高考数学专题复习全集-09函数的单调性文.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的单调性,设函数,f,(,x,)的定义域为,I,:,一、函数的单调性,注:函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间而言的.有的函数在某些区间上是增函数,而在另某些区间上可能是减函数.,如果对于属于定义域,I,内某个区间上的任意两个自变量的值,x,1,x,2,当,x,1,x,2,时,都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),那么就说,f,(,x,),在这个区间上是增函数;,如果对于属于定义域,I,内某个区间上的任意两个自变量的值,x,1,x,2,当,x,1,f,(,x,2,),那么就说,f,(,x,),在这个区间上是减函数.,如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间上含有(严格的)单调性,这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.,二、单调区间,1.,取值,:对任意,x,1,x,2,M,且,x,1,0(0,b,0),的单调区间,.,x,b,解:,函数,f,(,x,),的,定义域为(,-,0),(0,+,),典型例题,函数,f,(,x,),的导函数,f,(,x,)=,a,-,=,b,x,2,a,x,2,-,b,x,2,函数,f,(,x,),的单调递增区间是,(,-,-,),与,(,+,),a,b,a,b,函数,f,(,x,),的单调递减区间是,(,-,0),与,(0,).,a,b,a,b,令,f,(,x,)0,得:,x,2,-,x,0,或,0,x,0,得:,x,2,x,;,a,b,a,b,a,b,求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题,但必须注意,如果函数的解析式含有参数,并且参数的取值影响函数的单调区间,这时必须对参数的取值进行分类讨论.,注,:,这个函数的单调性十分重要,应用非常广泛,它的图象如图所示,:,o,y,x,2,ab,-,2,ab,b,a,b,a,-,2.试讨论函数,y,=2log,2,x,-,2log,x,+,1,的单调性.,1,2,1,2,解:,令,t,=log,x,则,t,关于,x,在,(0,+,),上单调递减.,1,2,而,y,=2,t,2,-,2,t,+1,在,(,-,上单减,在,+,),上单增,1,2,1,2,又由,t,得,x,1,2,2,2,由,t,得,0,x,1,2,2,2,故函数,y,=2log,2,x,-,2log,x,+1,在,+,),上单调递增,在,(0,上单调递减.,1,2,1,2,2,2,2,2,3.设函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1.(1)当 k 为什么值时,函数 f(x)的单调递减区间是(0,4);(2)当 k 为什么值时,函数 f(x)在(0,4)内单调递减.,不等式,f,(,x,),0,的解集为,(,0,4,),0,与,4,是方程,kx,2,+2(,k,-,1),x,=0,的两根,即,kx,2,+2(,k,-,1),x,0,的解集为,(,0,4,),故由根与系数的关系可求得,k,值为 .,1,3,(2),命题等价于,kx,2,+2(,k,-,1),x,0,对,x,(0,4),恒成立,设,g,(,x,)=,kx,+2(,k,-,1),等价于,kx,+2(,k,-,1)0,对,x,(0,4),恒成立,由于,g,(,x,),为单调函数,g(0),0,g(4),0,k,.,1,3,则,(,或分离变量,k,0,得:,x,-,1,或,0,x,1;,由,g,(,x,)0,得:,-,1,x,1.,故,g,(,x,),的单调递增区间是,(,-,-,1),与,(0,1);,单调递减区间是,(,-,1,0),与,(1,+,).,4.已知 f(x)=8+2x-x2,若 g(x)=f(2-x2),试拟定 g(x)的单调区间.,5.已知,f,(,x,)是定义在R上的增函数,对,x,R有,f,(,x,)0,且,f,(5)=1,设,F,(,x,)=,f,(,x,)+,讨论,F,(,x,),的单调性,并证明你的结论.,f,(,x,),1,分析:这是抽象函数的单调性问题,应当用单调性定义解决.,解:,在,R,上任取,x,1,x,2,设,x,1,f,(,x,1,),且:,F,(,x,2,),-,F,(,x,1,)=,f,(,x,2,)+,-,f,(,x,1,)+,f,(,x,1,),1,f,(,x,2,),1,=,f,(,x,2,),-,f,(,x,1,)1,-,.,f,(,x,1,),f,(,x,2,),1,f,(,x,),是,R,上的增函数,且,f,(5)=1,当,x,5,时,0,f,(,x,)5,时,f,(,x,)1.,若,x,1,x,2,5,则,0,f,(,x,1,),f,(,x,2,)1,0,f,(,x,1,),f,(,x,2,)0,F,(,x,2,),F,(,x,1,);,1,-,x,1,5,则,f,(,x,2,),f,(,x,1,)1,f,(,x,1,),f,(,x,2,)1,综上,F,(,x,),在,(,-,5),上,为减函数,在,(5,+),上,为增函数.,f,(,x,2,),-,f,(,x,1,)0,F,(,x,2,),F,(,x,1,).,1,-,0,f,(,x,1,),f,(,x,2,),1,6.已知函数,f,(,x,),的定义域为,(,-,0)(0,+),且满足条件:,f,(,xy,)=,f,(,x,)+,f,(,y,),f,(2)=1,当,x,1,时,f,(,x,)0.(1)求证:,f,(,x,)为偶函数；(2)讨论函数的单调性；(3)求不等式,f,(,x,)+,f,(,x,-,3),2的解集.,(1),证:,在中令,x,=,y,=1,得,f,(1)=,f,(1)+,f,(1),f,(1)=0.,令,x,=,y,=,-,1,得,f,(1)=,f,(,-,1)+,f,(,-,1),f,(,-,1)=0.,再令,y,=,-,1,得,f,(,-,x,)=,f,(,x,)+,f,(,-,1)=,f,(,x,).,f,(,x,),为偶函数.,先讨论,f,(,x,),在,(0,+),上的单调性,任取,x,1,x,2,设,x,2,x,1,0,f,(,x,2,),f,(,x,1,).,f,(,x,),在,(0,+),上是增函数,由,(1),知,f,(,x,),在,(,-,0),上是减函数.,偶函数图象有关 y 轴对称,(2),解:,在中令,y,=,得:,x,1,由知,f,(,)0.,x,2,x,1,1,x,2,x,1,f,(1)=,f,(,x,)+,f,(,),f,(,),=,-,f,(,x,),x,1,x,1,则,f,(,x,2,),-,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,)+,f,(),=,f,(,).,x,2,x,1,x,1,1,(3),解:,f,x,(,x,-,3)=,f,(,x,)+,f,(,x,-,3),2,由,、,得,2=1+1=,f,(2)+,f,(2)=,f,(4)=,f,(,-,4),1,),若,x,(,x,-,3)0,f,(,x,),在,(0,+),上为增函数,由,f,x,(,x,-,3),f,(4),得:,2,),若,x,(,x,-,3)0,x,(,x,-,3),4,x,3,-,1,x,4,-,1,x,0,或,3,x,4;,x,(,x,-,3)0,x,(,x,-,3),-,4,0,x,3.,0,x,3,x,R,原不等式的解集为-,1,0),(0,3),(3,4,.,注 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题,其基本办法是变量代换、换元等,应纯熟掌握它们的这些特点.,法二,原不等式等价于,f,|,x,(,x,-,3)|,f,(4),(,x,0,x,-,3,0,),由,f,(,x,),在,(0,+),上为增函数得:|,x,(,x,-,3)|,4.再进一步求得解集.,(1),证:,由已知,对任意的,x,1,x,2,(,-,+,),且,x,1,0,f,(,x,2,-,x,1,),1.,f,(,x,2,-,x,1,),-,10.,f,(,x,2,),-,f,(,x,1,)0,即,f,(,x,2,),f,(,x,1,).,f,(,x,),是,R,上,的增函数.,(2),解:,f,(4)=5,令,a,=,b,=2,得:,f,(4)=,f,(2)+,f,(2),-,1,从而,f,(2)=3.,原,不等式等价于,f,(3,m,2,-,m,-,2),f,(2).,f,(,x,),是,R,上,的增函数,3,m,2,-,m,-,22,即,3,m,2,-,m,-,40.,解得:,-,1,m,.,4,3,4,3,故不等式,f,(3,m,2,-,m,-,2)0,时,有,f,(,x,)1.(1)求证:,f,(,x,),是,R,上,的增函数;(2)若,f,(4)=5,解不等式,f,(3,m,2,-,m,-,2)0.,解得:,-,1,x,0.,1,x,2,1,-,x,1,1+,x,1,1,-,x,2,1+,x,2,又对任意的,x,1,x,2,(0,1),且,x,1,0,且有:,1,x,1,1,x,2,1+,x,2,1+,x,1,0;1,-,x,1,1,-,x,2,0,1,-,x,1,1+,x,1,1,-,x,2,1+,x,2,-,0.,log,2,-,log,2,0.,1,-,x,1,1+,x,1,1,-,x,2,1+,x,2,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,).,函数,f,(,x,),在,(0,1),内单调递减,.,由于,f,(,x,),是奇函数,故,函数,f,(,x,),在,(,-,1,0),内也单调递减,.,