八年级数学下册第一部分基础知识篇第15课图形与证明例题课件浙教版.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,重点中学与你有约,例,1.,如图，已知,D,是,AC,上一点，,AB=DA,，,DE/AB,，,B=,DAE.,求证：,BC=AE.,解题技巧,一读,关键词,：,三角形，三角形全等,二联,重要结论：,先证明三角形全等，然后再得出边或角相等,.,重要方法：,定理运用,三解,解：,四悟,掌握三角形全等的证明方法是解决此类问题的关键,.,DE/AB,，,CAB=,ADE,BC=AE.,在,ABC,和,DAE,中，,举一反三,思路分析,:,由垂直的性质就可以得出,B=,EAD,，再根据,AAS,就可以得出,ABC,EAD,，就可以得出,AB=AE,如图，在,ABC,中，,ACB=90,，,D,是,AC,上的一点，且,AD=BC,，,DE,AC,于,D,，,EAB=90,求证：,AB=AE,失误防范,全等三角形的判定,：,SSS(,边边边,):,三边对应相等的三角形是全等三角形；,SAS(,边角边,):,两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形；,ASA(,角边角,):,两角及其夹边对应相等的三角形全等；,AAS(,角角边,):,两角及其一角的对边对应相等的三角形全等；,HL,定理,(,斜边、直角边,):,在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等,.,例,2.,如图，在,ABC,和,ADE,中，,BAC=,DAE=90,，点,B,C,E,在同一直线上，,AC=AB,AD=AE,且,AE,与,BD,交于点,F,，你能判断出,CE,与,BD,的关系吗？请说明理由,.,重点中学与你有约,解题技巧,一读,关键词,：,三角形，三角形全等，判断,二联,重要结论：,先证明三角形全等，再利用三角形内角和定理得出结论,.,重要方法：,定理运用,三解,解：,四悟,掌握三角形全等的性质和判定是解决此类问题的关键,.,BD=CE,，,BD,CE,，理由是：,DAE=,BAC=90,，,CAE=,BAD,，,ACE,ABD,（,SAS,），,CE=BD,，,ACE=,ABD,在,ACE,和,ABD,中，,在,Rt,ABC,中，,ABC+,ACE=90,，,ABD+,ABC=90,即,CBD=90,BD,CE,举一反三,思路分析,:,（,1,）求出,BAD=,CAE,，根据,SAS,推出,ABD,ACE,，根据全等三角形的性质推出即可；,（,2,）根据全等三角形的性质得出,BDA=,E,，根据,E+,ADE=90,求出,BDA+,ADE=90,即可,如图，在,ABC,和,ADE,中，,BAC=,DAE=90,，,AB=AC,，,AD=AE,，点,C,、,D,、,E,在同一直线上，连结,BD,（,1,）求证：,BD=EC,；,（,2,）,BD,与,CE,有何位置关系？请证你的猜想,失误防范,全等三角形的性质,：,1.,全等三角形的对应角相等；,2.,全等三角形的对应边相等；,3.,能够完全重合的顶点叫对应顶点；,4.,全等三角形的对应边上的高对应相等；,5.,全等三角形的对应角的角平分线相等；,6.,全等三角形的对应边上的中线相等；,7.,全等三角形面积和周长相等；,8.,全等三角形的对应角的三角函数值相等,.,例,3.,如图，在,ABC,中，,BAC=108,，,AB=AC,，,BD,平分,BAC,，交,AC,于,D.,求证：,BC=CD+AB.,重点中学与你有约,解题技巧,一读,关键词：,三角形，三角形全等。证明,二联,重要结论：,用截长或补短法先证明三角形全等，然后再得出边相等,.,重要方法：,截长补短法,三解,解：,四悟,灵活运用三角形全等的证明方法是解决此类问题的关键,.,法,1,：（截长法）在,BC,上取点,E,使,BE=BA,，连,接,DE,，,如图,1,BD,平分,ABC,，,ABD=,EBD,，,在,ABD,和,EBD,中，,AB=EB,，,ABD=,EBD,BD=BD,ABD,EBD,（,SAS,），,BAC=,BED=108,，,AD=DE,，,DEC=72,，,AB=AC,，,C=,ABC=36,，,CDE=72,，,CDE=,CED=72,，,CD=CE,，,则,BC=BE+EC=AB+CD,；,解题技巧,一读,关键词：,三角形，三角形全等。证明,二联,重要结论：,用截长或补短法先证明三角形全等，然后再得出边相等,.,重要方法：,截长补短法,三解,解：,四悟,灵活运用三角形全等的证明方法是解决此类问题的关键,.,法,2,：（补短法）延长,BA,至,E,，使,BE=BC,，连,接,DE,，,如图,2,BD,平分,ABC,，,EBD=,CBD,，,在,EBD,和,CBD,中，,EB=CB,，,EBD=,CBD,BD=BD,EBD,CBD,（,SAS,），,DE=DC,，,E=,C=36,，,EAD=72,，,EDA=,EAD=72,，,EA=ED,，,CD=DE=AE,，,则,BC=BE=AB+AE=AB+CD,举一反三,思路分析,:,延长,AD,、,EF,交于点,G,，,DE=BD,，再根据,BDA=,EDG,，,BD=ED,，证出,ABD,GED,，得出,AB=GE,，又因为,BAD=,DAC,，所以,FGD=,DAC,，,AF=GF,，即可证出,AF+EF=AB,在,ABC,中，已知,AB,AC,，,AD,平分,BAC,交,BC,于点,D,，点,E,在,DC,的延长线上，且,DE=BD,，过,E,作,EF,AB,交,AC,的延长线于,F,求证：,AF+EF=AB.,失误防范,截长补短法,：,截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想,.,截长,:1.,过某一点作长边的垂线,2.,在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等,.,补短,:1.,延长短边,2.,通过旋转等方式使两短边拼合到一起,.,例,4.,已知，点,C,是线段,AB,上除点,A,B,外的任意一点，分别以,AC,BC,为边在线段,AB,的同旁作等边,ACD,和等边,BCE,，连接,AE,交,DC,于,M,，连接,BD,交,CE,于,N,，连接,MN,（,1,）求证：,AE=BD,；,（,2,）求证：,MN,AB,重点中学与你有约,解题技巧,一读,关键词：,等边三角形，,交点，,求线段之间,关系,.,二联,重要结论：,等边三角形的判定与性质，,全等三角形的判定与性质,.,重要方法：,综合法,三解,解：,（,1,）,ACD,和,BCE,是等边三角形，,AC=DC,，,CE=CB,，,DCA=60,，,ECB=60,，,DCA=,ECB=60,，,DCA+,DCE=,ECB+,DCE,，,ACE=,DCB,，,在,ACE,与,DCB,中，,AC=DC,，,ACE=,DCB,，,CE=CB,ACE,DCB,，,AE=BD,；,（,2,）由（,1,）得，,ACE,DCB,，而,A,、,C,、,B,三点共线，,DCN=60,，,在,ACM,与,DCN,中，,CAM=,NDC,AC=DC,，,ACM=,DCN,，,ACM,DCN,，,MC=NC,，,MCN=60,，,MCN,为等边三角形，,NMC=,MCA=60,，,MN,AB,四悟,据题意判,断出,ACE,与,DCB,全,等，,ACM,与,DCN,全,等是解答此,题的关键,举一反三,在,ABC,中，,AD,是,ABC,的角平分线,（,1,）如图,1,，过,C,作,CE,AD,交,BA,延长线于点,E,，若,F,为,CE,的中点，连接,AF,，求证：,AF,AD,；,（,2,）如图,2,，,M,为,BC,的中点，,过,M,作,MN,AD,交,AC,于点,N,，,若,AB=4,，,AC=7,，求,NC,的长,举一反三,思路分析,:,（,1,）推出,3=,E,，推出,AC=AE,，根据等腰三角形性质得出,AF,CE,，根据平行线性质推出即可；,（,2,）延长,BA,与,MN,延长线于点,E,，过,B,作,BF,AC,交,NM,延长线于点,F,，求出,BF=CN,，,AE=AN,，,BE=BF,设,CN=x,，则,BF=x,，,AE=AN=AC,CN=7,x,，,BE=AB+AE=4+7,x,得出方程,4+7,x=x,求出即可,答案：,（,1,）证明：,AD,为,ABC,的角平分线，,1=,2,CE,AD,，,1=,E,，,2=,3,E=,3,AC=AE,F,为,EC,的中点，,AF,EC,，,AD,EC,，,AFE=,FAD=90,AF,AD,（,2,）解：延长,BA,与,MN,延长线于点,E,，过,B,作,BF,AC,交,NM,延长线,于点,F,，,3=,C,，,F=,4,M,为,BC,的中点,BM=CM,在,BFM,和,CNM,中，,3=,C,，,F=,4,，,BM=CM,BFM,CNM,，,BF=CN,，,MN,AD,，,1=,E,，,2=,4=,5,E=,5=,F,AE=AN,，,BE=BF,设,CN=x,，则,BF=x,，,AE=AN=AC,CN=7,x,，,BE=AB+AE=4+7,x,4+7,x=x,解得,x=5.5,CN=5.5,失误防范,中考题中与三角形有关的综合题,:,类型一：构造法添加辅助线,当题目中的结论在现有图形中难以解决时，我们自然会考虑添加辅助线，而构造全等三角形来转化线段或角是我们常用的方法之一,类型二：在变化的图中探究同一类问题,这类问题往往是方法的延续，而第一问是很容易入手的，因此对比第一问，利用第一问的方法就可以解决后面的问题,例,5.,已知，点,P,是直角三角形,ABC,斜边,AB,上一动点（不与,A,B,重合），分别过点,A,B,向直线,CP,作垂线，垂足分别为,E,F,Q,为斜边,AB,的中点,.,（,1,）如图,1,，当点,P,与点,Q,重合时，,AE,与,BF,的位置关系是,，,QE,与,QF,的数量关系是,；,（,2,）如图,2,，当点,P,在线段,AB,上不与点,Q,重合时，试判断,QE,与,QF,的数量关系，并给予证明；,（,3,）如图,3,，当点,P,在线段,BA,（或,AB,）的延长线上时，,此时（,2,）的结论是否成立？,请画出图形并给予证明,重点中学与你有约,解题技巧,一读,关键词：,直角三角形，,垂线，,中点，,求线段之间,关系,.,二联,重要结论：,全等三角形的性质，,全等三角形的判定，,直角三角形斜边上中线性质的应用,.,重要方法：,综合法,三解,解：,（,1,）,AE,BF,QE=QF,，,（,2,）,QE=QF,，,证明：延长,FQ,交,AE,于点,D,，如图,.,AE,CP,，,BF,CP,，,AE,BF,，,1=,2.,Q,为斜边,AB,的中点，,AQ=BQ,，,3=,4,，,AQD,BQF,，,QD=QF.,AE,CP,，,QE,为,Rt,DEF,斜边,FD,上的中线，,QE=FD=QF.,（,3,）（,2,）中结论仍然成立,.,理由：如图，延长,EQ,、,FB,交于点,D,，,AE,BF,，,1=,D,，,2=,3,，,AQ=BQ,，,AQE,BQD,，,QE=QD,，,BF,CP,，,FQ,为,Rt,DEF,斜边,DE,上的中线，,QF=ED=QE,四悟,熟练掌握,所学性质,定理，判,断三角形,全等是解,本题的关,键,举一反三,已知：点,P,是平行四边形,ABCD,对角线,AC,所在直线上的一个动点（点,P,不与点,A,、,C,重合），分别过点,A,、,C,向直线,BP,作垂线，垂足分别为,E,、,F,，点,O,为,AC,的中点,（,1,）当点,P,与点,O,重合时如图,1,，求证：,OE=OF,（,2,）直线,BP,绕点,B,逆时针方向旋转，当点,P,在对角线,AC,上时，且,OFE=30,时，如图,2,，猜想线段,CF,、,AE,、,OE,之间有怎样的数量关系？并给予证明,（,3,）当点,P,在对角线,CA,的,延长线上时，且,OFE=30,时，如图,3,，猜想线段,CF,、,AE,、,OE,之间有怎样的数量,关系？直接写出结论即可,举一反三,思路分析,:,（,1,）由,AOE,COF,即可得出结论,（,2,）图,2,中的结论为：,CF=OE+AE,，延长,EO,交,CF,于点,G,，只要证明,EOA,GOC,，,OFG,是等边三角形，即可解决问题,（,3,）图,3,中的结论为：,CF=OE,AE,，延长,EO,交,FC,的延长线于点,G,，证明方法类似,答案：,（,1,）,AE,PB,，,CF,BP,，,AEO=,CFO=90,，,又,AOE=,COF,，,AO=OC,，,AOE,COF,，,OE=OF,（,2,）图,2,中的结论为：,CF=OE+AE,证明如下：,延长,EO,交,CF,于点,G,，,AE,BP,，,CF,BP,，,AE,CF,，,EAO=,GCO,，又,AO=OC,，,AEO=,COG,，,EOA,GOC,，,EO=GO,，,AE=CG,，,在,Rt,EFG,中，,EO=OG,，,OE=OF=GO,，,OFE=30,，,OFG=90,30,=60,，,OFG,是等边三角形，,OF=GF,，,OE=OF,，,OE=FG,，,CF=FG+CG,，,CF=OE+AE,举一反三,（,3,）图,3,中的结论为：,CF=OE,AE,证明如下：,延长,EO,交,FC,的延长线于点,G,，,AE,BP,，,CF,BP,，,AE,CF,，,AEO=,G,，又,AOE=,GOC,，,AO=OC,，,AOE,COG,，,OE=OG,，,AE=CG,，,在,Rt,EFG,中，,OE=OG,，,OE=OF=OG,，,OFE=30,，,OFG=90,30,=60,，,OFG,是等边三角形，,OF=FG,，,OE=OF,，,OE=FG,，,CF=FG,CG,，,CF=OE,AE,失误防范,1.,涉及中点常用到的定理：,三角形中位线定理；中位线判定定理；直角三角形斜边中线定理；斜边中线判定,.,等腰三角形底边的中线三线合一,(,底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合,),2.,几何图形综合题：,经常会涉及到全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型,例,6.,如图，已知四边形,ABCD,中，,ADC=60,，,ABC=30,AD=CD,求证：,BD,2,=AB,2,+BC,2,.,重点中学与你有约,解题技巧,一读,关键词：,四边形，,角的大小，,边的关系，,求线段之间,关系,.,二联,重要结论：,旋转的性质，,全等三角形的性质和判定，,等边三角形的判定与性质，,勾股定理,.,重要方法：,转化思想,三解,解：,如图，将,ADB,以,D,为旋转中心，顺时针旋转,60,，使,A,与,C,点重合，,B,与,E,点重合，连接,BE,，,ABD=,CED,，,A=,ECD,，,AB=CE,，,DB=DE,，,又,ADC=60,，,BDE=60,，,DBE,为等边三角形，,DB=BE,，,又,ECB=360,BCD,DCE,=360,BCD,A,=360,（,360,ADC,ABC,）,=60,+30,=90,，,ECB,为直角三角形，,EC,2,+BC,2,=BE,2,，,BD,2,=AB,2,+BC,2,四悟,熟练掌握,所学性质,定理，学,会利用旋,转变换添,加辅助线,是解本题,的关键,6.,如图，已知四边形,ABCD,中，,ADC=60,，,ABC=30,AD=CD,求证：,BD,2,=AB,2,+BC,2,.,举一反三,如图，在四边形,ABCD,中，,ABC=30,，,ADC=60,，,AD=DC,，若,AB=5,，,BC=6,，求,BD,的长（提示：把,DCB,绕点,C,顺时针旋转,60,到,ACB,，连,BB,）,思路分析,:,把,DCB,绕点,C,顺时针旋转,60,到,ACB,，连,BB,，由,DCB,ACB,，推出,BD=AB,，再证明,ABB,是直角三角形，利用勾股定理求出,AB,即可解决问题,答案：,把,DCB,绕点,C,顺时针旋转,60,到,ACB,，连,BB,，,AD=CD,，,ADC=60,，,ADC,是等边三角形，,DC=AC,，,ACD=60,，,ACD=,BCB=60,，,DCB=,ACB,，,DCB,ACB,，,BD=AB,，,BC=CB,，,BCB=60,，,BCB,是等边三角形，,CBB=60,，,ABC=30,，,ABB=,ABC+,CBB=90,，,BD=AB=,失误防范,1.,用旋转法作辅助线证明平面几何题：,旋转法就是在图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法,.,（,1,）旋转方法主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件；,（,2,）旋转时要注意旋转中心、旋转方向、旋转角度的大小（三要素：中心、方向、大小）；,（,3,）旋转方法常用于竺腰三角形、等边三角形及正方形等图形中,.,2.,旋转的性质：,旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,例,7.,如图，在,ABC,中，,C=90,，点,M,在,BC,上，且,BM=AC,，,N,在,AC,上，且,AN=MC,，,AM,与,BN,相交于,P,，求证：,BPM=45,.,重点中学与你有约,解题技巧,一读,关键词：,直角三角形，,边的关系，,求证角的关系,.,二联,重要结论：,平行四边形的判定及性质，,等腰直角三角形的性质，,全等三角形的性质和判定,.,重要方法：,数形结合思想,三解,解：,如图，过,M,作,ME,AN,，使,ME=AN,，连,NE,，,BE,，,则四边形,AMEN,为平行四边形，,NE=AM,，,ME,BC,，,1=,2,，,ME=AN=CM,，,EMB=,MCA=90,，,BM=AC,，,BEM,AMC,，得,BE=AM=NE,，,3=,4,，,1+,3=90,，,2+,4=90,即,BEN=90,，而,BE=NE,，,BEN,为等腰直角三角形，,BNE=45,，,AM,NE,，,BPM=,BNE=45,四悟,熟练掌握,所学性质,定理，学,会利用平,移变换添,加辅助线,是解本题,的关键,7.,如图，在,ABC,中，,C=90,，点,M,在,BC,上，且,BM=AC,，,N,在,AC,上，且,AN=MC,，,AM,与,BN,相交于,P,，求证：,BPM=45,.,举一反三,如图所示，已知：,ABC,中，,A=90,，,D,是,AC,上一点，,DE,BC,，垂足为,E,，点,M,、,N,分别在,BA,、,BC,上，且,BM=BN,，,DM=DN,，求证：,DA=DE,思路分析,:,连接,BD,，先证明,BDM,BDN,得,DBM=,DBN,，根据角平分线性质定理即可证明,答案：,连接,BD,BM=BN,BD=BD,DM=DN,BDM,BDN,，,DBM=,DBN,，,A=90,，,DA,BA,，,DE,BC,，,DA=DE,失误防范,1.,平移的基本性质：,平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等,2.,基本图形的辅助线的画法,:,人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略,.,下面介绍一下基本图形的辅助线的画法：,失误防范,（,1,）三角形问题添加辅助线方法,方法,1,：有关三角形中线的题目，常将中线加倍,.,含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题,.,方法,2,：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题,.,方法,3,：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理,.,方法,4,：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段,.,失误防范,（,2,）平行四边形中常用辅助线的添法,平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：,连对角线或平移对角线；,过顶点作对边的垂线构造直角三角形；,连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；,连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；,过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等,.,