何计算S,2,？,解决方法,：先做,n,0,次模拟（称为学习样本)，根据学习样本.,（1）,先求出,p,的估计，再估计模拟次数,n,:,（2）,计算出的样本方差,S,2,用来估计,n,.,2.,M C,模拟的估计精度,与试验次数,n,的平,方根成反比,若精度,提高,10,倍,则试验次数,n,要增大,100,倍.,中列出了置信度为,0.95,时,在不同,精度及概率,p,条件下频率法所需试验次数。,对该表进行分析，能得到什么结论？,1.,精度提高，试验次数大幅提高；,2.,事件发生概率越接近0.5，试验次数越高；,核反应堆屏蔽层是用一定厚度的铅包围反应,堆，用以阻挡或减弱反应堆发出的各种射线.,在各种射线中,中子对人体伤害极大，因此，,在屏蔽层的设计中,了解中子穿透屏蔽层的概,率对反应堆的安全运行至关重要.,例,核反应堆屏蔽层设计问题,假定屏蔽层是理想的均匀平板,一个中子进入屏蔽层后运动的物理过程:中,子以初速度,v,0,和方向角射入屏蔽层,运动一,段距离后与铅核发生碰撞，中子获得新的速度,及方向,(,v,1,1,).,再游动一段距离后,与铅核发生,第二次碰撞,并获得新的状态,(,v,2,2,),如此等等,经过若干次碰撞后,出现下述情况之一时中子,终止运动过程,1）,中子被弹回反应堆；,2,）中子穿透屏蔽层；,3）,第,n,次碰撞后,中子被屏蔽层吸收.,D,返回,穿透,吸收,三种状态,为使屏蔽层的厚度达到安全设计要求,在计,算机上对中子在屏蔽层的运动过程进行模拟,阐述中子的运动，,为模拟做理论准备,2.简化假设：,*1,假定屏蔽层平行板厚度为,D,=3,d,，,其中,d,为两次碰撞之间中子的平均游动距离；,*2,假设在第,10,次碰撞以后，中子速度下降,到为某一很小数值而终止运动（被引收）.,因每次碰撞后,中子因损失一部分能量而速度下降.,*3,假定中子在屏蔽层内相继两次碰撞之间,游动的距离服从指数分布,；,*4,中子经碰撞后的弹射角,U(0,2).,思考,：请仔细分析以上假设的合理性.,3.中子运动的数学描述,引进变量,：,弹射角,i,第,i,次碰撞后中子的运动方向与,x,轴正向的夹角.,x,i,第,i,次碰撞后中子所处位置与屏蔽层内 壁的距离.,R,i,中子在第,i,次碰撞前后的游动距离.,D,D,0,x,x,i,i,三个变量均为随机变量,中子在屏蔽层里随机游动,第,i,次碰撞以后,按照它的位置坐标,x,i,，,可能有以下三种情况,发生：,查得正态分布的临界值z,可解得,xi=xi1+Ricosi，i=1，2，10,中子运动的数学描述,在给定和下所需的试验次数,设WD 是中子穿过厚度为D 屏蔽层的概率,多厚的屏蔽层才能使穿透的概率,查得正态分布的临界值z,可解得,(WD)m106，或 (m)410 6,判断中子是否穿透屏蔽层.,MC 模拟是一种试验近似方法,试验次数如何确定？,（3）计算 作为I 的估计值.,n次独立试验中A出现的次数knB(n,p).,判断中子是否穿透屏蔽层.,(X,Y)在正方形内,为使屏蔽层的厚度达到安全设计要求,在计,模拟精度较高,（1）,x,i,0，,中子返回反应堆,；,（2）,x,i,D，,中子穿透屏蔽层；,经过第,i,次碰撞，中子在屏蔽层内的位置是,x,i,=x,i1,+R,i,cos,i,，,i,=1，2，10，,（3）0,x,i,D，,若,i,10，,中子,在屏蔽层内继续运动,若,i,=10,中子被屏蔽层吸收.,中子三,状态判,别准则,4.模拟过程,(1),产生RND随机数对(,r,i,u,i,)；,(2)将(,r,i,u,i,)代入公式计算,第,i,次中子,的移动距离和弹射角,(,i,=1,2,3，10),(3),将,(R,i,i,),代入公式,x,i,=x,i,1,+R,i,cos,i,，,i,=1，2，10,计算出第,i,次碰撞中子与内壁的距离,x,i,.,MC模拟是静态模拟，描述特定时间点上,蒙特卡罗法计算定积分,MC 模拟是一种试验近似方法,试验次数如何确定？,查得正态分布的临界值z,可解得,xi 和yi 是RND 随机数对.,思考：请仔细分析以上假设的合理性.,根据概率论中的大数定律,事件发生的频率,精度提高，试验次数大幅提高；,xi 和yi 是RND 随机数对.,根据概率论中的大数定律,事件发生的频率,1）中子被弹回反应堆；,将屏蔽层视为m层厚度均为D的平行板.,f(i)，i=1，2，n 相互独立同分布,计算出第i 次碰撞中子与内壁的距离xi.,一个中子进入屏蔽层后运动的物理过程:中,弹射角i 第i 次碰撞后中子的运动方向与,例 核反应堆屏蔽层设计问题,当n 足够大时，得近似公式：,判断中子是否穿透屏蔽层.,5.模拟结果分析,要求穿透屏蔽层的概率数量级为,10,6,10,10,按假设条件得到,一次模拟结果,如下,：,中子数(个),穿透,(%),吸收,(%),返回,(,%),100,1000,3000,5000,30.0,26.0,26.5,26.3,28.0,23.4,21.8,22.0,42.0,50.6,51.7,51.7,中子穿透屏蔽层的百分比超过了,1/4,模拟,结果表明屏蔽层厚度,D=3d,不合适.,多厚的屏蔽层才能使穿透的概率,W10,6,？,问 题,：,如何解决这个问题？,思路？,计算机收索法,增大屏蔽层的厚度，如,D=6,d,、12,d,、24,d,、,36,d,，,交由计算机进行模拟,并搜索到所,求解.,2.,分析法,1,2,m,D,D,D,设计屏蔽层的厚度：,x,=,mD,将屏蔽层视为,m,层厚度均为,D,的平行板.,由于碰撞的能量损失,中子穿过屏蔽层的平,均速度会逐层下降.,设,W,D,是中子穿过厚度为,D,屏蔽层的概率,则,穿过整个屏蔽层的概率,W,满足,利用模拟结果,：,当,D=,3,d,，,W,D,0.25，,令,(,W,D,),m,10,6,，,或,(,m,),4,10,6,取屏蔽层的厚度,x,=10D=30d，,可使穿透屏蔽层的概率,w,10,6,注,：模拟,5000个中子,的运动,用穿透屏蔽的,频率估计穿透概率,由表可知精度大约只有,1,模拟精度太低,应适当增大模拟次数.,总结：,模拟的意义？,1.,模拟方法本质上是,试验性,的,模拟系统是,现实系统的仿真.,例中每模拟一次相当于对一个中子的运动做,一次,“试验”或“观察”.,2.,是对思维结果的一种验证.,3.模拟本质上是一种求解问题的试验方法,需要进行较多次数的重复模拟,并且对试验结,果还需进行统计分析.,4.,上千万次的模拟计算工作可以借助计算机,完成,而且运算速度是非常快.,谢谢观看,